§4排列组合与母函数解读

推论
数列H{
wenku.baidu.com
r n
}（r 0，1，2，
）的
母函数为H (x) 1
.
(1 x)n
设Fnr n
M 为{a1，a2， ，an}元 r集
的 元有限重复组合a数i ，其中
最 多 可mi 重 复 i选1取，2， ，n
次
（
）
定理 有限数列{Fnr }的母函数为
F (x) (1 x x2 x m1 )(1 x x2 xm2 )
m1 m2 mn
）的母函
B(x)

(1
x

x2 2!

x m1 )
m1!
(1 x x2 2!

x m2 )
m2!
(1 x x2 xmn )
2!
mn !
例 用1、2、3、4这四个数字能够组成多少个不 同的五位数？且在同一个五位数中，1出现2次 或不出现，2出现2或3次，3没有限制，4出现 偶数次或不出现

xr
x)
.
n

n r0
Anr
xr r!
项的系数为n
重排列数Anr
. r!
元集的r
定理
数列{
U
r n
}的母函数是
U (x)
.(1
x
x2 2!


xk k!
)n
即U(x) 的展开式中xr 项的系数为n 元集的r
限重复排列数 r! .
元无 元无
定理 数列{ 数为
Bnr
}（0 r m
(1 x x 2 xmn )
即即 F(x)的展开式 x r 中项的系数为n 元集的r 元
有限重复组合数Fnr 。 例 从3个相同的红球、3个相同的黑球和6个相 同的白球中取8个球，问有多少种不同的取法？
例 设 k 有 个 砝 码 ， 重 量 分 别 为 m1克 、
m2克、……、m
克（
k
m1，m2
，…
mk ，均为整
数），问在天平上称重量为克的东西共有
多少不同的称法（只允许在天平的一边放
砝码）？
例 求整系数的一次不定方 程2x 3y z 7 的非负整数解的个数。
U
r n
二、排列数列的母函数
定理 有限数列{ Anr }的母函数是
即A(x)
A(x) (1
的展开式中
r
①
C
r i m
C
i n

C
r m

n
i0
②
n
rC
r n
n 2 n1
r 1
定理
数列{H
r n
}的母函数为
H (x) (1 x x 2 x k )n
（ 2）
即H (x)的展开中 （x r r 0，1，2，）的系数为 n 元集的
r 元无重组合数。
§4 排列组合与母 函数
一、组合排列的母函数 二、排列数列的母函数
一、组合排列的母
函数
定理
有限数列C{
r n
}（0

n
r

n
）的母函
数为 C(x) (1 x)n
C
r n
x
r
C(x)
r0
. xr
n（1）
r即
的展开式C
r n
0中项r 的n系数为
元
集的元无重组合数 （
）.
例 求证：