数学归纳法(讲课用)剖析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
归纳小结
1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数 学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时 结论正确 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论 也正确
（3）由（1）、（2）得出结论
例2 用数学归纳法证明
1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝ n2 归纳假设要用到，
证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝结1，论写等明式莫成忘立掉。。
（2）假设当n＝k时，等式成立，即 （假设）
证 明
1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k2 那么当n=k+1时
传
1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］
递
性 ＝ k2 + [2(k+1)－1］
2.3 数学归纳法
• 课前篇检查与展示
归纳：法由一系列有限的特殊事例得出一般结
论的推理方法
归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法
考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有 关的数学命题我们常采用下面的＝（k+1）2 （凑结论）
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2）可知，等式对任何 n N 都成立。
数学归纳法步骤，用框图表示为：
验证n=n0时 命题成立。
归纳奠基
若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
作业：课本：P96 A组 1，2
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么
12 22 32 k 2 (k 1)2
k (k 1)(2k 1) (k 1)2 6
k (k 1)(2k 1) 6(k 1)2 6
(k 1)(2k 2 7k 6) 6
(k 1)(k 2)(2k 3) 6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1
6
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
归纳小结
1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数 学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时 结论正确 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论 也正确 （3）由（1）、（2）得出结论
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; 【命题成立的必要性】
（2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立.
【命题成立的连 续性】
最后由（1）（2）得出结论全体自然数成立
这种证明方法叫做 数学归纳法
例1 用数学归纳法证明
注意：递推基础不可少，
归纳小结
1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数 学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时 结论正确 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论 也正确
（3）由（1）、（2）得出结论
例2 用数学归纳法证明
1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝ n2 归纳假设要用到，
证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝结1，论写等明式莫成忘立掉。。
（2）假设当n＝k时，等式成立，即 （假设）
证 明
1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k2 那么当n=k+1时
传
1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］
递
性 ＝ k2 + [2(k+1)－1］
2.3 数学归纳法
• 课前篇检查与展示
归纳：法由一系列有限的特殊事例得出一般结
论的推理方法
归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法
考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有 关的数学命题我们常采用下面的＝（k+1）2 （凑结论）
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2）可知，等式对任何 n N 都成立。
数学归纳法步骤，用框图表示为：
验证n=n0时 命题成立。
归纳奠基
若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
作业：课本：P96 A组 1，2
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么
12 22 32 k 2 (k 1)2
k (k 1)(2k 1) (k 1)2 6
k (k 1)(2k 1) 6(k 1)2 6
(k 1)(2k 2 7k 6) 6
(k 1)(k 2)(2k 3) 6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1
6
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
归纳小结
1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数 学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时 结论正确 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论 也正确 （3）由（1）、（2）得出结论
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; 【命题成立的必要性】
（2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立.
【命题成立的连 续性】
最后由（1）（2）得出结论全体自然数成立
这种证明方法叫做 数学归纳法
例1 用数学归纳法证明
注意：递推基础不可少，