两角差的余弦公式教学内容
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量积
教学要求: 1、借助单位圆，运用三角函数线向量的方法
推导两角差的余弦公式； 2、能够使用两角差的余弦公式求特殊角和差
角的余弦值； 3、让学生感受数学知识的相互联系，培养逻
辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意 识，提高数学素质。
二、学情分析
学生已经学习了同角三角函数的基本关 系、诱导公式及平面向量，这为他们探 究两角差的余弦公式建立了良好的基础。 但学生的逻辑推理能力毕竟有限，要发 现并证明公式 C(α-β)有一定的难度，教 师可引导学生通过合作交流，探索两角 差的余弦公式，完成本课的学习目标
2
2
(3)cos( )cos sin( )sin
练习2：已知cos( ) 4 , (0, ),cos 5 ,是第二象限角，
5
2
13
求cos 。
【设计意图】⑴.通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解，使 学生掌
握公式的正用，逆用，变角使用，提高学生的数学思维能力，体现 思维的创新意识。 ⑵.练习2有一定难度，可根据学生的接受情况，在具体教学中可根 据不同程度的教学对象及课堂学生的反应情况进行删减与调整。
两角差的余弦公式
一、教材分析
教学内容：
本节是人教版普通高中课程标准实验教科 书数学必修四第三章第一节的内容，是本模 块第一章《锐角三角函数》和第二章《平面 向量》相关知识的延伸和拓展，也是本节中 推导两角和、差、倍角、半角等三角恒等变 换公式的基础，可以说是起承上启下，串联 全书的作用。
本节的知识基础是：三角函数线与向量的数
4. 例题讲解，巩固应用
1、已知 sin
2 ，
3
（，3
2
），cos
3 ，
4
(
3
2
, 2
),
求co（s ）。
目的是让学生巩固已学公式
2、已知cos = 117，cos(
ห้องสมุดไป่ตู้
)=-
4571，0
,
2
,
求cos .
目的是让学生初步体会拆分的思想方法。
5.变式演练，深化认识
练习 1 ：化简求值
（1）cos80cos20 sin80sin 20 （2）1 cos15 3 sin15
6.课堂小结，作业布置
⑴小结 1）.公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明 2）.在运用两角差的余弦公式时应注意： ①根据角的范围，确定两角正、余弦值的正负． ②适当逆用公式，可达到化简计算的目的． ③灵活选取两角的形式，活用公式． 【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达 的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识 纳入已有的认知结构. ⑵作业布置 习题3.1 A组2、3、4、5
两角差的余弦公式
对于任意， , 有
cos( ) cos cos sin sin .
称为差角的余弦公式，简记为
C. ( )
【设计意图】教师通过提问引发学生思考，并让学生 分组活动，相互讨论，合作学习，运用从特殊到一般 、数形结合等数学思想将问题层层深入，最后达到推 导的完备。从而让学生体验探究的过程，锻炼学生的 思维品质。
练习
小结
练习
五、教学过程 课题的引入
教学过程分析
数学教学是数学活动的教学。因此，我将整个教学
过程分为以下六个教学环节：
D
1. 创设情境，导入新课 [引例]某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上. 如图所示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A, 测得A、C两点间距离约为67米,从A观测电视发射塔 的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.
三、教学目标
1.知识目标 ①.掌握运用单位圆中的三角函数线和向量的方法推导两角 差的余弦公式. ②.掌握公式的结构和特点，能够简单运用公式. 2.能力目标 ①.在公式探究过程中体会从特殊到一般，数形结合、分类 讨论等多种数学思想. ②.通过公式的探究、灵活运用，培养学生分析问题、解决 问题的能力. 3.情感目标 ①.通过公式的推导论证过程，培养学生学习数学的严谨 、 求实的科学态度. ②.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于 思考、勇于探索的精神.
【设计意图】从课本章头实际问题作为情境，引入
课题，这有利于强调数学与实际的联系，增强学生 的应用意识，激发学生学习的积极性。同时提出本 章的研究课题。
C
45°67
30
α
⑴.实际问题中存在研究像tan（45°+α）这样包含 A
B
两个角的三角函数的需要；
⑵.实际问题中存在研究像sinα与tan（45°+α）这 样包含两角和的三角函数与单角α，45°的三角函 数的关系的需要；
2.探索公式，建构新知
1、凭直觉得出cos（α－β）=cosα－cosβ是学生经常出现的 错误，通过讨论可以知道它不是对任意角α、β都成立的；
2、在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会 向量方法的作用；
3、教师提出几个合理的问题,引导学生结合有关图形，讨论 完成运用向量方法推导公式的必要准备；
(1)、结合图形,明确应选择哪几个向量,它们怎么表示? (2)、怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到探索结果?
4、探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节， 抓住主要问题及其讨论线索进行探索，然后再作反思，予 以完善。（这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)
要获得cos( ) 的表达式需要哪些已学过的知识？
涉及 三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上
的三角函数线或向量的夹角公式. 法一（三角函数线）
如图，设角 ，为锐角，且 ，y
作PM x轴，PA OP1，
P1 A
P
O
M
x
那么我们用三角函数来表示这些线段：
引导学生讨 论最简单的
情况
整理可得：
cos( ) cos cos sin sin .
四、教法学法
教法学法分析：
根据学生情况，本节课的特点，按照高中学生的认
知规律，遵循“教师为主导，学生为主体，训练为主线”
的指导思想，为实现本节课的教学目标，突出重点，突
破难点，设计如下教学过程：
导入（创设情境）
自主学习（针对 提出的问题）
合作探究（探索、尝试、 启发、诱导解决问题）
课后拓展（作业）
法二（向量法）
在单位圆中 A
OA cos ,sin ， OB cos ,sin ，
OA OB OA OB cos( ) cos( ).
OAOB cos cos sin sin .
y
α
B
β
o
1x
-1
cos( ) cos cos sin sin .
3.认识公式，深化理解
教学要求: 1、借助单位圆，运用三角函数线向量的方法
推导两角差的余弦公式； 2、能够使用两角差的余弦公式求特殊角和差
角的余弦值； 3、让学生感受数学知识的相互联系，培养逻
辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意 识，提高数学素质。
二、学情分析
学生已经学习了同角三角函数的基本关 系、诱导公式及平面向量，这为他们探 究两角差的余弦公式建立了良好的基础。 但学生的逻辑推理能力毕竟有限，要发 现并证明公式 C(α-β)有一定的难度，教 师可引导学生通过合作交流，探索两角 差的余弦公式，完成本课的学习目标
2
2
(3)cos( )cos sin( )sin
练习2：已知cos( ) 4 , (0, ),cos 5 ,是第二象限角，
5
2
13
求cos 。
【设计意图】⑴.通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解，使 学生掌
握公式的正用，逆用，变角使用，提高学生的数学思维能力，体现 思维的创新意识。 ⑵.练习2有一定难度，可根据学生的接受情况，在具体教学中可根 据不同程度的教学对象及课堂学生的反应情况进行删减与调整。
两角差的余弦公式
一、教材分析
教学内容：
本节是人教版普通高中课程标准实验教科 书数学必修四第三章第一节的内容，是本模 块第一章《锐角三角函数》和第二章《平面 向量》相关知识的延伸和拓展，也是本节中 推导两角和、差、倍角、半角等三角恒等变 换公式的基础，可以说是起承上启下，串联 全书的作用。
本节的知识基础是：三角函数线与向量的数
4. 例题讲解，巩固应用
1、已知 sin
2 ，
3
（，3
2
），cos
3 ，
4
(
3
2
, 2
),
求co（s ）。
目的是让学生巩固已学公式
2、已知cos = 117，cos(
ห้องสมุดไป่ตู้
)=-
4571，0
,
2
,
求cos .
目的是让学生初步体会拆分的思想方法。
5.变式演练，深化认识
练习 1 ：化简求值
（1）cos80cos20 sin80sin 20 （2）1 cos15 3 sin15
6.课堂小结，作业布置
⑴小结 1）.公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明 2）.在运用两角差的余弦公式时应注意： ①根据角的范围，确定两角正、余弦值的正负． ②适当逆用公式，可达到化简计算的目的． ③灵活选取两角的形式，活用公式． 【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达 的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识 纳入已有的认知结构. ⑵作业布置 习题3.1 A组2、3、4、5
两角差的余弦公式
对于任意， , 有
cos( ) cos cos sin sin .
称为差角的余弦公式，简记为
C. ( )
【设计意图】教师通过提问引发学生思考，并让学生 分组活动，相互讨论，合作学习，运用从特殊到一般 、数形结合等数学思想将问题层层深入，最后达到推 导的完备。从而让学生体验探究的过程，锻炼学生的 思维品质。
练习
小结
练习
五、教学过程 课题的引入
教学过程分析
数学教学是数学活动的教学。因此，我将整个教学
过程分为以下六个教学环节：
D
1. 创设情境，导入新课 [引例]某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上. 如图所示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A, 测得A、C两点间距离约为67米,从A观测电视发射塔 的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.
三、教学目标
1.知识目标 ①.掌握运用单位圆中的三角函数线和向量的方法推导两角 差的余弦公式. ②.掌握公式的结构和特点，能够简单运用公式. 2.能力目标 ①.在公式探究过程中体会从特殊到一般，数形结合、分类 讨论等多种数学思想. ②.通过公式的探究、灵活运用，培养学生分析问题、解决 问题的能力. 3.情感目标 ①.通过公式的推导论证过程，培养学生学习数学的严谨 、 求实的科学态度. ②.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于 思考、勇于探索的精神.
【设计意图】从课本章头实际问题作为情境，引入
课题，这有利于强调数学与实际的联系，增强学生 的应用意识，激发学生学习的积极性。同时提出本 章的研究课题。
C
45°67
30
α
⑴.实际问题中存在研究像tan（45°+α）这样包含 A
B
两个角的三角函数的需要；
⑵.实际问题中存在研究像sinα与tan（45°+α）这 样包含两角和的三角函数与单角α，45°的三角函 数的关系的需要；
2.探索公式，建构新知
1、凭直觉得出cos（α－β）=cosα－cosβ是学生经常出现的 错误，通过讨论可以知道它不是对任意角α、β都成立的；
2、在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会 向量方法的作用；
3、教师提出几个合理的问题,引导学生结合有关图形，讨论 完成运用向量方法推导公式的必要准备；
(1)、结合图形,明确应选择哪几个向量,它们怎么表示? (2)、怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到探索结果?
4、探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节， 抓住主要问题及其讨论线索进行探索，然后再作反思，予 以完善。（这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)
要获得cos( ) 的表达式需要哪些已学过的知识？
涉及 三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上
的三角函数线或向量的夹角公式. 法一（三角函数线）
如图，设角 ，为锐角，且 ，y
作PM x轴，PA OP1，
P1 A
P
O
M
x
那么我们用三角函数来表示这些线段：
引导学生讨 论最简单的
情况
整理可得：
cos( ) cos cos sin sin .
四、教法学法
教法学法分析：
根据学生情况，本节课的特点，按照高中学生的认
知规律，遵循“教师为主导，学生为主体，训练为主线”
的指导思想，为实现本节课的教学目标，突出重点，突
破难点，设计如下教学过程：
导入（创设情境）
自主学习（针对 提出的问题）
合作探究（探索、尝试、 启发、诱导解决问题）
课后拓展（作业）
法二（向量法）
在单位圆中 A
OA cos ,sin ， OB cos ,sin ，
OA OB OA OB cos( ) cos( ).
OAOB cos cos sin sin .
y
α
B
β
o
1x
-1
cos( ) cos cos sin sin .
3.认识公式，深化理解