状态观测器

状态观测器
从前面几节看出，要实现闭环极点的任意配置，离不开状态反馈，然而系统的状态变量并不都是易于直接能检测得到的，有些状态变量甚至根本无法检测。

这样，就提出所谓状态观测或者状态重构问题。

由龙伯格（Luenberger ）提出的状态观测器理论，解决了在确定性条件下受控系统的状态重构问题，从而使状态反馈成为一种可实现的控制律。

至于在噪声环境下的状态观测将涉及随机最优估计理论。

本节只介绍在无噪声干扰下，单输入—单输出系统状态观测器的设计原理和方法。

5.4.1 状态观测器定义与存在性
（1）状态观测器定义
设线性定常系统()0,,A B C =∑的状态矢量x 不能直接检测。

如果动态系统^
∑以
∑
的输入u 和输出y 作为其输入量，能产生一组输出量x 近似于x ，即
lim 0t x x →∞⎡⎤-=⎣
⎦，则称^
∑为0∑的一个状态观测器。

根据上述定义，可得构成观测器的原则是： ① 观测器^
∑应以
∑
的输入u 和输出y 为输入量。

② 为满足lim 0t x x →∞
⎡⎤-=⎣⎦
，
∑
必须完全能观，或其不能观子系统是渐近稳定的。

③ ^
∑的输出x 应以足够快的速度渐进于x ，即^
∑应有足够宽的频带。

但从抑制干扰角
度看，又希望不要太宽。

因此，要根据具体情况予以兼顾。

④ ^
∑在结构上应尽量简单。

即具有尽可能低的维数，以利于物理实现。

（2）状态观测器的存在性 定理八 对线性定常系统()
,,A B C =∑，状态观测器存在的充要条件是
∑
的不
能观子系统为渐近稳定。

证明 ① 设
()
,,A B C =∑不完全能观，可进行能观性结构分解。

不妨设
()
,,A B C =∑
已具有能观性分解形式。

即
[]011112122200,,,0x A B x A B C C x A A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（） 式中
0x ——能观子状态； 0x ——不能观子状态； 1111(,,)A B C ——能观子系统； 222(,,0)A B ——不能观子系统。

② 构造状态观测器^∑。

设00T
x x x ⎡⎤=⎣⎦
为状态x 的估计值，[]12T
G G G =为调节x 渐近于x 的速度的反馈增益矩阵。

于是得观测器方程
()x Ax Bu G y Cu ⋅
=++- （）
或 ()x A GC x Bu GCx ⋅
=-++ 定义x x x =-为状态误差矢量，可导出状态误差方程
000x x x x x x x ⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅⋅
⎡⎤-⎢⎥
=-
=⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦ 00110101111111002121222210210222()()A x B u
A G C x
B u G
C x A G C x A x B u G C x A x A x B u ⋅
⎧⎫+⎡⎤⎡⎤-++⎪⎪
⎢⎥=-⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥-+++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 0011110021210220()()()()()A G C x x A G C x x A x x ⎡⎤
--⎢
⎥=⎢⎥--+-⎣⎦
（） ③ 确定使x 渐近x 的条件。

由上式，得
00111100()()x x A G C x x ⋅
⋅
-=-- （） 000
021210220()()()x x A G C x x A x x ⋅
⋅
-=--+- （）
由式（）可知，通过适当选择1G ，可使1111()A G C -的特征值均具负实部，因而有
1111()0000lim()lim (0)(0)0A G C t
t t x x e
x x -→∞
→∞
⎡⎤-=-=⎣⎦
（） 同理，由式（）可得其解为
2222111100()()021110000(0)(0)()(0)(0)t
A t A t A G C x x e x x e A G C e x x dt ττ--⎡⎤⎡⎤-=-+--⎣⎦⎣⎦
⎰ （） 由于1111()lim 0A G C t
t e
-→∞
=，因此仅当
22lim 0A t
t e →∞
= （）
成立时，才对任意0(0)x 和0(0)x ，有
00lim()0t x x →∞
-= （）
而22lim 0A t
t e
→∞
=与22A 特征值均具有负实部等价。

只有()0,,A B C =∑的不能观子系统渐近
稳定时，才能使00lim()0t x x →∞
-=。

定理得证。

5.4.2 全维观测器
定理九 若线性定常系统()
,,A B C =∑完全能观，则其状态矢量x 可由输出y 和输
入u 进行重构。

证明 将输出方程对t 逐次求导，代以状态方程并整理可得
2(1)(2)(3)21n n n n n y Cx y CBu CAx
y CB u CABu CA x y CBu CABu CA Bu CA x
⋅
⋅⋅⋅
-----=-=--=---
-
=（）
将各式等号左边用矢量Z 表示，则有
1201(1)
(2)(3)2n n n n n n y C z CA z y CBu
Z x Q x z CA y
CBu CABu CA Bu ⋅-----⎡
⎤⎡⎤
⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥====⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦----⎣
⎦ （） 若系统完全能观，0rankQ n =则有
1
0x Q Z -= （）
根据式（）可以构造一个新系统Z ，它以原系统的y 、u 为其输入，它的输出Z 经1
Q -变换后便得到状态矢量0X 。

换句话说，只要系统完全能观，那么状态矢量x 便可由系统的输入u 、输出y 及其各阶导数估计出来，状态估计值记为0x 观测器的结构如图所示。

系统Z 中包含0阶到n-1阶微分器，这些微分器将大大加剧测量噪声对于状态估计的影响。

因此这构造的观测器是没有工程价值的。

图 利用u 和y 重构状态x
为了避免微分器，一个直观的想法是仿照系统()
,,A B C =∑的结构，设计一个相同
的系统来观测状态x ，如图所示。

图 开环观测器结构图
容易证明，这种状态观测器只有当观测器的初态与系统初态完全相同时，观测器的输出才严格等于系统的实际状态x 。

否则，二者相差可能很大。

但是要严格保持系统初态与观测器初态完全一致，实际上是不可能的。

此外，干扰和系统参数变化的不一致性也将加大它们之间的差别，所以开环观测器是没有实用意义的。

如果利用输出信息对状态误差进行校正，便可构成渐近状态观测器，其原理结构如图所示。

它和开环观测器的差别在于增加了反馈校正通道。

当观测器的状态与系统实际状态x 不相等时，反映到他们的输出y 与y 也不相等，于是产生一误差信号 ^
y y y Cx -=-，经反馈矩阵m n G ⨯馈送到观测器中每个积分器的输入端，参与调整观测器的状态x ，使其以一定的精度和速度趋近于系统的真实状态x 。

渐近状态观测器因此得名。

（a ） （b ）
图 渐近观测器结构图
根据图可得状态观测器方程
^
()x Ax Bu G y y Ax Bu Gy GC x ⋅
=++-=++-
即 ()x A GC x Gy Bu ⋅
=-++ （） 式中 x ——状态观测器的状态矢量，是状态x 的估计值；
y ——状态观测器的输出矢量；
G ——状态观测器的输出误差反馈矩阵。

根据式（），可将状态观测器表示成图。

从图中看出，它有两个输入，一个是待观测系统的控制作用u ，一个是待观测系统的输出y 。

它的一个输出就是状态估值x 。

反馈矩阵G 的设计
为了讨论状态估值x 趋近于状态真值x 的渐近速度，引入状态误差矢量
x x x =- （）
可得状态误差方程
()x x x Ax Bu A GC x Cy Bu ⋅
⋅
⋅
=-=+----
()()()Ax A GC x GCx A GC x x =---=-- （）
即 ()x A GC x ⋅
=- （） 式（）是一个关于x 的齐次微分方程，其解为
()(0)0A GC t
x e
x t -=≥ （）
由式（）可以看出，若(0)0x =，则在0t ≥的所有时间内，0x =，即状态估值x 与状态真值x 相等。

若(0)0x ≠，二者初值不相等，但()A GC -的特征值均具有负实部，则x 将渐近衰减至零，观测器的状态x 将渐近地逼近实际状态x 。

状态逼近的速度将取决于G 的选择和()A GC -特征值的配置。

应当指出，当系统(),,A B C 不完全能观，但其不能观子系统是渐近稳定的，则仍可构造状态观测器。

但这时，x 趋近于x 的速度将不能由G 任意选择，而要受到不能观子系统极点位置的限制 例 5-4 已知系统
.
101001x x u ⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
[]21y x =-
设计状态观测器使其极点为10,10--。

解：① 检验能观性 因 02120C Q CA -⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
满秩，系统能观，可构造观测器。

② 将系统化成能观I 型。

系统特征多项式为
[]2
10det det 0I A λλλλλ-⎡⎤-==-⎢
⎥
⎣⎦
得 1101111,0,1010a a a L -⎡⎤⎡⎤
=-===⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦ 及 10112101102021T LQ ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
112210T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
于是 11001+111x T ATx T bu x u --⎡⎤⎡⎤
==+⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
[]01y CTx x ==
③ 引入反馈阵12g G g ⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
得观测器特征多项式
12()det ()det 1(1)g f I A Gc g λλλλ⎡⎤
⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦---⎣⎦
221(1)g g λλ=--+
④ 根据期望极点得期望特征式
2
()(10)(10)20100f λλλλλ=++=++
⑤ 比较与各项系统得
12100,21g g ==
即 10021G ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
⑥ 反变换到x 状态下
1110060.5222110010G T G ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
⑦ 观测器方程为
()x A GC x Bu Gy ⋅
=-++
^12060.5160.5()2001001100x u y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
或者 ^
^10160.5()()001100x Ax Bu G y y x u y y ⋅
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=++-=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
模拟结构图如图所示。

图 例5-4系统状态观测器
应当指出，当系统维数降低时，在检验能观性后亦可不经过化能观I 型的步骤直接按特征式比较来确定反馈阵G 。

例如对本例，有
[]111222*********g g g A GC g g g -⎡⎤
⎡⎤⎡⎤-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []1122(12)
()det ()det 2g g f I A GC g g λλλλ---⎡⎤
=--=⎢
⎥-⎣
⎦
2
122(21)g g g λλ=+--+
与期望特征式比较，得
122120g g --= 2100g =
故 1260.5100g G g ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦ 与上面结果一致。