指数分布均值估计量的比较
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第 39 卷第 5 期 2 0 1 9 年 10 月
辽宁工业大学学报(自然科学版)
Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition)
Vol.39, No.5 Oct. 2019
DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2019.05.003
关键词：指数分布；极大似然估计(MLE)；Ⅰ型截尾样本；Ⅱ型截尾样本；Ⅱ型逐次截尾样本 中图分类号：O212 文献标识码：A 文章编号：1674-3261(2019)05-0288-07
Comparison of Mean Estimates of Exponential Distribution
CAI Ming-shu, LI Shu-you, MI Ying
指数分布是一种被广泛应用于可靠性和实用可靠性工程寿命理论研究的分布模型。关于指数分布均值 极大似然估计的随机序问题在 Balakrishnan 等的文章中已经给出，当然这都是在完全样本条件下给出的结 论。
由于截尾样本在寿命理论中占有着重要的地位，对于指数分布截尾样本参数条件下的极大似然估计 的比较问题也被人们所关注。在 Balakrishnan 等的文章中给出一些结论，但关于这些结论的证明存在着问 题，没有给出完整合理的证明过程。针对定时截尾样本和定数截尾样本，本文分别给出指数分布均值极 大似然估计满足随机序的充分条件，并加以证明。最后推广至双参数指数分布，给出其参数在逐次截尾 样本下极大似然估计满足随机序的充分条件。
ˆ
1 m
X1
X2
X
m
(n
m)X m
(3)基于定时截尾样本双参数指数分布参数的极大似然估计
双参数指数分布的分布密度：
f
x
1
x
e
x≥
给定定时截尾样本 X1, X2 ,, X m ，参数 ， 的极大似然估计为：
ˆ
1 m
nபைடு நூலகம்1
(X1
X2
Xm
(n
m) X 0
)
ˆ X1
(4)逐次截尾样本
假设有 n 项寿命试验，给出 m≥1,0 ≤ R1 ≤ n 1,0 ≤ Ri ≤ n
2 主要结果
(1)基于定时截尾样本，两个相互独立的指数分布总体，其均值的极大似然估计量具有随机序关系。
Key words: exponential distribution; maximum likelihood estimation (MLE); type I censored sample; type Ⅱ censored sample; type Ⅱ successive censored sample
i 1 j 1
Rj 1
1,
i 2,3,....., m 1, 和 m。
当检测到第一个失效记为 X1 ， R1 是随机的从剩余的 n 1中抽取产品的个数。接下来，当第二个失效记为
X 2 ， R2 是随机的从剩余的未失效的 n R1 2 中抽取产品的个数，依此类推。最后在第 m 个失效记为 X m ， 从所有剩余中抽取 Rm 个。 X1, X 2 ,, X m 为逐次截尾样本。
1 预备知识
(1)随机序 令 X、Y 为非负的随机变量，相应的分布函数分别为 F 及 H，记 F 1 F, H 1 H 。
收稿日期：2019-06-18 作者简介：蔡明书(1995-)，女，辽宁灯塔人，硕士生。
李树有(1964-)，男，吉林通化人，教授，博士。 优先出版地址：http://kns.cnki.net/kcms/detail/21.1567.T.20190928.1049.002.html
指数分布均值估计量的比较
蔡明书，李树有，宓 颖
（辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 121001）
摘 要：对于两个给定的指数分布总体，基于截尾样本，讨论其均值 θi(i=1,2)极大似然估计的比较问题。 分别就定时截尾样本和定数截尾样本，给出 θi(i=1,2)极大似然估计满足随机序的充分条件。最后，针对双参数 指数分布，基于逐次结尾样本，给出参数极大似然估计满足随机序的充分条件，并加以证明。
（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）
Abstract: For two given exponential distribution populations, the comparison problem of the maximum likelihood estimation of the mean θi(i=1,2) is discussed based on the truncated samples. The timed censored samples and the censored samples are given respectively, and the sufficient conditions for the θi(i=1,2) maximum likelihood estimation to satisfy the random order are given. Finally, for the two-parameter exponential distribution, based on the successively ending samples, the sufficient conditions for the parameter maximum likelihood estimation to satisfy the random order are given and proved.
第5期
蔡明书等：指数分布均值估计量的比较
289
若对 t≥0 有： F t P X ≥ t ≤ P Y ≥ t H t ，则称 X 随机的小于 Y，记作 X ≤st Y 。
(2)基于定数截尾样本指数分布均值的极大似然估计
指数分布的密度函数为：
f
x
1
x
e ，x
0
给定定数截尾样本 X1, X2 ,, X m ，参数 的极大似然估计为：
辽宁工业大学学报(自然科学版)
Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition)
Vol.39, No.5 Oct. 2019
DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2019.05.003
关键词：指数分布；极大似然估计(MLE)；Ⅰ型截尾样本；Ⅱ型截尾样本；Ⅱ型逐次截尾样本 中图分类号：O212 文献标识码：A 文章编号：1674-3261(2019)05-0288-07
Comparison of Mean Estimates of Exponential Distribution
CAI Ming-shu, LI Shu-you, MI Ying
指数分布是一种被广泛应用于可靠性和实用可靠性工程寿命理论研究的分布模型。关于指数分布均值 极大似然估计的随机序问题在 Balakrishnan 等的文章中已经给出，当然这都是在完全样本条件下给出的结 论。
由于截尾样本在寿命理论中占有着重要的地位，对于指数分布截尾样本参数条件下的极大似然估计 的比较问题也被人们所关注。在 Balakrishnan 等的文章中给出一些结论，但关于这些结论的证明存在着问 题，没有给出完整合理的证明过程。针对定时截尾样本和定数截尾样本，本文分别给出指数分布均值极 大似然估计满足随机序的充分条件，并加以证明。最后推广至双参数指数分布，给出其参数在逐次截尾 样本下极大似然估计满足随机序的充分条件。
ˆ
1 m
X1
X2
X
m
(n
m)X m
(3)基于定时截尾样本双参数指数分布参数的极大似然估计
双参数指数分布的分布密度：
f
x
1
x
e
x≥
给定定时截尾样本 X1, X2 ,, X m ，参数 ， 的极大似然估计为：
ˆ
1 m
nபைடு நூலகம்1
(X1
X2
Xm
(n
m) X 0
)
ˆ X1
(4)逐次截尾样本
假设有 n 项寿命试验，给出 m≥1,0 ≤ R1 ≤ n 1,0 ≤ Ri ≤ n
2 主要结果
(1)基于定时截尾样本，两个相互独立的指数分布总体，其均值的极大似然估计量具有随机序关系。
Key words: exponential distribution; maximum likelihood estimation (MLE); type I censored sample; type Ⅱ censored sample; type Ⅱ successive censored sample
i 1 j 1
Rj 1
1,
i 2,3,....., m 1, 和 m。
当检测到第一个失效记为 X1 ， R1 是随机的从剩余的 n 1中抽取产品的个数。接下来，当第二个失效记为
X 2 ， R2 是随机的从剩余的未失效的 n R1 2 中抽取产品的个数，依此类推。最后在第 m 个失效记为 X m ， 从所有剩余中抽取 Rm 个。 X1, X 2 ,, X m 为逐次截尾样本。
1 预备知识
(1)随机序 令 X、Y 为非负的随机变量，相应的分布函数分别为 F 及 H，记 F 1 F, H 1 H 。
收稿日期：2019-06-18 作者简介：蔡明书(1995-)，女，辽宁灯塔人，硕士生。
李树有(1964-)，男，吉林通化人，教授，博士。 优先出版地址：http://kns.cnki.net/kcms/detail/21.1567.T.20190928.1049.002.html
指数分布均值估计量的比较
蔡明书，李树有，宓 颖
（辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 121001）
摘 要：对于两个给定的指数分布总体，基于截尾样本，讨论其均值 θi(i=1,2)极大似然估计的比较问题。 分别就定时截尾样本和定数截尾样本，给出 θi(i=1,2)极大似然估计满足随机序的充分条件。最后，针对双参数 指数分布，基于逐次结尾样本，给出参数极大似然估计满足随机序的充分条件，并加以证明。
（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）
Abstract: For two given exponential distribution populations, the comparison problem of the maximum likelihood estimation of the mean θi(i=1,2) is discussed based on the truncated samples. The timed censored samples and the censored samples are given respectively, and the sufficient conditions for the θi(i=1,2) maximum likelihood estimation to satisfy the random order are given. Finally, for the two-parameter exponential distribution, based on the successively ending samples, the sufficient conditions for the parameter maximum likelihood estimation to satisfy the random order are given and proved.
第5期
蔡明书等：指数分布均值估计量的比较
289
若对 t≥0 有： F t P X ≥ t ≤ P Y ≥ t H t ，则称 X 随机的小于 Y，记作 X ≤st Y 。
(2)基于定数截尾样本指数分布均值的极大似然估计
指数分布的密度函数为：
f
x
1
x
e ，x
0
给定定数截尾样本 X1, X2 ,, X m ，参数 的极大似然估计为：