【VIP专享】第六章 三维问题的有限元法

函数
单元内任一点位移 几何 单元内任一点应变
{ (x, y)} [N ]{ e } 方程 { ( x, y)} [B]{ e }
{ } [D]{ } 物理关系 { (x, y)}
一. 单元划分
1. 四面体形状
三角形棱锥
2. 节点位移
每一节点有x,y,z三个方向位移，有4个 节点，单元自由度为12
§6.1 三维问题的力学基础
一. 三维问题的位移、应变和应力
三维问题的研究对象为具有x,y,z 坐标的空间物体，即立体。这是实际 中机械零件的真际情况。
空间任意点(x,y,z)的位移: 空间任意点(x,y,z)的应变: 空间任意点(x,y,z)的应力: 剪应力(切应力)互等定律：
二. 三维问题的几何(变形)方程
u2
{
}
u v
w
Hale Waihona Puke Baidu
[
N
]{
e
}
N1 0
0
0
N1 0
0 0 N1
N2 0
0
0
N2 0
0 0 N2
N3 0
0
0
N3 0
0 0 N3
N4 0
0
0
N4 0
0 0 N4
v2 wu32 v3
形状函数矩阵N
w3
u4 v4
w4
三. 几何矩阵（应变矩阵）及“单元内应变——节点位移”关系
三. 三维问题的物理方程(广义Hooke定律)
x
1 E
[
x
(
y
y )]
y
1 E
[
y
( z
x )]
z
1 E
[ z
( x
y )]
xy
xy
G
2(1 E
)
xy
yz
yz
G
2(1 E
)
y
z
zx
zx
G
2(1 E
)
z
x
— 泊松比
也可表示成“应力——应变”的关系
x
E(1 ) [ (1 )(1 2)
{ } [u, v, w]T
{ } [ x , y , z , xy , yz , zx ]T
{ } [ x , y , z , xy , yz , zx ]T
xy yx , yz zy , zx xz
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
xz
u w z x
u N1u1 N 2u2 N3u3 N 4u4 v N1v1 N 2v2 N3v3 N 4v4 w N1w1 N 2w2 N3w3 N 4w4
其中： N1
1 6V
(a1
b1 x
c1
y
d1z)
N2
1 6V
(a2
b2 x
c2
y
d2z)
N3
1 6V
(a3
b3 x
c3
y
d3z)
1 N4 6V (a4 b4 x c4 y d4z)
b4w4 )
u1
x
xzyy
1 6V
b1
0
0
c1
0 c1 0 b1
0 0 d1 0
b2 0 0 c2
0 c2 0 b2
0 0 d2 0
b3 0 0 c3
0 c3 0 b3
0 0 d3 0
b4 0 0 c4
0 c4 0 b4
0
v1 w1
u2
0
d4 0
v2 wu32
x
1 u
(
y
y
)]
y
E(1 ) [ (1 )(1 2)
y
1 u
(
x
z )]
z
(1
E (1 )(1
) 2
)
[
z
1 u
( x
y )]
xy
E 2(1
)
xy
yz
E 2(1
)
yz
zx
E 2(1
) zx
x
1
1u 1u 1
0 0
1 u
1 u
0 0
0
0
x
xzyy
E(1 ) (1 )(1 2
形状 函数
列中元素的代
数余子式
a1 , a2 , a3 , a4
b1 , b2 , b3 , b4
c1 , c2 , c3 , c4
d1, d2 , d3 , d 4
1 x1 y1 z1
6V
1 1
x2 x3
y2 y3
z3 z3
1 x4 y4 z4
V—四面体 体积
2. 形状函数矩阵
u1
v1 w1
d3w3
d4w4 )
xy
u y
v x
( N1u1
N 2u2 N3u3 y
N 4u4 )
( N1v1
N2v2 N3v3 x
N4v4 )
1 6V
(c1u1
c2u2
c3u3
c4u4
b1v1
b2v2
b3v3
b4v4 )
yz
v z
w y
( N1v1
N
2v2 z
N 3v3
N 4v4
)
( N1w1
N2w2 y
yx
0 d1 c1 0 d2 c2 0 d3 c3 0 d4 c4 v3
zx
d1 0 b1 d2 0 b2 d3 0 b3 d4 0 b4 w3
u4 v4
w4
B——四面体单元几何(应变)矩阵
式中：
b1, b2 , b3 , b4 , c1, c2 , c3 , c4 , d1, d2 , d3 , d4 取决于四个节点的坐标值， 故为常量。
)
1 u 0
1 u
0
y z
1 0
0 1 2 2(1 u)
0 0
0 0
xzyy
yz
z x
0 0 0
0
0
0
0 0
1 2 2(1 u)
0
0
zx
1 2
2(1 u)
定义为: D弹性阵矩
表示成矩阵: { } [D]{ }
§6.2 三维有限元分析的四面体单元
思路 { e } 插值
x
u x
( N1u1
N 2u2 x
N 3u3
N 4u4 )
1 6V
(b1u1
b2u2
b3u3
b4u4 )
y
v y
( N1v1
N2v2 y
N 3v3
N4v4 )
1 6V
(c1v1
c2v2
c3v3
c4v4 )
z
w z
( N1w1
N2w2 z
N 3 w3
N4w4 )
1 6V
(d1w1
d2w2
ui — 第i节点的x方向位移
vi — 第i节点的y方向位移 wi — 第i节点的z方向位移
(i=1,2,3,4)
{ e } [u1, v1, w1, u2 , v2 , w2 , u3, v3 , w3 , u4 , v4 , w4 ]T
[K e ] [B]T [D][B]d(vol)
Vy
y 4
3
x
1
z
2
1-2-3-4的顺序符合“右手系”
二. 形状函数 1. 位移插值函数
u 1 2 x 3 y 4z v 5 6x 7 y 8z
w 9 10 x 11 y 12z
由几何 (应变)关系，可预见： 单元内任一点的应变为常量
有12个待定系数,与单元自由度相等,故系数能唯一确定。代入四个 节点坐标及位移可解出系数。再代入插值函数，表示为：
N3w3
N4w4
)
1 6V
(d1v1
d2v2
d3v3
d4v4
c1w1
c2w2
c3w3
c4w4 )
zx
u z
w x
( N1u1
N 2u2 z
N 3u3
N 4u4 )
( N1w1
N2w2 N3w3 x
N 4w4 )
1 6V
(d1u1
d2u2
d3u3
d4u4
b1w1
b2 w 2
b3w3