方差分析2讲义01211

100℃(A4) y141,…,y14n y241,…,y24n y341,…,y34n
以上表格反映的是双因素方差分析的数据结构。 思考：多因素方差分析的数据结构。
二、单因素方差分析
模型
1、数据结构
假定
水平
数据准备
A1
y11,y12 ,y1n1
y1• , s12 ~N(1,2)
A2
y11,y12 ,y1n2
数据结构表
A1
y11, y12, …, y1n
A2
y21, y22, …, y2n
…
……
Ar
yr1, yr2, …, yrn
3、方差分析
H 0 :1 2 . . . r ( 或 1 2 . . . r 0 )
H 1 :1 ,2 ,. . . ,r 中 至 少 存 在 一 对 不 等
1)
ST2
2
~
2(n1)
2)
niSi2
2
~2(ni 1),
S
2 E
r
ni
S
2 i
i 1
3) SA2 ~ 2(r 1) 2
SE2
2
~ 2(n
r)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
由F分布的定义知： FSSE 2A 2//((nr 1r))~F(r1,nr)
记
SA2 SA2/(r1) SE2 SE2 /(nr)
则
FSA2 ~F(r1,nr)
季度一 季度二 季度三 季度四
A1
163
176
170
185
A2
184
198
179
190
A3
206
191
218
224
试分析广告内容对载重汽车销售量的影响，并指
出哪一种广告内容最佳？
设Y——小麦产量，A——温度(4)，B——品种(3)，
A B
B1
40℃(A1)
60℃(A2)
y111,…,y11n y121,…,y12n
B2 y211,…,y21n y221,…,y22n
B3
y311, …,y31n y321,…,y32n
80℃(A3) y131,…,y13n y231,…,y23n y331,…,y33n
对问题H0，提出一种称为方差分析的检验方法。
，
记
yi
1 ni
ni
yij,
j1
i1,
,r
y1nir1niyi
1 r ni1
ni
yij
j1
易证
E yii, E y1 ni r1n i i (无 偏 )
记
总离差平方和：
r ni
ST2
(yij y)2
10
i1 j1
9
组间差平方和：
r
SA2 ni (yi. y)2
一、基本原理
在每种状态下，又测得n个数据，即样本。
40℃(A1) 60℃(A2) 80℃(A3) 100℃(A4)
y11, y12, …, y1n y21, y22, …, y2n y31, y32, …, y3n y41, y42, …, y4n
以上表格反映的是单因素方差分析的数据结构。
一、基本原理
方差分析201211
方差分析
• 方差分析是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素 对试验结果的影响程度。 • 例如
– 在化工产品中，某些因素直接影响着产品的数量 和质量（如原料成分、原料剂量、催化剂、反应 温度、压力、浓度、时间、设备、人员素质等）
– 环境对生产力的影响（噪声、湿度、温度等） – 研究四种不同的药物对儿童咳嗽的治疗效果。 ……
S2 T
S2
S2 F A
p
A
S2
E
S2 E
具体计算如下：
r ni
r
SE2
yij2 niyi2
i1 j1
i1
r
SA2 ni yi2 ny2 i1
ST2 SA2 SE2
算例1：载重汽车销售量分析
• 某公司为了研究三种内容的广告宣传对载重汽车销
售量的影响，他们进行了调查统计。以广告不同内容 形式的广泛宣传后，按寄回的广告上的订购数计算， 一年四个季度的销售量情况如下表：
一、基本原理
• 试验指标Y，样本 y1,y2,…,yn
影响试验指标的因素记A，B，C，… 每个因素下又分几种状态，记为A1,A2,…Ar 或B1,B2,…,Bs
例如，Y——小麦产品, 因素A——温度，有如下状态 (4个水平)：
40℃(A1)，60℃(A2)，80℃(A3)，100℃(A4) 四种状态称为水平。
方差分析
又如 – 美国三大汽车公司(A,B,C)生产有五种不同的车型，试 分析汽车的油耗情况。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
A
20.3 21.2 18.2 18.6 18.5
B
25.7 24.7 19.3 19.3 20.7
C
24.0 23.1 20.6 19.8 21.4
不同公司间产品的油耗量有无差异？ 汽车型号的油耗量有无差异？
8
i1
7
Values
组内差平方和：
r ni
SE2
(yij yi)2
6 5
i1 j1
4
n
n
i
S
2 i
i1
3
1
2
3
4
5
Column Number
ST2 SA 2 SE 2
说明：
ST2 SA2 SE2
若SA2显著地大于SE2 ，说明组间差异显著大于组内差 异，那么H0可能不成立。 理论上可以证明：当H0成立时，
3
4
5
Column Number
二、单因素方差分析
2、数学模型
yijieij (分 解 思 想 )
(i )eij
i e i j,i 1 ,2 ,...,r ,j 1 ,2 ,...,n i;
eij ~N(0,2),且 诸 eij相 互 独 立 ；
其中
y ij~ N (i, 2 ),i 1 ,...,r ,j 1 ,2 ,...,n i
y
2•
,
s
2 2
~N(2,2)
… ……
Ar
y11,y12 ,y1nr
yr•
,
s
2 r
~N(r,2)
模型假定
y i j 独 立 同 分 布 于 N (i,2 ) ,i 1 ,. . . ,r ,j 1 ,2 ,. . . ,n i i
二、单因素方差分析
2、数据形态
Values
10
9
8
7
6
5
4
3
1
2
r
n ni,
i1
1 ni r1ni i, i i
r
易证: nii 0; i1
二、单因素方差分析
归纳：
yij ieij,i1,2,...,r,j1,2,...,ni; eij ~N(0,2),且 诸 eij相 互 独 立 ；
其 中 ,i i ( i 1 , 2 ,r ) 为 未 知 参 数 。
SE2
在给定显著性水平α的情况下，关于H0的拒绝域为：
K 0 { F F 1 (r 1 ,n r)}
P { F F 1 (r 1 ,n r)}
单因素方差分析表
方差 来源
D F (自由度) S 2 (平方和) S 2 (均方差)
F值
P值
因素A r 1
S2
A
随机 误差
nr
S2 E
总 和 n 1