向量法解立体几何

z A1 B1
E A
xB
D1 C1
D y
F C
向量法解立体几何
❖ 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标 系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则
E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),
❖ 于是 AE(2,0,1) AD(0,2,0)
❖ 设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得
把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的 方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹 角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.
向量法解立体几何
❖ 例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是 AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦 值为_____.
z A1 B1
D1 C1
A M
x
B
D
y
C
❖ 依题意有| a |=| b |，
❖ 于是 BD CDCB a – b
❖ ∵ CC1 • BD = c (a – b)= c·a –c·b
❖
= |c|·|a|cosθ–|c|·|b| cosθ=0
❖ ∴C C1⊥BD
向量法解立体几何
❖ (2)直线与平面的位置关系
❖ 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,
向量法解立体几何
一.引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称 为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由 A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向 向量是
z
B
A B (x2 x1 ,y2y1 ,z2 z1) A
y
x
向量法解立体几何
数学专题二
空间向量法解决立体几何问题
向量法解立体几何
专题提纲
一、引入两个重要空间向量
1、直线的方向向量； 2、平面的法向量。
二、立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系;
2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
x y 2z 0
x 2z
得 x y 2z 0 ，解得
y
0
取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
向量法解立体几何
二.立体几何问题的类型及解法
❖ 1.判定直线、平面间的位置关系 ❖ (1)直线与直线的位置关系 ❖ 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b.
向量法解立体几何
❖ 例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z A1 B1
D1 C1
A
A O
xB
y D
C
向量法解立体几何
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设 平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则
O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2） 由 O A 1 =（-1，-1，2），O D 1 =（-1，1，2）
❖
x 2z 0
3y 0
解之得
x 2z
y0
，
❖ 取z = 1得n=(-2,0,1)
❖ (I) A1E(2,0,1)=- n,从而A1E ⊥平面DBC1
❖ (II) AB1(1, 3,2) ,而 AB1 • n =-2+0+2=0 ❖ AB1 ∥平面DBC1
向量法解立体几何
❖ (3)平面与平面的位置关系
且L α.
❖ ①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α
❖ ②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥ α.
n
a
Ln
a
α
α
L
向量法解立体几何
❖ 例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,
❖ D,E分别是AC,CC1的中点,求证:
❖ (I)A1E ⊥平面DBC1;
❖ (II)AB1 ∥ 平面DBC1
A1
①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b
a
a
b
b
向量法解立体几何
❖ 例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求 证: C C1⊥BD
B1
A1
C1
D1
B
A
C
D
向量法解立体几何
❖ 证明：设 CD a, CB b, CC1 c,
n
a b
α
向量法解立体几何
求平面的法向量的坐标的步骤
❖ 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). ❖ 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
xx21xx
y1y y2y
z1z 0 z2z 0
❖ 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.
❖ 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.
❖
解之得 2 x Baidu Nhomakorabeaz 0
2y 0
x 1 z
2
y 0
❖ 取z=2得n1=(-1,0,2)
❖ 同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)
❖ ∵n1 ·n2 = -2+0+2=0
❖ ∴面AED⊥面A1FD
向量法解立体几何
2.求空间中的角
❖ (1)两异面直线的夹角 ❖ 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再
C
向量法解立体几何
❖ 解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系Axyz, 设正方体的棱长为2,则
z
C1
A E
D C x
向量法解立体几何
B1
B y
❖ 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则
❖ A(-1,0,0), B(0, 3,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2),
B1(0, 3,2), C1(1,0,2).
❖ 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则
2.平面的法向量
❖ 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于 平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这 时向量n叫做平面α的法向量.
n
α
向量法解立体几何
❖ 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐 标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2) 是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线 与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则 n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α.
❖ 平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2
❖
n1
α
❖
n1 n2
❖
β n2
α β
❖ ①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β ❖ ②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β
向量法解立体几何
❖ 例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别 是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD