计算机控制系统第四章1
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u(kT lT T m ) u(kT lT T ) u(k l 1)
u T
K-l
K-l+1
k-l+2 t
当 m T 时，0 T m T
u(kT lT T m ) u(kT lT ) u(k l)
u
T
K-l
K-l+1
k-l+2 t
所以，有
x(k 1) eAT x(k) m eAdBu(k l 1) T eAdBu(k l)
令 xn1(k) u(k 1)
则
x(k 1) F
xn1
(k
1)
0
Ga 0
x(k) xn1 (k
)
Gb
I
u
(k
)
（14） （15）
上式中令：
x(k 1)
x
xn 1
(k
1),
F
F
0
Ga 0
,
G
Gb
I
同时令： C C 0
则标准离散状态方程为：
x (k 1) Fx (k) Gu(k) y(k) Cx (k)
t e A(t )Bu ( )d
t0
令 t0 kT, t (k 1)T ，由（2）式，得
x(k 1) eAT x(k) (k1)T eA(kT T )dBu(k) kT
（3） （4）
令 t kT T ，（4）式化为：
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
其中 F eAT , G T eAtdtB 0
m
T m e A(m )dB e Am
0
T m eA dB F (m)G(T m)
0
Gb
m eA dB G(m)
0
（13）
上式说明， F、Ga、Gb 的求解最终归结为计算矩阵指数及其积分。
通过增广矩阵将（11）式写成标准离散状态方程的形式：
（1）l = 1时：
式（11）变为： x(k 1) Fx(k) Gau(k 1) Gbu(k)
（2）
将控制对象与保持器一起进行离散化处理，得到离散系统模型。
对式（1）求解：
x Ax Bu 两边同乘 e At ，得到 eAt (x Ax) eAt Bu 由于 eAt (x Ax) d [eAt x(t)]
dt
于是 d [eAt x(t)] eAt Bu dt
两边积分，有： t d [eA x( )]d t eA Bu( )d
一、不带延时的连续控制对象模型的离散化
设连续控制对象的模型可用如下的状态方程描述：
x(t) Ax(t) Bu(t)
y(t
)
Cx(t)
（1）
其中设 x 为 n 维状态向量，u 为 m 维控制向量，y 为 r 维输出向量。 设在连续的对象前面有零阶保持器，即
u(t) u(k) kT t (k 1)T
其中设 x 为 n 维状态向量，u 为 m 维控制向量，y 为 r 维输出向量， 是
控制作用的延迟时间（即：各控制量延时时间相等）。
设 lT m 0 m T l 0 的整数
含义：延迟时间不一定是采样周期的整数倍。 零阶保持器：
u(t) u(k) kT t (k 1)T
（2）
式（1）解为：
0
m
Fx(k) Gau(k l) Gbu(k l 1)
（11）
其中 F e AT
Ga
T e A dB
m
Gb
m e A dB
0
（12）
若令： F(t) eAt , G(t) t eA dB 0
则式（12）可以写成：
令 ( m )
F eAT F (T )
Ga
T e A dB
式（1）中，输出方程的离散形式为：
y(k) Cx(k)
故连续模型等效离散状态方程是：
x(k 1) Fx(x) Gu(k)
y(k
)
Cx(k
)
（5） （6）
（7）
（8）
二、包含延时的连续控制对象模型的离散化
设连续控制对象的模型为：
x(t) Ax(t) Bu(t )
y(t)
Cx(t)
（1）
t0 d
t0
其中
t d [eA x( )]d t d [eA x( )] eA x( ) t
t0 d
t0
t0
eAt x(t) eAt0 x(t0 )
因此，有：
eAt x(t) eAt0 x(t0 )
t eA Bu( )d
t0
两边同乘 e At ，有：
x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
y(k) Cx(k) Cx(k)
其中 C C 0
于是，有
x (k 1) Fx (k) Gu(k) y(k) Cx (k)
（9） （10）
（二）当 m 0 时：
由（5）式： x(k 1) eAT x(k) T eA Bu(kT T lT m )d 0
当 0 m 时， 0 m T
第4章 基于状态空间模型的极点配置设计方法
基于状态空间模型设计控制系统方法： 1、极点配置方法*-----设计控制规律 设计观测器 2、最优设计方法-----最优控制和最优估计，即LQG（Linear Quadratic Gaussian）设计问题。
*设计方法基本思路：
模型
指标（极点）
设计
4.1 连续控制对象模型的离散化
（3） （4）
（5）
（一）当 m 0 时：
u(kT lT T ) u(kT lT ) u(k l)
u T
K-l
K-l+1
t
x(k 1) eAT x(k) T eAdBu(k l) 0 Fx(k) Gu(k l)
（6）
写成标准形式：
xn1(k) u(k l)
令
xn2
(k
)
u(k
l
1)
xnl (k) u(k 1)
令增广状态
x(k)
x
(k
)
xn1
(k
)
xnl (k)
则（6）式变为： x(k 1) Fx(k) Gu(k)
F G 0 0
0
0
I
0
其中 F
0
0
0
I
0 0 0 0
0 0 G 0 I
（7） （8）
式（1）中的输出方程离散化为：
x(t) eA(tt0 ) x(t0 )
Hale Waihona Puke Baidu
t e A(t )Bu ( )d
t0
上式中，令 t0 kT, t (k 1)T ，则
x(k 1) eAT x(k) (k1)T eA(kT T )Bu( )d kT
设 kT T , 0 T ，并将（2）式代入，有
x(k 1) eAT x(k) T eA Bu(kT T )d 0 eAT x(k) T eA Bu(kT T lT m )d 0
u T
K-l
K-l+1
k-l+2 t
当 m T 时，0 T m T
u(kT lT T m ) u(kT lT ) u(k l)
u
T
K-l
K-l+1
k-l+2 t
所以，有
x(k 1) eAT x(k) m eAdBu(k l 1) T eAdBu(k l)
令 xn1(k) u(k 1)
则
x(k 1) F
xn1
(k
1)
0
Ga 0
x(k) xn1 (k
)
Gb
I
u
(k
)
（14） （15）
上式中令：
x(k 1)
x
xn 1
(k
1),
F
F
0
Ga 0
,
G
Gb
I
同时令： C C 0
则标准离散状态方程为：
x (k 1) Fx (k) Gu(k) y(k) Cx (k)
t e A(t )Bu ( )d
t0
令 t0 kT, t (k 1)T ，由（2）式，得
x(k 1) eAT x(k) (k1)T eA(kT T )dBu(k) kT
（3） （4）
令 t kT T ，（4）式化为：
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
其中 F eAT , G T eAtdtB 0
m
T m e A(m )dB e Am
0
T m eA dB F (m)G(T m)
0
Gb
m eA dB G(m)
0
（13）
上式说明， F、Ga、Gb 的求解最终归结为计算矩阵指数及其积分。
通过增广矩阵将（11）式写成标准离散状态方程的形式：
（1）l = 1时：
式（11）变为： x(k 1) Fx(k) Gau(k 1) Gbu(k)
（2）
将控制对象与保持器一起进行离散化处理，得到离散系统模型。
对式（1）求解：
x Ax Bu 两边同乘 e At ，得到 eAt (x Ax) eAt Bu 由于 eAt (x Ax) d [eAt x(t)]
dt
于是 d [eAt x(t)] eAt Bu dt
两边积分，有： t d [eA x( )]d t eA Bu( )d
一、不带延时的连续控制对象模型的离散化
设连续控制对象的模型可用如下的状态方程描述：
x(t) Ax(t) Bu(t)
y(t
)
Cx(t)
（1）
其中设 x 为 n 维状态向量，u 为 m 维控制向量，y 为 r 维输出向量。 设在连续的对象前面有零阶保持器，即
u(t) u(k) kT t (k 1)T
其中设 x 为 n 维状态向量，u 为 m 维控制向量，y 为 r 维输出向量， 是
控制作用的延迟时间（即：各控制量延时时间相等）。
设 lT m 0 m T l 0 的整数
含义：延迟时间不一定是采样周期的整数倍。 零阶保持器：
u(t) u(k) kT t (k 1)T
（2）
式（1）解为：
0
m
Fx(k) Gau(k l) Gbu(k l 1)
（11）
其中 F e AT
Ga
T e A dB
m
Gb
m e A dB
0
（12）
若令： F(t) eAt , G(t) t eA dB 0
则式（12）可以写成：
令 ( m )
F eAT F (T )
Ga
T e A dB
式（1）中，输出方程的离散形式为：
y(k) Cx(k)
故连续模型等效离散状态方程是：
x(k 1) Fx(x) Gu(k)
y(k
)
Cx(k
)
（5） （6）
（7）
（8）
二、包含延时的连续控制对象模型的离散化
设连续控制对象的模型为：
x(t) Ax(t) Bu(t )
y(t)
Cx(t)
（1）
t0 d
t0
其中
t d [eA x( )]d t d [eA x( )] eA x( ) t
t0 d
t0
t0
eAt x(t) eAt0 x(t0 )
因此，有：
eAt x(t) eAt0 x(t0 )
t eA Bu( )d
t0
两边同乘 e At ，有：
x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
y(k) Cx(k) Cx(k)
其中 C C 0
于是，有
x (k 1) Fx (k) Gu(k) y(k) Cx (k)
（9） （10）
（二）当 m 0 时：
由（5）式： x(k 1) eAT x(k) T eA Bu(kT T lT m )d 0
当 0 m 时， 0 m T
第4章 基于状态空间模型的极点配置设计方法
基于状态空间模型设计控制系统方法： 1、极点配置方法*-----设计控制规律 设计观测器 2、最优设计方法-----最优控制和最优估计，即LQG（Linear Quadratic Gaussian）设计问题。
*设计方法基本思路：
模型
指标（极点）
设计
4.1 连续控制对象模型的离散化
（3） （4）
（5）
（一）当 m 0 时：
u(kT lT T ) u(kT lT ) u(k l)
u T
K-l
K-l+1
t
x(k 1) eAT x(k) T eAdBu(k l) 0 Fx(k) Gu(k l)
（6）
写成标准形式：
xn1(k) u(k l)
令
xn2
(k
)
u(k
l
1)
xnl (k) u(k 1)
令增广状态
x(k)
x
(k
)
xn1
(k
)
xnl (k)
则（6）式变为： x(k 1) Fx(k) Gu(k)
F G 0 0
0
0
I
0
其中 F
0
0
0
I
0 0 0 0
0 0 G 0 I
（7） （8）
式（1）中的输出方程离散化为：
x(t) eA(tt0 ) x(t0 )
Hale Waihona Puke Baidu
t e A(t )Bu ( )d
t0
上式中，令 t0 kT, t (k 1)T ，则
x(k 1) eAT x(k) (k1)T eA(kT T )Bu( )d kT
设 kT T , 0 T ，并将（2）式代入，有
x(k 1) eAT x(k) T eA Bu(kT T )d 0 eAT x(k) T eA Bu(kT T lT m )d 0