高考中的常微分方程的解题方法

“常微分方程”在高中数学的应用

高中已经学习了求导，并且进一步学习了定积分与不定几分，以及微积分基本定理。在高考题中也常常出现一些简单的常微分方程，这里谈及几种高考常见的微分方程，以及相应的解法。

一、理论基础

高考中常见的是简单的线性常微分方程，基本形式是()()x q y x p y =+'，这类为题有其公

式可以求解，即()()()⎰

⎰⎰=-dx e x q e y dx

x p dx x p 。高中阶段，可以用以下方法求解。

例1：函数()x f 在其定义域内满足()()x

x

x f x f x ln 2=+'，其中()x f '为函数()x f 的导函数，()e

e f 21

=

，则函数()x f A 有极大值，无极小值 B 有极小值，无极大值 C 既有极大值又有极小值 D 既无极大值又无极小值

解：()()x x x f x f x ln 2=

+'化为()()2ln 2x x x f x x f =+'。考虑()x

x 2ln 2='，2ln 2x e

x

=， 将()()2ln 2x

x x f x x f =+'两边同时乘以2x ，可得()()x x xf x f x ln 22

=+'。

考虑()()()()'=+'x f x x xf x f x 222，所以有()()x x f x ln 2='，即()c x x x x f x +-=ln 2

。 即()2ln x c x x x x f +-=

。考虑()e e f 21=，解得2e c =，因此()2

22ln 2x e

x x x x f +-=。 所以()3

2ln x e

x x x x f -+-='。令()e x x x x g -+-=2ln ，则()x x g ln 1-='。

当()e x ,0∈时，()0>'x g ，当()+∞∈,e x 时，()0<'x g 。故当e x =时，()x g 取最大值0。 因此()0≤x g ，因此()()03

≤=

'x

x g x f 对任意0>x 恒成立，因此()x f 无极值，选D 。 理论上利用线性微分方程得解法是可以解决高中的所有问题，但是由于高中生只能作简积分，而对于一些函数的几分会无能为力，因此这种方法未必适合所有的高中生。 二、乘法法则的应用

有些高中阶段的微分方程可以参照乘法法则来求解。

例2：(2013辽宁，理12)设函数()x f 满足()()x e x xf x f x x =+'22

，()8

22

e f =，则0>x 时，

()x f ( )．

A 有极大值，无极小值

B 有极小值，无极大值

C 既有极大值又有极小值

D 既无极大值又无极小值

解：令()()x f x x F 2

=，则()()()x e x xf x f x x F x =+'='22

，()()2

2422

e f F ==，

由()()x e x xf x f x x =+'22

得()()3

2x x F e x f x -='。 令()()x F e x x

2-=φ，()()

3x x x f φ=

'，()()()x

x e x e e x F e x x x x

x

222-=-='-='φ。

所以()x φ在()2,0上单调递减，在()+∞,2上单调递增，

所以()()()02222min =-==F e x φφ，即()0≥x φ，又因为0>x ，所以()()

03

≥='x

x x f φ，

所以()x f 单调递增在()+∞,0上无极值，选D 。

例3：函数()x f 导函数为()x f '，且满足()()x x xf x f x sin cos sin =+'，求()x f 。 解：考虑到()()()()()()()x x xf x f x x f x x xf x f x sin sin sin sin cos sin ='

='+'=+'，所以()c x x xf +-=cos sin 。

考虑0=x 有c +-=10，得1=c ，所以()2

tan sin cos 1x

x x x f =-=。

三、除法法则的应用

有的时候可以转化为除法法则，不过要先确定好分母的函数。

例4：（2015高考新课标2）设函数'

()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当

0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)(1,)-+∞

C ．(,1)(1,0)-∞--

D ．(0,1)(1,)+∞

解：由题意得当0x >时，()()02

<-'x x f x f x ，即()0<'

⎪⎭

⎫

⎝⎛x x f ，设()()x x f x g =， 所以()x g 在()+∞,0上单调递减。又因为()x f 为奇函数，并且(1)0f -=，所以()01=f 。 即()()01

11==

f g 。又因为()x g 在()+∞,0上单调递减，

所以()1,0∈x 时，()0x f ；当()+∞∈,1x 时，()0>x g ，()0x f 。 综上，()0f x >的解集为(,1)(0,1)-∞- ，选A 。

四、指数函数的应用

由于x

e 的导数是它本身，并且恒为正数，所以解决这类问题经常用到。