初中数学常见应用题解法例谈

地到B地是顺风，路上需要6 h，从B地到
A地是逆风，需要8
h，风速已知为
1 48
km/h.
有一名快递员，早上6时从A 地出发去B
地，路上由于颠簸，在到达B地后发现掉
了一个快递，于是立马回去找. 终于在1 h
后发现了丢失的快递，请问，这包快递
是在什么时间掉下去的？我们将快递掉
落的时间设为x，根据题意可画出如图1
所示的线段图.
上午6时 A
1
（12-x）×
1 6
x时掉落
相遇 中午12时 B
（12-x）·418 418•1
1 8
·1
图1
根据线段图我们可以很清楚地看
到，从快递掉落的地方到B地的路程=快
递随风吹所走的路程+快递员从B地返
回找到快递所行的路程，根据这个等式
关系，可列出方程：（12-x）·418 +1·418 +
强化学生根据题意列出有关方 程的练习
（1）强化列代数式的联系. 要想根据 题意列出有效的方程式，首先要列好代
数式，加强列代数式的练习，在练习中
可以采用以下方法：借助数学语言来对
代 数 式 进 行 叙 述 ，比 如“9x +3”叙 述 为
“某个数的 9 倍再加上 3”；借助代数式
来表达数量关系，如将“比 x 的 4 倍多
1 8
·1=（12-x）·
1 6
.
第四，寻找变化过程中的恒定量，
找到隐含的等量关系. 在一些难度较大
的应用题中，通常都会设置一些恒定
量— ——在整个题目中一直都是不变的，
在解答的过程中，要从这些恒定量入
手. 比如，一架直升机从甲地到乙地是
顺风，需要飞行4 h，从乙地到甲地是逆 风，需要飞行6 h，假设风速不变，不考 虑其他因素的影响，一个气球从甲地飘
7”，写成“4x+7”；结合实际题目的意思
来对代数式的含义进行表述，如运动器
材店进货，购进 x 个篮球，每个的进价
为 50 元；购进 15 个排球，进价为 y 元，
让 学 生 结 合 题 意 表 述 例 如 50x，15y，
50x+15y 的数学含义，其中 50x 表示购
进篮球所花的钱，50x+15y 的含义为购
第二，依据一些基本数量关系和计 算公式，列出等量关系. 比如，在清扫某 片生活垃圾时，清洁工A 单独完成需要3 小时，清洁工B单独完成需要2小时，假如
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让他们两人共同清扫这片垃圾，能在多
长时间内完成？解答时，我们将二人共同
人报了投掷类项目，又知同时报名跑步
类和投掷类项目的人数是没有填报任
何项目人数的9倍，试求既报名投掷类
又报名跑步类项目的同学的人数. 根据
题意可画出如图2所示的图形.
x 9
未报名
40-x 跑步类
x
37-x 投掷类
图2
设两个项目都填报的学生人数为
x，由图可得x+
x 9
+（40-x）+（37-x）=45.
［关键词］ 初中数学；应用题；解法
解答初中数学应用题时，最关键的就 是，要找准等量关系，列出有效的方程式.
总结学习中常见的数量关系
初中数学中的应用题与实际生活联 系较为紧密，大多数都存在着一定的数 量关系. 比如，在工程问题中有以下的数 量关系表达式：工作总量=效率×工时； 在 路 程 问 题 中 有 以 下 的 数 量 关 系 ：路 程=时间×速度；买卖问题中的数量关系 表达式：总价=数量×单价；生产问题中 的数量关系表达式：总产量=数量×单个 产量；盈利问题中的数量关系表达式：利 润=卖出价-购进价（利润=售价-成本）； 浓度相关问题的数量关系表达式：溶液 浓度=溶质的质量÷溶液的质量；储蓄问 题中的数量关系表达式：利息=利率×存 储时间×本金. 数量关系不仅以上几种， 所以教师在教学过程中要对数量关系进 行归纳和总结，让学生熟练掌握，以减 少他们在审题过程中遇到的困难.
式— ——12x+7=40.
（4）以现有的方程式为基础，编写
有效的应用题. 教师给出一个方程式，
让学生对其中的关系进行分析，与实际
生活相结合，编写出合理的应用题，培
养学生的逆向思维，这能使学生更好地
从正面理解题目. 例如，教师给出方程
式x 4
+
x 6
=1，让学生编写有关的题目.
实践时，学生给出的题目多种多样，有
教会学生通过列方程求解问题 的步骤
列方程求解是一种重要的解答应 用题的方法，教师要帮助学生掌握该方 法的基本步骤.
第一，审清题目. 要认真地审题，对 题目的整体含义、给出的已知条件、题 目的具体要求以及关键词进行准确地 把握，要想在最短的时间内得到问题的 答案，就必须做好审题环节的工作，通 过题目的描述来寻找解决问题的方法.
第一，抓住关键词. 通常，在题目 中，会有凸显等量关系的关键词，这就 要求在审题时对这些词语给予重视，从 中找出等量关系. 这些词语主要有：几 倍 、多 、少 、总 共 、大 、小 、一 半 、几 分 之 几、减少、增加、超出、不足等，当然，还 要学会能将其转化为符号语言.
比如，某个健身馆在三年之中一共 购买了140台跑步机，已知前年的购买 量是去年的一半，去年的购买量为今年 的一半，试求前年这家健身馆一共购买 了多少台跑步机. 从题目中我们很容易 找到关键词，并列出有关的等式：前年 的购买量+去年的购买量+今年的购买 量=140台，去年的购买量=前年的购买 量×2，今年的购买量=去年的购买量×2.
完成的时间设为x，单位为小时，结合基
本数量关系：工作总量=工作效率×工作时
( ) 间，可以得出等量关系— ——
1 2
+
1 3
x=1.
第三，依照题意画出相关的线段
图，结合图形列出等量关系的表达式.
有的应用题数量关系十分烦琐，需要我
们利用线段图对其相关量进行表述. 比
如，骑摩托车往返于A 地、B地之间，从A
进篮球和排球一共所花的钱.
（2）强化寻找等量关系的练习. 要想
列出有效的方程进行求解，最为重要的
就是寻找等量关系，在练习中，应尽量
为学生设置一些与实际生活相关的题
目，帮助学生实现全面提高. 比如，放学
时去买雪糕，在找钱的时候，应找回的
钱数=付款数-雪糕价钱，这种问题虽然
简单，但能起到很好的联系效果.
发现已知量之间的等量关系. 例如，甲
以 6 km/h的速度从A 地去往B地，在甲
出发40 min后，乙以8 km/h的速度从A
地去B地，在甲还差5000 m就到达B地
时，二者相遇. 试求甲、乙两地之间的
距离. 解答时，我们可将两地之间的距
离设为x km，根据题目的描述，列出下
面的表格：
速度（km/h） 路程（km） 时间（h）
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朱卉斌 江苏南京市紫东实验学校 210049
［摘 要］ 应用题在初中数学中占有很大的比重，在解题时需要一定的方法和步骤. 本文根据笔者教学中的例子，对应用题解题方法进行了梳理，希望对教学有 所帮助.
实际的建筑工程问题，还有放学路上的
追逐问题，整个课堂效果相当好，学生
对知识的掌握也更加牢固.
以上就是笔者结合例子对初中数
学常见应用题解法的分析，并结合自己
的教学实践，提出的解题的 4 种具体方
法. 要想做好有关教学，还需根据实际
情况采取有效的措施，切实提高初中生
的数学应用题解题能力.
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到乙地，需要多长时间？我们将气球从
甲地飘到乙地的时间设为x，由于在无
风条件下直升机的速度一直都是不变
的，这就是问题的突破口，而无风下直 升机的速度=顺风速度-风速=风速+逆 风速度，所以我们可以得出方程—— —
1 4
-
1 x
=
1 x
+
1 6
.
第五，通过列表发现等量关系. 根
据题目描述列出表格，能够很容易地
甲
6
x-5
x-5 6
乙
8
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x-5
x-5 8
我们很容易就能得出题目中的等 量关系：甲的行驶时间与乙的行驶时间
之差为
2 3
h，由此可列出方程———
x-5 6
-
x-5 8
=
2 3
，从而求得问题的答案.
第六，通过图形形象地表示题目中
的数量关系. 例如，班级有45名学生，在
运动会上有40人报了跑步类项目，有37
第二，设未知数. 我们通常也将这 一步称作“设元”. 其中设置的未知数主 要分为直接未知数和间接未知数两种， 一般情况下，我们都是直接设未知数， 如果这种设元的方法不能简化问题，就 需要根据题目的具体内容设置间接的 未知数.
第三，列出与题目相关的所有等量 关系式. 通常情况下，可根据题目的描 述找到描述等量关系的一些关键词，然 后将有关的等量关系式列出. 这时，可 以与总结出的常见等量关系式相结合， 建立起与题目有关的关系式，同时还可 以采用画图、列表等方法找到数量关系.
第四，以这些等量关系为基础，列 出相应的方程，再进行求解.
第五，对求得的结果进行检验. 将 求得的结果带入题目当中，看其是否符 合实际情况，同时还要检查计算过程中 是否出现错误. 检查无误后，得出最终 结果，并标明对应单位.
加强对学生寻找题目等量关系 的练习
在解决应用题的过程中，最重要的 就是要找到题目中的等量关系，以这些 等量关系为基础，建立有关的方程，进 行求解，最终得出答案. 因此，要加强对 学生寻找等量关系的练习.
（3）将以上两种练习进行有效地结
合. 在强化列代数式和找等量关系的练
习后，还要将二者进行很好地结合，列
出有效的方程式. 比如，用一块长为 40 m
的布料做衣服，一共做了 12 件相同的
衣服，每件衣服用布 x m，最后发现还
有 7 m 剩余，这个问题中的等量关系
是：使用前布料的长度=剩余布料长度+
使用的布料长度，于是可列出方程