轴心受压构件失稳
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（b）
由于
（c）
（d）
则
（e）
由势能驻值原理有
（f）
因a1≠0，得到
（g）
与例题2.2的计算结果相比，用能量法计算的结果比静力法（精确法）的大26.2%[(1.714—1.358)/1.358=26.2%]。说明假定的变形曲线与实际曲线尚有较大差别，采用改进的曲线方程就可以得到较精确的解。几种常用的变形曲线级数表达式见表2.1。
（a）（b）
图2.2单自由度体系轴心受压构件
[解]由图2.2b， ： （a）
： （b）
式（a）×（l+l1）—式（b）×l得
（c）
由于式（c）中的 ，则
（d）
【例题2.2】确定图2.3所示轴心受压构件的临界荷载Pcr。
（a）（b）
图2.3无限自由度轴心压杆
[解]由于ac、ab两段杆的受力不同，因此需要分别列出平衡微分方程。
（a）弯曲失稳（b）扭转失稳（c）弯扭失稳
图2.1轴心受压构件的失稳类型
2.2轴心受压构件的弯曲失稳
轴心受压构件最简单的失稳形式是弯曲失稳，为了避免发生弯曲失稳，首先必须确定轴心受压构件的临界荷载值，然而求临界荷载并不简单，主要体现在：①理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，因此在理想条件下求出的临界荷载值并不能直接用于轴心受压构件的稳定设计。理想轴心受压构件与实际轴心受压构件的主要差别在于有无“缺陷”，受压构件的缺陷主要指杆轴的初始弯曲、荷载作用的初始偏心及加载前的残余应力。有无缺陷对受压构件的稳定分析结果影响很大，虽然理想受压构件并不存在，但是其分析方法却是实际有缺陷受压构件的基础，对轴心受压构件稳定分析总是从理想轴心受压构件开始，然后再分别研究缺陷对其稳定性的影响。②轴心受压构件的弹性分析与弹塑性分析差别很大。对于某一构件，用弹性方法还是用弹塑性方法确定其临界荷载取决于构件的具体情况。如理想的细长受压构件，其临界荷载在材料的弹性阶段就可获得，因此用弹性稳定分析即可；而理想中短受压构件，其临界荷载在弹塑性阶段才可获得，因此必须进行弹塑性分析。③将理论分析结果用于钢结构轴心受压构件的设计是稳定分析的目的，由于影响因素众多，研究工作仍不完善，需做大量的工作。
2.1轴心受压构件的失稳类型
钢结构失稳在形式上具有多样性的特点。对轴心受压构件而言，弯曲失稳是最常见的屈曲形式，但并非唯一的失稳形式，还可能发生扭转失稳和弯扭失稳。对于一般双轴对称截面的轴心受压构件，可能绕截面的两个对称轴发生弯曲屈曲（图2.1a）；但是对于抗扭刚度和抗翘曲刚度很弱的轴心受压构件，如图2.1b所示的双轴对称十字形截面轴心受压构件，除了可能发生绕两个水平对称轴弯曲失稳外，还可能发生绕纵轴的扭转失稳；对单轴对称的轴心受压构件，如图2.1c所示T形截面轴心受压构件，可能发生绕对称轴弯曲变形的同时伴有扭转变形的弯扭失稳。轴心受压构件以什么样的形式失稳主要取决于截面的形状和几何尺寸，杆件长度和杆端的连接条件。
轴心受压构件失稳
轴心受力构件在钢结构中应用广泛，如桁架、网架中的杆件，工业厂房及高层钢结构的支撑，操作平台和其它结构的支柱等。对轴心受压构件同样应按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计。就第一类极限状态而言，除了一些较短的轴心受力构件因局部有孔洞削弱，需要验算净截面强度，一般情况，轴心受力构件的承载力是由稳定条件决定的，即应满足整体稳定和局部稳定要求。本章着重讨论轴心受力构件的整体稳定问题。
得到
，则 ，最小根为： （n）
， 即： （o）
经过试算，得方程 的最小根
（p）
比较式（n）和式（p），临界荷载为
（q）
2.能量法
能量法是求解稳定承载力的一种近似方法。用能量法求解临界荷载的途径主要有能量守恒原理和势能驻值原理。
能量守恒原理即：保守体系处在平衡状态时，贮存在结构体系中的应变能等于外力所做的功。计算临界力的基本方程
（2.2）
式中 为结构总势能的一阶变分，有
（2.3）
其中 是虚位移引起的结构内应变能的变化； 表示外力因虚位移而作的功，且外力势能的变化 等于外力虚功的负值，即 。下面通过例题说明其具体应用。
【例题2.4】用里兹法求解例题2.2轴心受压构件的临界荷载Pcr。
[解]假设压杆失稳时的变形曲线为
（a）
其满足边界条件，即
（2.1）
式中， 为体系应变能的增量， 为外力功的增量。
【例题2.3】用能量守恒原理求[例题2.1]单自由度体系的临界荷载Pcr。
[解] 此题中体系应变能的增量为弹簧应变能的增量
（a）
轴向力作用下产生的竖向位移
（b）
取余弦函数的泰勒级数展式前两项，式（b）变为
（c）
则
（d）
由 ，得
（e）
能量法求解临界力的另一种途径即利用势能驻值原理，其表达式
2.2.1理想轴心受压构件的弹性弯曲失稳
钢结构及构件稳定计算的主要目的在于确定临界荷载值。确定理想轴心受压构件的临界荷载是基础，因此首先回顾理想轴心受压构件求临界荷载值的方法。
2.2.1.1求解临界力
如第一章所述，确定临界荷载值主要有静力法和能量法。
1.静力法
静力法即静力平衡法，即根据已发生了微小变形后结构的受力条件建立平衡微分方程，然后解出临界荷载。在建立理想轴心受压构件弯曲平衡方程时有如下基本假定：
ac段： （a）
ab段： （b）
令 ，且将 代入式（a），则上式变为
（0≤x≤l）（c）
（l≤x≤2l） （d）
通解分别为
（e）
（f）
引入边界条件，则有
：
： （g）
： （h）
： （i）
： （j）
由式（g）得 ，代入式（h），则可得到以A2、B2和δ为未知量联立方程组
（k）
可得稳定方程
（l）
展开后
（m）
①构件是等截面直杆；
②压力始终沿构件原来轴线作用；
③材料符合虎克定律，即应力与应变成线性关系；
④构件符合平截面假定，即构件变形前的平截面在变形后仍为平面；
⑤构件的弯曲变形是微小的，曲率可以近似地用挠度函数的二阶导数表示。
下面通过几个算例具体说明静力法的求解过程。
【例题2.1】ห้องสมุดไป่ตู้静力法确定图2.2所示单自由度体系的临界荷载Pcr。假定杆ab和bc的抗弯刚度EI=∞
当杆件的变形曲线采用表2.1中的级数形式前若干项时，一般求解临界力可采用下面的步骤：
设满足位移边界条件的变形曲线方程
（2.4）
式中ai是任意参数。将式（2.4）代入式（1.22）得
（2.5）
令
（2.6）
由于
（c）
（d）
则
（e）
由势能驻值原理有
（f）
因a1≠0，得到
（g）
与例题2.2的计算结果相比，用能量法计算的结果比静力法（精确法）的大26.2%[(1.714—1.358)/1.358=26.2%]。说明假定的变形曲线与实际曲线尚有较大差别，采用改进的曲线方程就可以得到较精确的解。几种常用的变形曲线级数表达式见表2.1。
（a）（b）
图2.2单自由度体系轴心受压构件
[解]由图2.2b， ： （a）
： （b）
式（a）×（l+l1）—式（b）×l得
（c）
由于式（c）中的 ，则
（d）
【例题2.2】确定图2.3所示轴心受压构件的临界荷载Pcr。
（a）（b）
图2.3无限自由度轴心压杆
[解]由于ac、ab两段杆的受力不同，因此需要分别列出平衡微分方程。
（a）弯曲失稳（b）扭转失稳（c）弯扭失稳
图2.1轴心受压构件的失稳类型
2.2轴心受压构件的弯曲失稳
轴心受压构件最简单的失稳形式是弯曲失稳，为了避免发生弯曲失稳，首先必须确定轴心受压构件的临界荷载值，然而求临界荷载并不简单，主要体现在：①理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，因此在理想条件下求出的临界荷载值并不能直接用于轴心受压构件的稳定设计。理想轴心受压构件与实际轴心受压构件的主要差别在于有无“缺陷”，受压构件的缺陷主要指杆轴的初始弯曲、荷载作用的初始偏心及加载前的残余应力。有无缺陷对受压构件的稳定分析结果影响很大，虽然理想受压构件并不存在，但是其分析方法却是实际有缺陷受压构件的基础，对轴心受压构件稳定分析总是从理想轴心受压构件开始，然后再分别研究缺陷对其稳定性的影响。②轴心受压构件的弹性分析与弹塑性分析差别很大。对于某一构件，用弹性方法还是用弹塑性方法确定其临界荷载取决于构件的具体情况。如理想的细长受压构件，其临界荷载在材料的弹性阶段就可获得，因此用弹性稳定分析即可；而理想中短受压构件，其临界荷载在弹塑性阶段才可获得，因此必须进行弹塑性分析。③将理论分析结果用于钢结构轴心受压构件的设计是稳定分析的目的，由于影响因素众多，研究工作仍不完善，需做大量的工作。
2.1轴心受压构件的失稳类型
钢结构失稳在形式上具有多样性的特点。对轴心受压构件而言，弯曲失稳是最常见的屈曲形式，但并非唯一的失稳形式，还可能发生扭转失稳和弯扭失稳。对于一般双轴对称截面的轴心受压构件，可能绕截面的两个对称轴发生弯曲屈曲（图2.1a）；但是对于抗扭刚度和抗翘曲刚度很弱的轴心受压构件，如图2.1b所示的双轴对称十字形截面轴心受压构件，除了可能发生绕两个水平对称轴弯曲失稳外，还可能发生绕纵轴的扭转失稳；对单轴对称的轴心受压构件，如图2.1c所示T形截面轴心受压构件，可能发生绕对称轴弯曲变形的同时伴有扭转变形的弯扭失稳。轴心受压构件以什么样的形式失稳主要取决于截面的形状和几何尺寸，杆件长度和杆端的连接条件。
轴心受压构件失稳
轴心受力构件在钢结构中应用广泛，如桁架、网架中的杆件，工业厂房及高层钢结构的支撑，操作平台和其它结构的支柱等。对轴心受压构件同样应按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计。就第一类极限状态而言，除了一些较短的轴心受力构件因局部有孔洞削弱，需要验算净截面强度，一般情况，轴心受力构件的承载力是由稳定条件决定的，即应满足整体稳定和局部稳定要求。本章着重讨论轴心受力构件的整体稳定问题。
得到
，则 ，最小根为： （n）
， 即： （o）
经过试算，得方程 的最小根
（p）
比较式（n）和式（p），临界荷载为
（q）
2.能量法
能量法是求解稳定承载力的一种近似方法。用能量法求解临界荷载的途径主要有能量守恒原理和势能驻值原理。
能量守恒原理即：保守体系处在平衡状态时，贮存在结构体系中的应变能等于外力所做的功。计算临界力的基本方程
（2.2）
式中 为结构总势能的一阶变分，有
（2.3）
其中 是虚位移引起的结构内应变能的变化； 表示外力因虚位移而作的功，且外力势能的变化 等于外力虚功的负值，即 。下面通过例题说明其具体应用。
【例题2.4】用里兹法求解例题2.2轴心受压构件的临界荷载Pcr。
[解]假设压杆失稳时的变形曲线为
（a）
其满足边界条件，即
（2.1）
式中， 为体系应变能的增量， 为外力功的增量。
【例题2.3】用能量守恒原理求[例题2.1]单自由度体系的临界荷载Pcr。
[解] 此题中体系应变能的增量为弹簧应变能的增量
（a）
轴向力作用下产生的竖向位移
（b）
取余弦函数的泰勒级数展式前两项，式（b）变为
（c）
则
（d）
由 ，得
（e）
能量法求解临界力的另一种途径即利用势能驻值原理，其表达式
2.2.1理想轴心受压构件的弹性弯曲失稳
钢结构及构件稳定计算的主要目的在于确定临界荷载值。确定理想轴心受压构件的临界荷载是基础，因此首先回顾理想轴心受压构件求临界荷载值的方法。
2.2.1.1求解临界力
如第一章所述，确定临界荷载值主要有静力法和能量法。
1.静力法
静力法即静力平衡法，即根据已发生了微小变形后结构的受力条件建立平衡微分方程，然后解出临界荷载。在建立理想轴心受压构件弯曲平衡方程时有如下基本假定：
ac段： （a）
ab段： （b）
令 ，且将 代入式（a），则上式变为
（0≤x≤l）（c）
（l≤x≤2l） （d）
通解分别为
（e）
（f）
引入边界条件，则有
：
： （g）
： （h）
： （i）
： （j）
由式（g）得 ，代入式（h），则可得到以A2、B2和δ为未知量联立方程组
（k）
可得稳定方程
（l）
展开后
（m）
①构件是等截面直杆；
②压力始终沿构件原来轴线作用；
③材料符合虎克定律，即应力与应变成线性关系；
④构件符合平截面假定，即构件变形前的平截面在变形后仍为平面；
⑤构件的弯曲变形是微小的，曲率可以近似地用挠度函数的二阶导数表示。
下面通过几个算例具体说明静力法的求解过程。
【例题2.1】ห้องสมุดไป่ตู้静力法确定图2.2所示单自由度体系的临界荷载Pcr。假定杆ab和bc的抗弯刚度EI=∞
当杆件的变形曲线采用表2.1中的级数形式前若干项时，一般求解临界力可采用下面的步骤：
设满足位移边界条件的变形曲线方程
（2.4）
式中ai是任意参数。将式（2.4）代入式（1.22）得
（2.5）
令
（2.6）