弹性地基梁

y = C1e3x + C2e2x.
例8. 求解方程 4y'' + 12y' + 9y = 0. 解：特征方程是
4r2 +12r + 9 = 0.
此方程有二重实根
r1

r2

3. 2
故所求通解为
3x
y (C1 C2 x)e 2 .
例9. 求解方程 y''6y'+13y=0. 解：特征方程是

B2

1 2
o

1 4 3EI

Qo

B3

1 2
o

1 4 3EI
Qo

B4


1 2 3EI
Mo

（3.14）
再将式（3.14）代入式（3.12），并注意 4 kb ，则有
4EI
y

yo1
o
1 2
2

Mo
2 2 bk
✓优点： 可以考虑梁本身的实际弹性变形，消除了反力直 线分布假设中的缺点。
✓缺点：
没有反映地基的变形连续性，故温克尔假设 不能全面反映地基梁的实际情况。
2. 半无限体弹性地基模型 假设：
把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（所谓 半无限体是指占据整个空间下半部的物体，即上表面 是一个平面，并向四周和向下方无限延伸的物体）。
2. 弹性地基梁的计算模型
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型 2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）假设： 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压 力成正比。即
y p k
（3-1）
弹性底座
图3.1 局部弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
d4y
qx o
，即得对应齐次微分方程：
EI ky 0
dx 4
（3.7）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为
寻找四个线性无关的特解，令 y erx 并代入上式有：
4 K
EI
或 4 K cos i sin
EI
由复数开方根公式得：
分布到较大面积的地基上，既使承载能力较低 的地基，能承受较大的荷载，又能使梁的变形 减小，提高刚度降低内力。
1. 概述
地下建筑结构的计算，与弹性地基梁理论有密 切关系。地下建筑结构弹性地基梁可以是平放 的，也可以是竖放的，地基介质可以是岩石、 粘土等固体材料，也可以是水、油之类的液体 介质。弹性地基梁是超静定梁，其计算有专门 的一套计算理论。
的平衡有：
Y 0, 得：
Q (Q dQ) kydx q(x) d x 0
化简得：dQ ky q(x) dx
M 0 得：
（3-2）
M
(M

dM )
(Q
dQ)d x

q(x)
(dx) 2 2
(dx)2
2
0
略去二阶微量得：
Q dM dx
将上式对于x求导得：
2. 对应齐次微分方程的通解
由上式（3.8），分别令时k=1,2,3时，即可得四个线性无关的特解，将其进行 组合并引入四个积分常数，即得齐次微分方程式（3.7）的通解；
y ex A1 cosx A2 sin x ex A3 cosx A4 sin x （3.10）
（3-3）
dQ dx

d 2M dx2
ky qx
（3-4）
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
如果梁的挠度已知，则梁任意截面的转角Q，弯矩M，剪力Q可按材料 力学中的公式来计算，即:
dy
dx

M

EI
d
dx

EI
d2y
dx2

Q dM EI d 3 y
弹性地基梁理论
本讲内容—弹性地基梁理论
概述
弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初 参数解 弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁
算例
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上， 各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋 混凝土条形基础梁，等等。
作用：通过这种梁，将作用在它上面的荷载，
rk
4
K EI
COS

2k
4
i sin
2k
4
k

0,1,2,3
令 4 K ， 若地基梁宽度为b，则有 4 Kb
EI
EI
（3.8） （3.9）
是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基
的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把
1. 荷载种类和组合
弹性地基梁与普通梁的区别：
普通梁只在有限个支座处与基础相连，是有限个 未知力 ,弹性地基梁具有无穷多个支点和无穷多个 未知反力。 超静定次数是无限还是有限，这是它们的一个主要区别 普通梁的支座通常看作刚性支座，即可以略去地基 的变形，只考虑梁的变形，弹性地基梁则必须同时 考虑地基的变形。 地基的变形是考虑还是略去，这是它们的另一个 主要区别。
在局部弹性地基梁的计算中， 通常以沉陷函数 作y为x 基本未知 量，地基梁在外荷载 、qxQ 作 用下产生变形，最终处于平衡状 态，选取坐标系xoy，外荷载，地 基反力，梁截面内力及变形正负 号规定如右图所示。
图3.3 弹性地基梁的微元分析
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
为建立 yx 应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段 d x ，考察该段
称为特征系数， l 称为换算长度。
常系数齐次线性微分方程
一般形式
y(n)

p y(n1) 1


pn1 y
pn y 0
(8)
二阶
y py qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
（二）用初参数表示积分常数
如图3.4所示，梁左端的四个边界 条件（初参数）为
图3.4 弹性地基梁作用的初参数
y x o yo

x o o
M x o Mo
Q x o Qo

（3.13）
将上式代入式（3.12），解出 积分常数得：
3. 初参数解
B1 yo
(4)一对k重复根
r=i ( 0)
y1 ex cos x, y2 xy1, …,
yk xk1 y1, yk1 ex sin x,
yk2 xyk1, …, y2k xk1 yk1
例10. 求解方程 y(4) 2y''' + 5y'' = 0.
（2）由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略去 不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直；
（3）地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应用 材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
左图所示为局部弹性地基梁 上的长为l、宽度为b单位宽度1的 等截面直梁，在荷载 qx 及Q作用 下，梁和地基的沉陷为 yx ，梁与 地基之间的反力为 x 。
利用双曲函数关系：
ex ch x sh x, ex ch x sh x
且令
A1

1 2
B1
B2
,
A3

1 2
B1
B2
,
A2

1 2
B2
B3
A4

1 2
B2
B4
式中B1、B2、B3、及B4 均为待定积分常数
则有
y B1chx cosx B2chx sinx B3shx cosx B4shx sinx
方程的通解 y C1er1x C2er2x
y (C1 C2 x)erx
一对共轭复根r1,2= i
y e (C1 cos x C2 sin x) x
( 0)
例7. 求解方程 y''y' 6y = 0 的通解. 解：特征方程是 r2 r 6 = 0 其根r1=3, r2= 2是两个相异实根, 故所求通解为
Y1 = e( + i)x, 由叠加原理, 知
Y2 = e( – i)x
y1

Y1
Y2 2
ex cos x
y2

Y1
Y2 2i
ex sin x
也是(9)的解, 且线性无关, 故(9)的通解为
y ex (C1 cos x C2 sin x)
特征根 两个不等的实根r1, r2 两个相等的实根r1=r2=r
Q 2EI 3B1chxsinx shx cosx B2 chx cosx shxsinx

B3 chx cosx shxsinx B4 chxsinx shx cosx

（3.12）
式（3.12）中积分常数B1、B2、B3、B4的确定是一个重要环节，梁在任一
（3.11）
式（3.10）和式（3.11）均为微分方程（3.7）的通解，在不同 的问题中，有各自不同的方便之处。
3. 初参数解
（一）初参数法
由式（3.11），再据式（3.5）有
y B1chx cosx B2chx sinx B3shx cosx B4shx sinx
截面都有四个参数量，即挠度y、转角 、弯矩M、剪力Q、而初始截面
（x=o）的四个参数 yo 、o 、M o 、Qo 就叫做初参数。
3. 初参数解
用初参数法计算了弹性地基梁的基本思路是，把四个积分常数改用 四个初参数来表示，这样做的好处是:
使积分常数具有明确的物理意义; 根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径。
r2 6r + 13 = 0. 其根 r1,2=32i为一对共轭复根, 故所求通解为
y e3x (C1 cos 2x C2 sin 2x)
表12-1
特征根
对应的线性无关的特解
(1) 单实根 r
(2) k重实根 r
(3)一对单复根
r1,2=i
y erx y1 erx , y2 xerx , …, yk xk e 1 rx , y1 ex cos x, y2 ex sin x ( 0)
优点：
1、地基的连续整体性；2、几何物理上简化模型
缺点：
1、地基土非连续；2、地基土非均质；
图3.2 弹性地基梁的受力和变形
3.弹性地基梁的挠度曲线微分方程 式及其初参数解
基本假设：
除局部弹性地基模型假设外，还需作假设：
（1）地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基 表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等；
故有
r2 + pr + q = 0
(10)
(10)式称为(9)的特征方程, 分三种情形讨论
(i) = p2– 4q > 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.
则 y1 er1x , y2 er2x是(9)的二个线性无关的解 ,
(9)的通解为
y

C er1x 1

C er2x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(ii) = 0, r1= r2( = r)

2 B1chxsinx shx cosx B2 chx cosx shxsinx

B3 shxsinx chx cosx B4 shx cosx chxsinx

M 2EI 2 B1shx sinx B2shx cosx B3chx sinx B4chx cosx
dx
dx3

由式 3.5 有,
d 2M dx2
EI
d4 dx
y
4
,
EI
d4y dx4

ky

q x
3.5
代入式 3.4 得 3.6
此即为弹性地基梁的挠 曲微分方程式
2. 对应齐次微分方程的通解
上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非
齐次微分方程，令式中
解：特征方程为 r42r3+5r2=0.
其根为r1= r2=0, r3,4=12i. 对 应 线 性 无 关 的 特 解 为 y1=1, y2=x, y3=excos2x, y4= exsin2x, 故所求通解为
y C1 C2 x ex (C3 cos 2x C4 sin 2x).
此时 y1 = erx .
y2 y1
e pdx y12
dx

erx
e px dx e2rx
erx e(2r p)dx erx x
(9)的通解为
y (C1 C2x)erx
(iii) < 0, r1,2 = i 为一对共轭复根.
得(9)的两个复数形式的解