数学中的归纳与类比

例7如图9,根据下面的运算程序,若输入x= 1- 时,输出的结果y是多少?
图9
分析此题结合程序设计框图,设计出一个选择结构,构造出一个算法模式.使输入值与输出值之间产生新的函数关系.
解根据输入的数值,选择合理的算式,显然得出结果- 1- .
2类比
《数学课程标准》中新增加“推理与证明”包含演绎推理与合情推理,新一轮基础教育数学课程改革中,给了合情推理应有的关注.《数学课程标准》在选修1- 2与选修2- 2中设计了推理与证明内容,要求学生结合已学过的数学实例和生活的实例,对合情推理与演绎推理的方法进行概括总结,体会合情推理与演绎推理在数学结论发现与数学体系建构中的作用.而类比作为一种常用的合情推理方法,具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新能力的
(1)此次抽样调查中,共调查了多少名学生;
(2)将图6补充完整;
(3)求出图7中C级所占的圆心角的度数;
(4)根据抽样调查结果,请你估计该市近20000名
初中生中大约有多少名学生学习态度达标(达标包括A
级和B级)?
图6 图7
分析以柱状图、扇形图等来呈现资料,要读懂里面蕴含的信息,从而迅速求解.
解(1)200; (2)
例6将4个数a, b, c, d排成2行2列,两边各加一条竖线记作 ,定义 =ad–bc.上述记号就叫做二阶行列式.若 =6,则 .
分析此题给出了一个新的运算规则,学生需读懂这个运算规则,然后根据运算规则,将二阶行列式转化为一个一元二次方程,从而获得解决.
解计算(x+1)(x+1)-(1-x)(x-1)=6,解得 .
1.2类比归纳
类比归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似的对象进行对比,做出归纳判断的一种科学研究方法.在中考数学中考查类比归纳法,引导学生通过对知识的类比和归纳,把知识由点连成线,由线织成网,使知识有序化、系统化,从而使学生掌握知识内在的规律.
例3如图3是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒, a, b是某行的前两个数,当a= 7时, b= .
例已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足: f(a·b)=af(b)+bf(a),若f(2)=2, (n∈N),求数列{ }的前n项和Sn.
解当ab≠0时, ,令 ,则g(ab)=g(a)+g(b),且f(x)=xg(x).
类比具体函数:对数函数,由上可得 .所以 = = , .
2.2.2方法源自文库比
例如：解一元一次不等式与解一元一次方程类比
解一元一次方程：2x+9=6-x
解：移项，得：2x+x=6-9
合并同类项，得：3x=-3
系数化为1，得：x=-1
解一元一次不等式：2x+9＜6-x
解：移项，得：2x+x＜6-9
合并同类项，得：3x＜-3
两边都除以3，得：x＜-1
学生只要注意最后一步：系数化为1时，不等式的两边如果都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变即可。从而类比一元一次方程的解法归纳出一元一次不等式的解法步骤。
1.1枚举归纳
枚举归纳法是从枚举一类事物中的若干分子具有某种性质得出这类事物的所有分子都具有该性质的逻辑方法.枚举归纳法只依靠所枚举的事例的数量,因此它所得到的结论可靠性较低,一旦遇到一个反例,结论就会被推翻.但是枚举归纳法仍有一定的作用,通过枚举归纳法得到的结论可作为进一步研究的假说.
例1观察图1中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形有121个.
2.2常见类比类型
2.2.1概念类比
用类比法引入新概念,可使学生更好地理解新概念的内涵与外延.数学中的许多概念,知识点之间有类似的地方,在新概念的提出,新知识的讲授过程中,运用类比的方法,能使学生易于理解和掌握,有效培养学生的探究能力.
如：三角形的外接圆和三角形的内切圆类比，大多数学生会把外心和内心的概念及性质混淆。针对这一问题，采用类比思想，把三角形的外心和内心的概念及性质归纳为：外心是三角形三边中垂线的交点，它随三角形的形状不同，位置也不同，它在锐角三角形的内部，在直角三角形斜边的中点处，在钝角三角形的外部，它是三角形外接圆的圆心，具有到三角形三个顶点的距离相等的性质。内心是三角形内切圆的圆心，它是三角形三个内角平分线的交点，它一定在三角形的内部，不随三角形形状的改变而变化位置，它到三角形三边的距离相等。
例2如图2所示,已知点A (0,0), B (3,0), C (0,1),在△ABC内依次作等边三角形,使一边在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,…则第n个等边三角形的边长等于
图2
分析 显然要求第n个等边三角形的边长,需要求出第1个等边三角形的边长、第2个等边三角形的边长,…,从中发现规律△ABC在平面直角坐标系下,显然OB= ,通过计算可得出OB1 = , B1B2 = ,…,Bn-1Bn=
.
分析关于平面问题与空间问题的类比,通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比:多边形 多面体;边 面;面积 体积;平面角 二面角;线段长 面积;…由此,根据线段长 面积,可类比猜测本题的答案:
(证明略)
2.2.4结构类比
某些待解决的问题没有现成的类比物,但可通过观察,特征命题的条件或结论与已知的数学关系结构上的相似性,寻找类比问题,然后可通过适当的代换,将原问题转化为类比问题来解决.最常见的同构类比就是数形结合、函数与图像,代数与解析几何等,如:
本文通过一些教学中的例子，来说明归纳与类比的重要性。
1、归纳
所谓归纳,作为数学思想方法,是指通过对特例的分析去引出普遍的结论，主要是通过实验、观察、分析从而归纳出结论,有时得到的结论不一定是正确的,要求对归纳出的结论进行严格的证明。具体过程是:归纳(不完全)——猜想——完全归纳(数学归纳法证明)。数学归纳法是应用范围相当广泛的论证方法,其基本形式是:为了证明与参数n有关的命题对一切自然数成立,首先验证归纳基础,其次提出归纳假设,最后完成归纳过渡,从而得到结论对一切自然数成立。归纳包括：枚举归纳、、类比归纳、实验归纳、统计与模式归纳。
因为f(2)=2,所以0 =
所以 = ， ,所以 = (证明略)。
2.2.5类比是归纳的基础
首先,通过对特例的观察,我们注意到了某些相似性,然后,把所说的相似性推广为一个明确表述的一般命题.这就是归纳.
例5已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列.
(1)求和: a1 -a2 +a3 ,a1 -a2 +a3 -a4 .
例5初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一.为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级, A级:对学习很感兴趣; B级:对学习较感兴趣; C级:对学习不感兴趣),并将调查结果绘制成图6和图7的统计图(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
数学教学中的归纳与类比
摘要：数学教师要想有所发现、有所创造并培养出有创新能力的学生,就要认真研究数学发现中的规律,研究数学的思想方法，只有掌握了正确的数学思想方法,才能学得深刻,理解得透彻,才能用学到的知识解决实际问题。
关键词教学 归纳 类比
学习数学史,看看数学家们实际的工作,我们会发现,和其他自然科学一样,数学家们的科学研究工作也是从观察和实验开始,通过归纳和类比,经历失败和挫折,终于领悟而发现一条规律,做出一个证明的。伟大的数学家拉普拉斯曾经说过,“甚至在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类比。”而开普列是说到“我珍惜类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中它应该是最不容忽视的。”欧拉,这位十八世纪里领袖的数学家和带头的物理学家,也正是一位用归纳和类比方法的大师,他曾经用正确的归纳和大胆的类比做出了很多惊人的著名的数学发现。
图1
分析设第n个大三角形中白色三角形有an个.
第1个里面蕴含1个白色三角形(即a1 = 1);
第2个里面蕴含4个白色三角形(即a2 = 1+ 3a1);
第3个里面蕴含13个白色三角形(即a3 = 1 +3a2);
…
通过前三个里面蕴含的规律,可以发现第n个大三角形中白色三角形有an= 1+ 3an- 1个.因此,可知a1 = 1,a2 = 4, a3 = 13, a4 = 40, a5 = 121。
(1)若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形),点A,B,C,D恰好落在网格图中的格点上.如图4所示,请直接写出此时重叠三角形A’B’C’的面积.
图4 图5
(2)实验探究:设AD的长为m,若重叠三角形A’B’C’存在.试用含m的代数式表示重叠三角形A’B’C’的面积,并写出m的取值范围.
分析通过一个等边三角形进行折叠实验.根据折叠,发现结果是等边三角形,那么可以猜测如果出现重叠的话,那么可能是等边三角形.此时的归纳结论还属于猜测,通过第二次或第三次的折叠来验证结论,在验证的过程中,可能会出现没有重叠的可能性,那么根据直觉经验,能否获得重叠三角形可能与点D有密切联系,从而顺利过渡到m取值范围上来
图3
分析一看到此题,学生应该头脑中马上映现出杨辉三角的基本数表结构对比杨辉三角形的性质通过观察、类比、归纳三角形数垒的特征,当a= 6,邻近的数字是16,那么当a=7,邻近的数字是22.
1.3实验归纳
实验归纳是直接从观察实验结果中分析、归纳、概括而总结出规律的方法.在中考试题中,需要学生动手操作,通过实验,依托直觉,对实验的结果进行大胆猜想,形成解决问题的初步方案;然后根据猜想,继续实验,通过实验来验证方案,从而解决问题.
培养.本文结合试题实例,从概念类比、方法类比、升维类比、结构类比四个角度,对近几年试卷中出现的“类比”型试题进行分类解析,探讨教学实践中对学生类比推理能力的培养.
2.1类比推理及其特征
所谓类比推理是根据两个(或两类)不同的对象在某些方面(属性、关系、特征、形式等)有相同或相似性,猜测它们在其他方面也可能相同或相似,即把信息从一个对象转移到另一个对象,并作出某种判断的推理方法.类比的实质就是信息从模型向原型的转移,恰当地运用类比可以有效地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.
图8
(3) C所占圆心角度数360 (1- 25%- 60% )=54
(4)20000 (25%+ 60% )= 17000
1.5模式归纳
模式归纳是借助于已有的提供数、图表信息,以此为依据,构造数学模型,进行归纳得出结论的过程.模式可以包括数的模式、形的模式、运动变化的模式、推理通信的模式、算法模式等等.
2.2.3升维类比
将平面(二维)中问题升级到空间(三维)问题,此种方法即为升维类比.
例在平面几何里,有勾股定理:设三角形ABC的两边AB、AC互相垂直,则 ,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,
研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直,则
(2)由(1)的结果,归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.
分析本题由(1)的结论通过大胆猜测,归纳猜想出一般性的结论:
(1) a1 -a2 +a3 =a1-2a1q+a1 =a1 ,a1 -a2 +a3 -a4 =a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1
(2)归纳概括的结论为:若数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则a1 -a2 +a3 -a4 +…+ + =a1 .(证明略)
解根据折叠,设A’D的长为m,那么A’B’的长为8- 2m,从而 = 此时8-m>m,即得m< 4.那么m到底应该至少多长才会出现重叠呢?观察实验可以得出8- 2m m,解 .故 .
1.4统计归纳
统计归纳推理是归纳推理的主要形式,作为归纳推理,它是以一些统计数据或资料为前提,以概率演算为基础,由样本所含单位具有某属性的相对频率推出总体所含单位具有该属性的概率.
例4已知等边三角形纸片ABC的边长为8, D为AB边上的点,过点D作DG∥BC交AC于点G. DE⊥BC于点E,过点G作GF⊥BC于点F,把三角形纸片ABC分别沿DG, DE, GF按图4所示方式折叠,点A,B,C分别落在点A’,B’,C’处.若A’,B’,C’在矩形DEFG内或其边上,且互不重合,此时我们称△A’B’C’(即图中阴影部分)为“重叠三角形”.