第四章 自适应数字滤波器
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随机的，可以是平稳的随机过程，也可以是非平稳的随机 过程。 从图中可见：自适应数字滤波器是由（普通数字滤波器+ 相关抵消回路）构成。
➢表示成矩阵形式：
N
y j wi xij i 1
yj XT jWWTXj
式中
W [ w 1 ,w 2 , ,w N ] T ,X j [ x 1 j ,x 2 j , ,x N ] T j
自适应滤波器分类：
✓ FIR自适应滤波器、IIR自适应滤波器 ✓ 最小均方误差（LMS）自适应滤波器、最小二乘 （LS）自适应滤波器 ✓ 横向结构、格型结构
3、本章讨论的主要内容
主要内容：LMS自适应滤波器、LS自适应 滤波、自适应滤波的应用；
分析思路：根据LMS或LS准则，求得自适 应滤波器的最佳单位脉冲响应w(n) ，或者 说求其最佳的滤波器加权系数wj。
➢ 上式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时， 均方 误差信号E［e2j］是权系数的二次函数，它是一个中间上凹的超 抛物形曲面，是具有唯一最小值的函数。
w1o pt w1
m in
v1
w2o pt
w2 v2
图 4.2.5 二维权矢量性能表面
➢ 调节加权系数W使均方误差最小，相当于沿超抛物形曲面下降
2020
第四章 自适应数字滤波器
•
•
x(n)=s(n)+υ (n)
H(z)
y(n)sˆ(n)
x(
维纳滤波器的输入－输出关系
Ee(n )2E ss ˆ2 m in
N 1
N
y(n )s ˆ(n ) h (m )x(nm ) h ixiyi
m 0
i 1
x(n) H(z)
e(n) e(n)=d(n)-y(n)
＋ －
ej
yj
两个权的自适应滤波器
解：
（1）、计算相关矩阵Rxx和Rdx
E[ x j x jn ]
1 N
N j 1
sin
Baidu Nhomakorabea
2π N
j
sin
2π N
(
j
n)
0.5 cos
2π N
n
n 0,1
2 N 2π 2π
2π
E[d j x jn ] N
➢ 具有学习和跟踪的性能。
2、自适应数字滤波器的应用
1967年由美国B.Windrow 及Hoff等人提出自适应 数字滤波算法，主要用于随机信号处理。
自提出以来，自适应滤波器发展很快，在各个方 面得到了广泛的应用：
➢ 系统模型识别； ➢ 通信信道的自适应均衡； ➢ 雷达与声纳的波束形成； ➢ 消除心电图中的电源干扰； ➢ 噪声中信号的检测、跟踪、 增强和线性预测等。
m inE e(n)2 w (n)或 w j
min
e2j W*
j
4.2 LMS自适应滤波器
本节讨论的主要问题及方法 LMS自适应滤波器的基本原理 最陡下降法 Widrow-Hoff LMS算法 LMS算法的收敛性质
1、本节讨论的主要问题及方法
讨论的主要问题：LMS自适应滤波器的
基本原理、最佳权系数的求解方法（最陡 下降法和Widrow-Hoff LMS算法）。
或者将上式取转置，用下式表示：
E [e2 j]mi nE [d2 j]W *TR dx
例 4.2.1 一个单输入的二维权矢量自适应滤波器如图 所
示，图中输入信号与期望信号分别为
xj sin2 N πj,dj 2co 2 N sπj 求：该滤波器的最佳权矢量和最小均方误差。
xj w1
z－ 1 w2
dj
x(n)
z－ 1
x(n－1)
z－ 1
x(n－2)
…
w1
w2
w3
wN－ 1
y(n)
z－ 1
x(n－N)
wN e(n)
d(n)
＋ －
图 4.1.4 横向FIR结构的自适应滤波器
自适应滤波器的特点：
➢ 滤波器的参数可以自动地按照某种准则调 整到最佳滤波，是一种最佳的时变数字滤 波器；
➢ 实现时不需要任何关于信号和噪声的先验 统计知识；
➢ 当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时，其误差信号和输入信 号是正交的。
可以得到
j 2RxxW2Rdx
最佳权矢量W*：
W* Rx1xRdx
W * TR d T x R x x 1TR d T x R x x 1
均方误差将取最小值：
E[e2j]minE[d2 j]2RdTxW*W*TRxxW* E[d2 j]RdTxW*
到最小值。
➢ 在数学上，可用梯度法沿着该曲面调节权矢量的各元素得到 均方误差E［ej2］的最小值。
用 j表示E［ej2］的梯度向量，用公式表示如下：
j E w [e12j],E w [e22j], , Ew [eN2j]T
为求最佳权系数，令 j 0 即 j2E ej w e1 j, w ej2, , w eN j T 2E [ejXj]0
误差信号表示为
e j d j y j d j X T jW d j W T X j
利用LMS准则求最佳权系数和最小均方误差 误差信号被用来作为权系数的控制信号。均方误差（性能
函数）为
E[e2j]E[(dj yj)2] E[d2j]2E[djXT j ]WWTE[XjXT j ]W ＝E[d2j ]2RdTxWWTRxxW
➢ 根据e(n)的值而自动调节，使之适合下一刻(n+1)的输入
x(n+1)，以使输出y(n+1)更接近于所期望的响应d(n+1),直
至均方误差E
e(n)
2
达到最小值；
➢ y(n)最佳地逼近d(n)，系统完全适应了所加入的两个外来
信号，即外界环境。
注意： x(n)和d(n)两个输入信号可以是确定的，也可以是
分析方法：
min Ee(n)2wj
2、LMS自适应横向滤波器的基本原理
x(n) H(z)
y(n)
－
e(n)
e(n)=d(n)-y(n)
＋
d(n)
N1
y(n)w(m)x(nm) m0
N
y j wi xij i 1
min Ee(n)2wn
LMS自适应横向滤波器的基本原理：
➢ 自适应数字滤波器的单位脉冲响应h(n)受误差信号e(n)控 制；
y(n)
－
＋
d(n)
自适应滤波器原理图
➢ 自适应滤波器H(z)的系数根据误差信号，通过一定的自适应 算法，不断地进行改变， 使输出y(n)最接近期望信号d(n)。 ➢实际中，d(n)要根据具体情况进行选取。
x1j
w1
x2j
w2
xNj wN
N
y j wi xij i 1
yj
－
＋
ej
dj
…
图 4.1.3 自适应线性组合器
➢表示成矩阵形式：
N
y j wi xij i 1
yj XT jWWTXj
式中
W [ w 1 ,w 2 , ,w N ] T ,X j [ x 1 j ,x 2 j , ,x N ] T j
自适应滤波器分类：
✓ FIR自适应滤波器、IIR自适应滤波器 ✓ 最小均方误差（LMS）自适应滤波器、最小二乘 （LS）自适应滤波器 ✓ 横向结构、格型结构
3、本章讨论的主要内容
主要内容：LMS自适应滤波器、LS自适应 滤波、自适应滤波的应用；
分析思路：根据LMS或LS准则，求得自适 应滤波器的最佳单位脉冲响应w(n) ，或者 说求其最佳的滤波器加权系数wj。
➢ 上式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时， 均方 误差信号E［e2j］是权系数的二次函数，它是一个中间上凹的超 抛物形曲面，是具有唯一最小值的函数。
w1o pt w1
m in
v1
w2o pt
w2 v2
图 4.2.5 二维权矢量性能表面
➢ 调节加权系数W使均方误差最小，相当于沿超抛物形曲面下降
2020
第四章 自适应数字滤波器
•
•
x(n)=s(n)+υ (n)
H(z)
y(n)sˆ(n)
x(
维纳滤波器的输入－输出关系
Ee(n )2E ss ˆ2 m in
N 1
N
y(n )s ˆ(n ) h (m )x(nm ) h ixiyi
m 0
i 1
x(n) H(z)
e(n) e(n)=d(n)-y(n)
＋ －
ej
yj
两个权的自适应滤波器
解：
（1）、计算相关矩阵Rxx和Rdx
E[ x j x jn ]
1 N
N j 1
sin
Baidu Nhomakorabea
2π N
j
sin
2π N
(
j
n)
0.5 cos
2π N
n
n 0,1
2 N 2π 2π
2π
E[d j x jn ] N
➢ 具有学习和跟踪的性能。
2、自适应数字滤波器的应用
1967年由美国B.Windrow 及Hoff等人提出自适应 数字滤波算法，主要用于随机信号处理。
自提出以来，自适应滤波器发展很快，在各个方 面得到了广泛的应用：
➢ 系统模型识别； ➢ 通信信道的自适应均衡； ➢ 雷达与声纳的波束形成； ➢ 消除心电图中的电源干扰； ➢ 噪声中信号的检测、跟踪、 增强和线性预测等。
m inE e(n)2 w (n)或 w j
min
e2j W*
j
4.2 LMS自适应滤波器
本节讨论的主要问题及方法 LMS自适应滤波器的基本原理 最陡下降法 Widrow-Hoff LMS算法 LMS算法的收敛性质
1、本节讨论的主要问题及方法
讨论的主要问题：LMS自适应滤波器的
基本原理、最佳权系数的求解方法（最陡 下降法和Widrow-Hoff LMS算法）。
或者将上式取转置，用下式表示：
E [e2 j]mi nE [d2 j]W *TR dx
例 4.2.1 一个单输入的二维权矢量自适应滤波器如图 所
示，图中输入信号与期望信号分别为
xj sin2 N πj,dj 2co 2 N sπj 求：该滤波器的最佳权矢量和最小均方误差。
xj w1
z－ 1 w2
dj
x(n)
z－ 1
x(n－1)
z－ 1
x(n－2)
…
w1
w2
w3
wN－ 1
y(n)
z－ 1
x(n－N)
wN e(n)
d(n)
＋ －
图 4.1.4 横向FIR结构的自适应滤波器
自适应滤波器的特点：
➢ 滤波器的参数可以自动地按照某种准则调 整到最佳滤波，是一种最佳的时变数字滤 波器；
➢ 实现时不需要任何关于信号和噪声的先验 统计知识；
➢ 当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时，其误差信号和输入信 号是正交的。
可以得到
j 2RxxW2Rdx
最佳权矢量W*：
W* Rx1xRdx
W * TR d T x R x x 1TR d T x R x x 1
均方误差将取最小值：
E[e2j]minE[d2 j]2RdTxW*W*TRxxW* E[d2 j]RdTxW*
到最小值。
➢ 在数学上，可用梯度法沿着该曲面调节权矢量的各元素得到 均方误差E［ej2］的最小值。
用 j表示E［ej2］的梯度向量，用公式表示如下：
j E w [e12j],E w [e22j], , Ew [eN2j]T
为求最佳权系数，令 j 0 即 j2E ej w e1 j, w ej2, , w eN j T 2E [ejXj]0
误差信号表示为
e j d j y j d j X T jW d j W T X j
利用LMS准则求最佳权系数和最小均方误差 误差信号被用来作为权系数的控制信号。均方误差（性能
函数）为
E[e2j]E[(dj yj)2] E[d2j]2E[djXT j ]WWTE[XjXT j ]W ＝E[d2j ]2RdTxWWTRxxW
➢ 根据e(n)的值而自动调节，使之适合下一刻(n+1)的输入
x(n+1)，以使输出y(n+1)更接近于所期望的响应d(n+1),直
至均方误差E
e(n)
2
达到最小值；
➢ y(n)最佳地逼近d(n)，系统完全适应了所加入的两个外来
信号，即外界环境。
注意： x(n)和d(n)两个输入信号可以是确定的，也可以是
分析方法：
min Ee(n)2wj
2、LMS自适应横向滤波器的基本原理
x(n) H(z)
y(n)
－
e(n)
e(n)=d(n)-y(n)
＋
d(n)
N1
y(n)w(m)x(nm) m0
N
y j wi xij i 1
min Ee(n)2wn
LMS自适应横向滤波器的基本原理：
➢ 自适应数字滤波器的单位脉冲响应h(n)受误差信号e(n)控 制；
y(n)
－
＋
d(n)
自适应滤波器原理图
➢ 自适应滤波器H(z)的系数根据误差信号，通过一定的自适应 算法，不断地进行改变， 使输出y(n)最接近期望信号d(n)。 ➢实际中，d(n)要根据具体情况进行选取。
x1j
w1
x2j
w2
xNj wN
N
y j wi xij i 1
yj
－
＋
ej
dj
…
图 4.1.3 自适应线性组合器