第七章直线与圆张海君

第七章：直线与圆

奉贤区教师进修学院 张海君

本章包括平面的直线方程和圆的方程两大块内容，一共 8个知识点。其中 直线方程的一般式方程和两条直线的交点和夹角属于解释性理解水平，其它 6 个知识点属于探究性水平。从近几年高考来看，重点考查利用方程思想去表达直 线与圆的位置关系和数量关系。

一、考点

直线的点方向式方程，直线的点法向式方程，直线的一般式方程，直线的倾 斜角与斜率，两条直线的交点和夹角，点到直线的距离，圆的标准方程和一般方 程。

二、基本题型

直线方程的形式（点的方向式，法向式）

求经过抛物线｛ EMBED Equation.3 | y 2 =4x 的焦点，且以为法向量的直线

的点的方向式方程

分析：抛物线焦点坐标，直线的方向向量与法向量垂直， 所以方向向量为直线的 方向向量 答案：直线 点评：考查直线的点方向式方程，方向向量、法向量等基本概念 2 直线的倾斜角与斜率 例2若图中的直线的斜率分别为，则

A.

B.

C.

D.

解：由斜率与倾斜角的关系，依正切函数的图象易知，故选

3两直线的位置关系 例3已知两条直线:l 1 :

当m 为何值时，11与l 2 解：若m = 0时11： x = I 2:

2x — 3y = 0,此时l 1与l 2相交

若

由

故i ）当,l i 与l 2相交

ii ）当m = — 1时，，l i 与l 2平行

（iii ）当m = 3时,I 1与l 2重合。

点评：注意对于分母系数0的讨论

4两条直线位置的交点、夹角、点到直线的距离

例4 （ 2009全国卷I 文）：若直线m 被两平行线l 1:x-y + 1 = 0与l 2: ^ y + 3=0所

截得的线段的长为142，则m 的倾斜角可以是 ①15"

②30" ③45" ④

60 ⑤ 75

其中正确答案的序号是 x + my + 6 = 0, l 2： (m — 2)x + 3y + 2m

= 0

(i)相交；(ii)平行；(iii)重合。

.（写出所有正确答案的序号）

解：两平行线间的距离为，由图知直线m 与li 的夹角为30°，li +1

的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30° +45° =75°或45°—30° =15°。 故填写①或⑤

点评：本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形 结合的思想。

5直线与圆的位置关系

例5过原点且倾斜角为60。的直线被圆x 2+y 2—4y=0所截得的弦长为()

(A 品(B) 2 (C)厉(D) 2^3

解析：直线方程y=J 3x,圆的标准方程x 2+(y -2)2 =4 ,圆心(0,2到直线的距离

, _________ =1,由垂径定理知所求弦长为 d * =2j 22-12

=273

J")2 +(-1)2

故选D.

点评：考查直线方程的点斜式，圆的两种方程形式的转化，点到直线距离，垂径 定

理 已知直线1 : y=x+m , m€ R。若以点M (2,0)为圆心的圆与直线1相切与 且点P

在y 轴上，求该圆的方程；

可以设圆的方程，切点根据圆的切线性质：得，从而计算 ，圆的方程

考查圆的切线性质

/3 f 3 由图可知，m 的取值范围应是(-一,0)^(0,―) 3 3

答案：B

点评：考查数形结合解决圆和直线的位置关系

6两圆的位置关系

例 8 若圆 X 2 + y 2 = 4 与圆 X 2 + y 2 + 2ay - 6 = 0(a > 0)的公共 弦长为2J3，则a= . 解：由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为

1 丨丄丨 f-三

y=—，利用圆心(0,0)到直线的距离d=—匸为V 22—(3 =1，

a

*1 解得a=1

例6 点P, 分析: 点评:

(江西)若曲线G ： X 2 +y 2 -2x =0与曲线C 2： y(y-mx-m) =0有四个不同 的交点，则实数m 的取值范围是(

(-李丰) 3 3 r V 3 J 3 ] [—亍寸 A. C. 分析: B. D. 43 J 3 (—〒,02(0=) 3 3 43 (3 (严—二72(二7 严)

曲线x 2+y 2-2x=0表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，曲线 y (y -mx -m ) =0 ,直线表示y=0或直线y-mx-m=0;过定点(-1,0)，直线y = 0与 由图可以知道，临界情 U 3 工 43

m =-—和 m =—, 3 3

圆有两个交点，故y -mx-m = 0也应该与圆有两个交点, 况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应

点评：考查两圆、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。

综合应用

例9( 2011全国)：在平面直角坐标系xOy 中，曲线与坐标轴的交点都在圆C 上.

(I) 求圆C 的方程；

(II) 若圆C 与直线交于A, B 两点，且求a 的值.

分析：(1 )曲线与y 轴的交点为(0, 1)，与x 轴的交点为(故可设C 的 圆心为(3, t),则有解得t=1.则圆C 的半径为所以圆C 的方程为

(n)设A (), B (),其坐标满足方程组：

消去y ，得到方程

由已知可得，判别式

从而 ①

由于OA 丄OB ，可得

又所以 ②

由①，②得，满足故 综合应用

例10 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆G:(x+3)2 +(y -1)2=4和圆 C 2:(x-4)2

+(y -5)2 =4.

(1) 若直线l 过点A(4,0)，且被圆G 截得的弦长为273 , 求直线l 的方程；

(2) 设P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对 互相垂直的直线l 1和I 2,它们分别与圆G 和圆c 2相交，且 直线l 1被圆G 截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相 等，试求所有满足条件的点P 的坐标。

解(1)设直线l 的方程为：y = k(x-4),由垂径定理得： 圆G 的圆心到直线l 的距离l ，由点到直线距离公式，得： f 4k|=1,化简得：或

J k 2 +1

化简得：(2-m- n)k=m - n - 3,或 (m -n +8)k = m + n - 5

由已知条件，上式关于k 的方程应有无穷多解，于是有：

（2-m-n = 0 亠 fm-n+8=0 j 或j

[m -n -3 =0' [m+n-5=0

解之得：点p 坐标为（—313）或（5丄。

2 / （2，2）

点评：本题主要考查直线与圆的方程、 点到直线的距离公式，考查数学运算求解 能力、综合分析问题的能力。第 2问涉及到命题恒成立的思想。

于是直线l 的方程为：y = 0或y =-Z(x-4).

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l 2的方程分别为：21世纪教育网

⑵设点P 坐标为(m, n)，直线h 、 1

y -n = k(x -m), y - n = - — (x -m), k 因为直线l i 被圆G 截得的弦长与直线l 2被圆 圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等。

4 1

| -3k -1 +n -km|」一7 f+n +k m|

----- ----- - -- '、 一―、 J k +1 由垂径定理，得：圆 G 的圆心到直线11与 故

有： 21世纪教育网