淮阴工学院概率论与数理统计

B) ( A C );
④对偶律 A B A B , A B A B . ⑤差化积公式 A B A B ⑥ 若 A B ，则 A B B , A
B A. 求积取小 求和取大 ⑦ 对于任何事件A，总有 A ，且A与互斥.
第一章 随机事件与概率
ABCABC 不发生；
ABC
ABC
ABC
ABC
⑤ A , B, C 中至多有两个发生；
⑥ A , B, C 中不多于一个发生.
A B C AB C A BC A B C
AB BC AC
第一章 随机事件与概率
§1.2 随机事件的概率
研究随机现象不仅关心试验中会出现哪些事件， 还需准确了解事件发生的可能性的大小，对人们的生 活有重要意义. 例如，了解发生意外人身事故的可 能性大小,确定保险金额.
第一章 随机事件与概率
随机现象是不是没有规律可言?
否！
在一定条件下对随机现象进行大量观测会发 现某种规律性 例如:一门火炮在一定条件下进行射 击，个别炮弹的弹着点可能偏离目 标而有随机性的误差，但大量炮弹 的弹着点则会表现出一定的规律性， 如一定的命中率，一定的分布规律 等等.
第一章 随机事件与概率
第一章 随机事件与概率
二、概率
概率的公理化定义
定义 设 E 是随机试验， 是它的样本空 间，如果对于 中的每一个事件A，都对应一 个实数 P(A)，使得P(A) 满足下述三个条件： (1) 非负性：P(A) ≥0 ， n 时, f ( A) P ( A) n (2) 规范性：P( )= 1 ， (3) 可列可加性：若事件A1 , A2 , … , An ,… 两两 互不相容，则有
2 N.
E2 记录一段时间内某城市110 报警次数. E3从含有三件正品a1, a2, a3和两件次品b1, b2的五件产 3 {(a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), .(a2 , a3 ), (a2 , b1 ), 品中任取二件，观察抽到产品的情况 (a2 , b2 ), (a3 , b1 ), (a3 , b2 ),(b1 , b2 ) }
推广：称“A1, A2, … , An中同时发生”为事件
A1, A ∩3 … ∩A,n， ∩… A23,, … … , An 的积(交)，记作 A1∩A2A
或者
A i . i 1 Ai .
i1
n
第一章 随机事件与概率
5. 事件的差 称事件 “ A 发生且 B 不发生”为事件 A 与 B 事 件的差，记作A - B .即 B A B A A - B ={ | A 且 B }.
2. 事件的相等 若事件 A 与 B 满足：A B 且 B A，则称事件 A 与事件 B 相等(或等价)，记作 A = B .即 A 的每个样 本点必在 B 中，且 B 中的每个样本点必在 A 中 .
第一章 随机事件与概率
3.事件的和(并) 称事件 “ A 与 B 至少有一个发生 ”为事件 A 与 B 事件的和(并). 记作A∪B .即 A∪B ={ | A 或 B } AA∪B B
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
称P(A)为事件A的概率.
第一章 随机事件与概率
基本性质 ⑴ P () 0. A ⑵若事件A1 , A2 , … , An 两两互不相容，则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ). ⑶设A是A的对立事件，则 余概公式
注 意 • 样本空间的元素决定于试验的目的. 如E3，若将试验目的改为“观察出现正品和次品的 (正, 次)， (次, 次) }. { (正, 正)， 则 3 情况”，
第一章 随机事件与概率
四、事件的关系及运算
1. 事件的包含

A
B
若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A.记作A B 或 B A .即 A 中的每个样本 点必在 B 中.
6. 互不相容(互斥)事件
若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称事件 A 与 B 互不相容(互斥)，即 AB = . 推广：若 A1, A2, … , An中的任意两个事件都互不 相容，则称事件 A1, A2, … , An 两两互不相容 .即 Ai Aj , i j, i , j 1, 2, 3, , n
f n ( A) n
n
A 发生的频 繁程度
稳定性
？
性质： (1) 0 fn ( A) 1; (2) fn () 1; ⑶ 设A1, A2, „ , Ak 两两互不相容的事件，则
f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1) f n ( A2 ) f n ( A k )
8. 事件的运算性质 ①交换律 A B B A , A B B A ; ②结合律 A ( B C ) ( A B) C , A ( B C ) ( A B)C ; ③分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ) ;
A
De Mogen
(B C ) ( A
比值
0.518 0.5069 0.5005 0.4998
正面出现的次数越来越接近总数的1/2。
第一章 随机事件与概率
从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是 随机的。但多次观察某个随机现象，便可以发现， 在大量的偶然之中又存在着必然的规律. 这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机 现象所呈现出的固有规律性，称为
P( A) 1 P( A) ⑷设事件A,B满足B A ，则 P( B) P( A), P( A B) P ( A) 减法公式 P ( B) 一般：P ( A B ) P ( A AB ) P ( A) P ( AB ) 加法公式 ⑸设任意事件A,B，有 P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB)
随机现象的统计性规律
随机现象常常表现出这样或那样的统计规律， 这正是概率论所研究的对象. 我们首先要对随机现象给出规范的数学描述， 或说为其建立一个数学模型：
第一章 随机事件与概率
一、随机试验
如果试验满足： •可在相同条件下重复进行； •每次试验可出现多种可能结果； •每次试验前能明确试验的所有可能结果，但不能确 定试验后会出现哪一个结果. 则称其为随机试验.简称试验，用 E 表示. E1 掷一枚均匀对称的骰子, 观察着地时的点数. E2 记录一段时间内某城市110 报警次数. E3从含有三件正品a1, a2, a3和两件次品b1, b2的五件产 品中任取二件，观察抽到产品的情况. E4从一批电脑中任取一台观察无故障运行的时间.
第一章 随机事件与概率
二、随机百度文库件
随机试验的每一个可能的结果 —— 随机事件. 简称事件，用大写字母 A、B、C 表示.
基本事件 复合事件 由多于一个的 基本事件构成
相对于实验目 的不能再分解
{ 出现 1 点 } { 出现 4 点 } { 出现奇数点 } { 6 次报警 } { 多于10 次报警 }
了解每年最大洪水超警戒线可能性 大小，合理确定堤坝高度.
更为重要的是对事件出现的可能性的大小需要有 一个定量的描述.事件的概率就是事件发生的可能性大 小的一个数值度量.
第一章 随机事件与概率
一、频率及其稳定性
如果在n次重复试验中事件A发生了n次, 则称n为事件A 发生的频数，称比值 n 为事件 A 在 n n 次试验中发生的频率，记为 fn(A)，即 定义
例1 设 A, B, C 为三个事件，用 A, B, C 表示下列事件:
① A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生； A(B∪C )
② A 与 B 发生，而 C 不发生； AB C
③ A , B, C 中恰有一个发生；
④ A , B, C 中至少有两个发生；
AB C A BC A B C
AB BC AC
推广：称“A1, A2, … , An中至少有一个发生”为
事件 A1, AA … , An 的和(并)，记作 A1∪A2∪ … ∪ An ,… A3 ∪ … , 2, 3
，或者 A i . A i . i 1 i
1
n
第一章 随机事件与概率
4. 事件的积(交) 称事件 “ A 与 B同时发生 ”为事件 A 与 B 事件 的积(交). 记作A∩B .即 A∩B ={ | A 且 B } A AB B
4 { t t 0 }
第一章 随机事件与概率
1 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
2 N.
事件 A 发生A 所包含的某样本点在实验 E 中 出现. { 出现奇数点 } = = {1,3,5} {1}∪{3}∪{5} { 多于10 次报警 } = {11,12,13, …} 随机试验 E 任一事件 A 就是样本空间 的子集. •基本事件：由一个样本点构成的单点集 •必然事件： •不可能事件：
又如：抛一枚质量均匀的硬币，观察正反面， 抛之前不知道结果如何，但大量重复试验，便可以 从中发现一中明显的趋势。 历史上有许多统计学家都曾不厌其烦地进行过 这种实验：
试验者
De Mogan
Buffon Pearson Wiener
实验次数
2048
4040 24000 30000
正面次数
1061
2048 12012 14994
第一章 随机事件与概率
7. 互逆事件(对立事件) 称事件“A不发生” 为事件 A 的逆事件(对立事件) ，记作 A . 事件A与其逆事件 A 必有一个、 且仅有一个发生. 性质： A
A

A
A
AA
A A

A A
互逆事件 \？
互不相容
AB = .
第一章 随机事件与概率
两个极端事件 每次实验都发生的事件—— 必然事件，记为 . 每次实验都不发生的事件——不可能事件，记为 .
第一章 随机事件与概率
三、样本空间
随机试验 E 的所有基本事件构成的集合称为样 本空间，记为 ；称的每个元素为一个样本点， 记 为 ；即 ={ }. E1 掷一枚均匀对称的骰子 观察着地时的点数 . 1 { 1, 2, 3,, 4 , 5, 6 }.
P(
n i 1
Ａ
Ａ-B
B

Ａ
AB

B
Ai ) P ( Ai )
i 1
n
1 i j n

P ( Ai Aj )
( 1)n1 P ( Ai Aj
淮阴工学院本科生课程
概率论与数理统计
主讲人 方琳
简
介
Probability theory and mathematical statisties
———研究随机现象的统计规律性
起源 —— 博弈 • 16 世纪, 意大利的学者 • 17 世纪中叶, Pascal(帕斯卡, 法), Fermat(费玛)和Huygens(惠更斯,荷) • 18世纪初(1713),奠基人 Bernoulli(柏努利，法) — 大数定律 Gauss(德)，De. Moivre (棣莫费,法) • 1812年, Laplace(拉普拉斯，法) —《概率的分析理论》 • 19世纪(1866), Chebyhev(切比雪夫，俄) — 中心极限理论 • 20世纪(1933), Kolmogorov (柯尔莫哥洛夫，俄) — 概率公理化定义
淮阴工学院本科生课程
第一章 随机事件及其运算
• • • • •
随机事件的关系及运算 概率的定义 等可能概型 条件概率 事件的独立性
第一章 随机事件与概率
§1.1 随机事件及其运算
•确定现象 —— 一定条件下必然发生的现象；
•随机现象 —— 在一定的条件下对它加以观察时，
•观察的结果是多个可能结果中的某一个.而且在每次 •观察前都无法确知其结果，即呈现出“偶然性” . 或 •说，出现哪个结果凭机会而定. 带有随机性、偶然性的现象，在一定条件下可能发 生也可能不发生.