【学海导航】湖南省2020届高中数学第2轮总复习 专题8第26讲 函数与方程思想课件 文 新人教版 精品

2 ，得 a2 b2
2
a2
1， 2
从而a2 2b2，c b.
设椭圆的方程为x2 2 y2 2b2，
直线l的方程为y k x 1．
将直线l的方程代入椭圆C的方程，
得 1 2k 2 x2 4k 2 x 2k 2 2b2 0，
则x1
x2
4k 2 1 2k 2
，
故y1 y2 k x1 1 k x2 1
设右焦点 b, 0 关于直线l的对称点为( x，y)，
则
x y 2
y 1 b x
2
b
，解得 1
x
y
1 1
b
.
由点1,1 b在椭圆上，得1 21 b2 2b2，
则b2 9 ，故a2 9 .
16
8
所以所求椭圆C的方程为8x2 16 y2 1， 99
直线l的方程为y x 1.
方法2：由e c a
一、函数思想及应用
例11已知关于x的方程x2 2cosx a2 0有唯一解，
则a的值为 __________．
2不等式4x log3 x x2 5的解集为( )
A．R
B．x | x 0
C．x | x 1
D．x | x 2
解析：1令f x x2 2cosx a2，x R. 因为f x f x，所以f x为偶数． 从而f x的图象关于y轴对称，而题设方程 f x 0有唯一解，从而此解必为x 0. 所以f 0 0 2 a2 0 a 2. 2令f x 4x log3x x2，x (0， )，易判断 f x在(0， )单调递增，又f 1 5，所以原 不等式可化为f x f 1，所以x 1，故选C.
【点评】1 通过构建函数，然后利用函数的
性质，解决有关方程或不等式问题，这就 是函数思想．
2 题通过构造一个函数，借助函数的单调
性解不等式，巧妙简捷．
二、方程思想及应用
例2过点1, 0 的直线l与中心在原点，焦点在x轴上
且离心率为 2 的椭圆C相交于A、B两点，直线 2
y 1 x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与 2
二、函数与方程思想的综合应用
例3已知函数f x ln ex a (a为常数)是实数
集R上的奇函数，函数g x f x sinx是
区间1,1上的减函数．
1 求a的值；
2若g x t2 t 1在x 1,1上恒成立，
求t的取值范围．
解析：1 f x ln ex a是奇函数， 则ln ex a ln ex a 恒成立， 所以 ex a ex a 1，
k
x1
x2
2k
2k 1 2k
2
.
又直线y 1 x过线段AB的中点( x1 x2 ，y1 y2 )，
2
2
2
则 k 1 2k 2
1 2
1
2k 2 2k
2
，解得k
0或k
1.
若k 0，则直线l的方程为y 0，
焦点F c,0关于直线l的对称点就是F点本身，
不可能在椭圆C上，所以k 0舍去，从而k 1，
右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．
解析：方法1：由e c a
2 ，得 a2 wenku.baidu.comb2
2
a2
1， 2
从而a2 2b2，c b.
设椭圆的方程为x2 2 y2 2b2，
A(x1，y1)，B(x2，y2 )在椭圆上，
则x12 2 y12 2b2，x22 2 y22 2b2，两式相减得，
备选题 定义：图形F1上的任一点与图形F2上的 任一点的距离中的最小值，叫做图形F1与图形F2的 距离．
1求图形y 2x与图形y cosx的距离；
2已知曲线C1：y 2
x3 1 1与圆 27
C2： x 12 y 12 r2 r 0的距离为
15 ， 9
求r的值．
所以1 aex aex a2 1，
亦即a ex ex a 0(x R)恒成立，故a 0.
2因为g x在1,1上单调递减，
又g x cosx，
则 cosx对x 1,1恒成立，
所以 1，g x g 1 sin1， max
又g x t2 t 1在x 1,1上恒成立，
所以只需 sin1 t2 t 1，
所以t 1 t2 sin11 0(其中 1)恒成立．
令h() t 1 t2 sin11( 1)，
则
t 1 0 t 1 t
2
sin 1
1
0，所以tt
1 2 t
sin1
. 0
而t2 t sin1 0恒成立，所以t 1.
【点评】本题是函数方程、不等式的综合题， 涉及函数的奇偶性、单调性、最值等知识点， 问题分析求解须理解函数的性质，充分运用 函数与方程思想，通过构造函数，将恒成立 问题和方程问题转化为函数的单调性、最值 问题研究．
专专题题八一 数函学数思与想导与数方法
函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、 转化问题和解决问题．函数思想是对函数内容在 更高层次上的抽象、概括与提炼，如与方程、数 列、不等式、平面解析几何等内容相关的非函数 问题，都往往可利用函数思想，转化为函数问题， 通过对函数的研究，使问题得以解决．
方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学 语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分 析问题和解决问题．如含参数方程的讨论、方 程与曲线的相互转化等都要利用到方程思想． 函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想 的体现，也是两种思想综合运用的体现．是研 究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学 思想．
故直线l的方程为y x 1，
即y x 1，以下同方法1.
【点评】由题设情境中点在直线y x上，联想 “点差法”，从而应用点差法及点在直线y x 上而求得直线l的方程，进一步应用对称的几 何性质求得“对称点”，利用“对称点”在椭圆 上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中 点与弦的斜率问题常常可应用“点差法”求解．
( x12
x22 ) 2( y12
y22
)
0，即
y1 x1
y2 x2
x1 x2 . 2 y1 y2
设线段AB的中点为(x0，y0 )，则kAB
x0 2 y0
.
又(x0，y0 )在直线y
1 2
x上，所以y0
1 2
x0，
于是
x0 2 y0
1，故kAB
1，
所以直线l的方程为y x 1.