数学符号意识的理解

数学符号意识的理解

符号语言是在文字语言的基础上产生的，它把文字语言的主要内容以直观、形象的方式简练地表示出来，方便地进行表达、交流、思考以及解决问题。数学符号能够精确地表达某种概念、方法、数量关系和逻辑关系，从而为数学交流和进一步学习数学提供了方便。《标准》根据数学的学科和课程特点，把在解决问题的过程中发展学生的"符号感"作为义务教育阶段的一个重要的数学学习内容。

一、如何理解符号感

符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。学习数学的目的之一是要使学生懂得符号的意义、会运用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。

《标准》强调发展学生的符号感，并指出：“符号感主要表现在：从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。”

1．无论在哪个学段，都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化，规律，这是发展学生符号感的决定性因素。

学生已有的生活经验中潜藏着“符号意识”，这是发展学生“符号感”的重要基础。比如，路口有标志“”，表示此路不通；某场地有标志“”表示可以停车；还有地图上的各种标识，等等。

从某种意义上讲，我们生活在一个被“符号化”的世界。然而，数学教学中，学会“符号运算”似乎是一个极大的难题。原因何在？主要的问题在于我们以往的教学不承认学生经验中的“符号世界”，没有给学生提供机会经历“从具体事物→学生个性化的符号表示→学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程。例如，在解决“一张桌子最多可以围坐6人，15人至少需要多少张桌子？”这一问题时，有的学生可能会通过实际“排演”找到答案；有的学生可能会用长方形的小片表示桌子，用小圆片表示人，然后通过操作找到答案；还有的学生可能会在白纸上画出下图给出答案。当然，也有的学生会通过列算式求得结果。又如，《标准》在第二学段给出了一个案例：按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气

球的顺序摆下去，第16个气球的颜色是什么？学生利用经验，可以给出多种解题策略。策略一：红红红黄黄绿红红红黄黄绿红红红黄；策略二：A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气球，AAABBCAAABBCAAAB。策略三：1表示红气球，2表示黄气球，3表示绿气球，1112231112231112…。又如，表示"由矮到高的3个人"也可以有多种方式：

上述案例表明，“符号感”的发展需要有坚实的经验基础。应促进学生在交流、分享的过程中，丰富经验，学习符号化的多种途径，逐步体会用数、形将实际问题"符号化"的优越性。

2．引进字母表示是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步。

引进字母表示，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。荷兰著名数学家、数学教育家H.Freudenthal指出：“代数开始的典型特征是文字演算。”字母作为数学符号有两种作用。首先，字母可作为专用名词，如π是个完全确定的数，或用A表示两直线交点。显然，特定集合需要使用标准的专用名词，如Z，N。其次，字母可作为不确定的名词，就像日常生活中的“人”，可以表示所有的人。

用符号来表示具体情境中的数量关系，也像普通的语言一样，首先需要引进基本的字母。在数学语言中，像数字以及表示数的字母、表示点的字母、+一×÷等表示运算的符号、=<>等表示关系的符号等等，都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。

从第二学段开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步。从研究一个个特定的数到用字母表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃，初学时学生往往会感到困难，或者是形式地死记硬背，而不理解其意义。要尽可能从实际问题中引入，使学生感受到字母表示数的意义。

第一，用字母表示运算法则、运算律以及计算公式。这种一般化是基于算法的，常常开始于算术中对数的运算。算法的一般化，深化和发展了对数的知识。

如加法交换律a+b=b+a，乘法结合律(ab)c=a(bc)，两数和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2等。在这里，字母a，b，c表示任意的实数。代数中用字母表示数，把人们关于数的知识上升到更一般化的水平，使得算术中关于数的理论有了一般化、普遍化的意义，是从算术的实际向代数的抽象的一个飞跃。用符号表示数也是学生学习一般化、形式化地认识和表示研究对象的开始。

第二，用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系。例如，如果白糖每千克a元，那么b千克自糖的价格是ab元；匀速运动中的速度u、时间t和路程s的关系是s=ut ；三角形的面积公式是S=1/2ah(a表示三角形某一底边的长，h表示该底边上的高)等等。

第三，用字母表示数，便于从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并确切地表示出来，从而有利于进一步用数学知识去解决问题。例如，我们用字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的相等关系列出方程；用字母(例如hy)表示某一变化过程中相关联的两个变量，利用给出的变量间的相互关系列出函数表达式等等。

对于《标准》所说的"能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示"，应从以下几方面去理解：

第一，这种表示常常从探索和发现规律以及进行归纳推理开始，然后用代数式一般化地将它们表示出来。例如，搭1个正方形需要4根火柴棒。(1)按照图中的方式，搭2个正方形需要几根火柴棒？搭3个正方形需要几根火柴棒？(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？(4)如果用z表示所搭正方形的个数，那么搭z个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴进行交流。在搭2个、3个、10个正方形时，学生们可能会具体数一数火柴棒的根数，但当搭100个时，学生们就需要探索正方形的个数与火柴棒的根数之间的关系，发现火柴棒根数的变化规律。规律是一般性的，需要用字母表示。根据不同的算法，学生可能得到下列四种不同形式的表达式：4+3(z-1)，z+z+(z+1)，1+3z，4z一(z-1)。

第二，用字母表示的关系或规律通常被用于计算(或预测)某个未给出的或不易直观得到的值。如上述问题中，当z=100时，1+3z=1+3×100=301。