高一数学(必修1)专题复习三 指数函数和对数函数

高一数学（必修1）专题复习三

指数函数和对数函数

一．基础知识复习

（一）指数的运算： 1．实数指数幂的定义：

（1）正整数指数幂：

a

n n a a a a 个⋅⋅⋅=（R a ∈）（2）零指数幂：10

=a （0≠a ） （3）负整数指数幂：n n

a

a 1

=

-（0≠a ） （4）正分数指数幂：n m n

m a a =（1,,,0≠∈≠+n N n m a ）

（5）负分数指数幂：n

m

n

m a

a 1

=

-

（（1,,,0≠∈≠+n N n m a ．

2．指数的运算性质： ① y

x y

x

a

a a +=⋅ ② y

x y x a a

a -= ③ xy y x a a =)( ④ x x x

b a ab =)(

（二）对数的运算：

1．定义：如果a N a a b

=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底N 的对数，记作

N b a log =（a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式）．即：b N N a a b

=⇔=log ．

（1）由于N a b

=>0，故log a N 中N 必须大于0 （2）当N 为零和负数时对数不存在 （3）1的对数是零，01log =a （4）底数的对数等于1，1log =a a 2．对数恒等式：（1）a N a N

log = （2）b a b a =log （3）m n a a n m log log =

3．对数的运算法则：

① ()N M MN a a a log log log += ② N M N

M

a a a

log log log -= ③ ()N n N a n

a log log = ④ N n

N a n a log 1log =

4．对数换底公式：b

N

N a a b log log log =．由换底公式推出一些常用的结论：

（1）log log log log a b a b b a b a =

=1

1或· （2）c c b a b a log log log =⋅ （3）log log a m a n b m n b = （4）log log a n

a n

b b = （5）log a m n a m n

=

（一）指数函数的图象和性质

1．x y a =(0a >且1a ≠)的定义域为R ，值域为()0,+∞．

2．x

y a =(0a >且1a ≠) 的单调性： 当1>a 时，x

y a =在R 上为增函数； 当01a <<时，x y a =在R 上是减函数． 3．x

y a =(0a >且1a ≠)的图像特征： 当1>a 时，图象像一撇，过点()0,1， 且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴；

当01a <<时，图象像一捺，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴． 4．x y a =与x

a y -=的图象关于y 轴对称． （二）对数函数的图象和性质

1．)10(log ≠>=a a x y a 且 的定义域为+

R ，值域为R ．

2．)10(log ≠>=a a x y a 且的单调性： 当1>a 时，在()+∞,0单增， 当01a <<时，在()+∞,0单减． 3．)10(log ≠>=a a x y a 且的图象特征：

当1>a 时，图象像一撇，过()1,0点，在x 轴上方a 越大越靠近x 轴； 当01a <<时，图象像一捺，过()1,0点，在x 轴上方a 越小越靠近x 轴． 4．b a log 的符号规律（同正异负法则）：

给定两个区间()0,1和()1,+∞，若a 与b 的范围处于同一个区间，则对数值大于零；否则若a 与b 的范围分处两个区间，则对数值小于零． 5．log a y x =与x y a

1log =的图像关于x 轴对称．

6．指数函数x

y a =与对数函数log a y x =互为反函数．

（1）互为反函数的图像关于直线x y =对称 （2）互为反函数的定义域和值域相反 （3）一般地，函数)(x f y =的反函数用)(1

x f

y -=表示，若点),(b a 在)

(x f y =的图像上，则点),(a b 在)(1

x f y -=的图像上，即若b a f =)(，则a b f =-)(1

． （4）求反函数的步骤：①反解，用y 表示x ； ②求原函数的值域； ③x 与y 互换，并标明定义域．

二．训练题目

（一）选择题

1．设0a >2

3

a a a ⋅⋅=（ ）

A ．1112a

B ．712a

C 65a

D 67a

2．已知log 2a x =，log 1b x =，log 4c x =，则log abc x =（ ）

A ．

47 B ．27 C ．72 D ．74

3．若)3

log 4log 4log 3log (

)3log 4(log 3log log 43342

4349+-+=⋅x ，则=x （ ） A ．4 B ．16

C ．256

D ．81

4．如图为指数函数x

x

x

x

d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，

则d c b a ,,,与1的大小关系为（ ）

A ．d c b a <<<<1

B ．c d a b <<<<1

C ．d c b a <<<<1

D ．c d b a <<<<1 5．已知01a <<，log log 0a a m n <<，则（ ）

A ．1n m <<

B ．1m n <<

C ．1m n <<

D ．1n m <<

6．设c b a ,,均为正数，且a a

2

1log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c

2log 21=⎪⎭⎫

⎝⎛.则（ ）

A ．c b a <<

B ． a b c <<

C ． b a c <<

D ． c a b << 7．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 8．已知函数x

y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则（ ）

A ．()22()x

f x e x R =∈ B ．)0(ln 2ln )2(>⋅=x x x f

C ．()22()x

f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>

9．已知函数3

()2

x f x +=，1

()f

x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则

11()()f m f n --+ 的值为（ ）

A ．2-

B ．1

C ．4

D ．10

10．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y x =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）

A ．21

x e -

B ．2x

e

C ．21

x e

+

D ．22

x e

+

（二）填空题

1．函数32)(1

2-=-x a x f （1,0≠>a a ）的图象恒过定点 ．

2．函数)232(log 2)(2

+--=x x x f a （1,0≠>a a ）的图象恒过定点 ．

3．设,0.(),0.

x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1

(())2g g = ____．

4．已知n y m x a a ==log ,log ，则434log a x a y ⎝= ．

5．已知a =10log 3，b =25log 6，则用a 、b 表示=45log 4 ．