柴油机扭振分析及减振器匹配研究第四章激振力矩的简谐分析

成用往复运动质量 mj 和旋转运动质量 mr 组成的动力学等效的当量系统来代替。 如图 4-2 所示，简化的结果，整个曲柄连杆机构变成了由只有刚度而无质量的
杆件连接的两个集中质量：
A 点的往复质量：mj = mp + m1 B 点的旋转质量：mr = mcr + m2 mp 是沿气缸轴线做往复运动的集总在活塞销中心的活塞组质量（包括活塞、 活塞环、活塞销、卡环）；m1 和 m2 分别是连杆组离散到活塞销中心的质量和曲柄 销中心的质量；mcr 是曲拐不平衡部分集总到曲柄销中心的质量，它是曲柄销质 量与两个曲柄臂不平衡部分换算到曲柄销中心的质量和。
活塞加速度 j = dv dt
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= rω 2[cos(a + β ) + λ cos2 a ]
cos β
cos3 β
从 sin β = r sinα l
得 cos β = 1− sin2 β
（4-3）
= 1− λ 2 sin2 α
1
= (1− λ 2 sin2 α )2
根据富立叶级数理论，任何周期性函数都可以由一个不同初相位、不同振 幅和不同周期的简谐量组成的无穷级数来描述。在一定精度下，无穷级数可以 用有限项数的和来逼近。这称为激振力矩的简谐分析。
图 4-3 上部的曲线表示的是单缸气体压力作用于曲柄半径上的旋转力是不 均匀的。可以把这种旋转力波形分解为其谐波成分，见图 4-3 下部。
实际应用中， λ 2 sin2 α < 1，按牛顿二项式定理展开成级数形式：
cos β = 1− 1 λ 2 sin2 α − 1 λ 4 sin4 α − 1 λ 6 sin6 α − ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2
8
16
实际计算时取前两项精度已经足够，即
cos β ≈ 1− 1 λ 2 sin2 α 2
于是活塞的位移、速度、加速度均可写成两个简谐量的和的形式：
（4-8）
其中，沿连杆轴线作用的连杆力：
pl
=
p cos β
（4-9）
将 pl 沿作用线移至 B 点，可分解为： 切向力：
t
=
pl
sin(α
+
β)
=
p
sin(α + β ) cos β
（4-10）
径向力：
k
=
pl
cos(α
+
β)
=
p
cos(α + cos β
β)
（4-11）
这样，将作用在曲轴上的切向力分解为周期函
图 4-3 四冲程柴油机激振力矩简谐分析曲线
Mk = Ck cos kω t 式中：k 为富立叶简谐次数；
（4-12）
Ck 为简谐系数。 如果把四冲程单缸机每经两转的工作循环用以转来表示，则得摩托阶数ν
ν =k/2
ν = 1 ，1 ，… 2
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用摩托阶数表示的简谐系数用 Cν 表示。 同理，往复惯性力矩 Mj 也可作简谐分析。 4.2.2 简谐分析的数值计算法
4.3 本章小结 本章介绍了柴油机曲柄连杆机构的受力情况和柴油机曲轴扭振系统激振力
矩简谐分析的数值计算法。对在没有示功图的情况下如何取得柴油机激振力矩 简谐系数作了说明。
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第五章 轴系强迫振动计算
5.1 激振力矩所作的功计算
柴油机是按照一定的发火顺序工作的，在曲轴轴系上作用着一组变化规律
相同，彼此相差一个固定间隔角的激振力矩的作用。当激振力矩的频率与轴系
的固有频率相近时，激振力矩就对轴系作功，产生扭振；当两者频率相同时，
激振力矩对轴系所做的功达到最大值，产生共振。
由于平均扭矩不产生扭振，所以第ν 次激振力矩为 Mν ：
M3;ψν )
（5-1）
激振力矩 Tν 对轴系产生的角位移ϕν 为：
4.1.3 作用在曲柄连杆机构上的力的分析
气体压力与往复惯性力两者作用在气缸中心线上，将往复惯性力用单位活
塞面积的力来计量，则合成的单位活塞面积的力为:
p = pg + pj = pg — mjrω 2 (cosα + λ cos2α ) Fh
式中：pg 为气缸气体压力； Fh 为活塞顶投影面积。
力 p 可以分解为两个力，如图 4-2 所示。
数的形式。
图 4-2 曲柄受力图
4.2 激振力矩的简谐分析 4.2.1 激振力矩的简谐分析
曲轴系统扭振的激振力矩（干扰力矩）是作用在每一曲柄销上的切向力 T
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引起的单拐扭矩 Mi = T×r，Mi 是由气压力引起的力矩 Mg 和往复惯性力引起的力 矩 Mj 合成得出的，二者都是时间的周期函数。其中气压力变化是扭振激振力矩 的主要因素。
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对于周期函数， f (a) = f (b)
所以
∫ ∑ b f (x)dx
a
=
N −1
f (xn )
n=1
仿此可得简谐系数在区间 [ 0 ，2πτ ]上的数值积分表达式
∑ αn ∑ bn
= =
2 N 2 N
N −1
tΣ (αn ) cosναn
n=0
N −1
tΣ (αn ) sinναn
ϕν = Aν sinνω t
（5-2）
式中： Aν 为第ν 次激振力矩产生的角位移的最大值，简称振幅。
由第ν 次的激振力矩在柴油机一次发火间隔内所作的功 WTν 为：
2π
∫ WTν =
ω 0
Mν dϕν
∫=
2π ω 0
Mν
dϕν dt
dt
∫ =
π 4
RD2Cν
Aν
cosψν
2π sin(νωt) cos(νωt)d(ωt)
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
（4-22）
在引入了当量切向力的概念之后，谐值计算就可以进行数值计算了。可以
利用柴油机的示功图计算 Cν 和 ϕν 。
简谐系数 Cν 只与柴油机的工作过程有关，若二台柴油机相似，则可以认为
简谐系数 Cν 是相同的。所以在没有示功图的情况下，可以由资料查得类似柴油
机的 Cν 值。
x = r[(1− cosα ) + λ (1− cos 2α )] 4
v = rω(sinα + λ sin 2α ) 2
j = rω 2 (cosα + λ cos 2α )
（4-4） （4-5） （4-6）
4.1.2 曲柄连杆机构的惯性力分析
分析机构的惯性力，通常是将连续分布质量的实际活塞曲柄连杆机构离散
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第四章 激振力矩的简谐分析
4.1 曲柄连杆机构受力分析 四冲程柴油机曲轴每旋转二周，各气缸发火一次，作用在活塞上的气压力推动
连杆驱动曲轴旋转，形成激振力矩。周期性的激振力矩是曲轴轴系产生扭振的
外部原因。
4.1.1 曲柄连杆机构运动分析
曲柄连杆机构简图见图 4-1。AB 为连杆，OB 为曲柄
tΣ
cosνα
dα
（4-15）
∫ bν
=
1 τπ
2πτ 0
tΣ
sinνα
dα
（4-16）
Cν = aν2 + bν2
为第ν 次简谐系数；
（4-17）
ϕν
= arctg αν bν
为第ν 次激振力矩相位角；
式中：τ 为冲程系数，四冲程柴油机τ = 2。
（4-18）
柴油机的工作循环是极其复杂的，无法用初等函数表达切向力 tΣ ，其简
当量切向力
z
∑ tΣ = M j / Fh r i =1
式中 ：r 为曲柄半径；
（4-13）
tΣ 也是周期函数，它可以展开成富立叶级数：
∑ tΣ = C0 + (αν cosνα + bν sinνα ) = C0 + ∑ Cν sin (να + ϕν )
（4-14）
∫ 式中
αν
=
1 τπ
2πτ 0
n=0
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
（4-20） （4-21）
其中，ν = k /τ
（ k = 0，1，2，…，12 ）
αn
=
2πτ n N
（ n = 0，1，2，…，N-1 ）
∑ αν ∑ bν
= =
2 N 2 N
N −1 n=0
tΣ
(α n
)
cos
2π nk N
N −1 n=0
tΣ
(α n
)
sin
2π nk N
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即： r sin a = l sin β
求导，得： r cos a da = l cos β d β
dt
dt
图 4-1 曲柄连杆机构
因为： da = ω dt
所以： l d β = rω cos a
dt
cos β
于是 v = rω sin a + rω cos a sin β cos β
（4-2）
= rω(sin a + cos a tgβ )
0
∫ +
π 4
RD2Cν
Aν
sinψν
2π cos2 (νω t)d(ω t)
0
由于
所以
∫ 2π sin(νωt) cos(νωt)d(ωt) =0 0
∫ 2π cos2 (νωt)d(ωt) = π 0
WTν
=
π 4
RD2Cν Aνπ
sinψν
即
WTν = Mν Aνπ sinψν
（5-3） （5-4）
柴油机的单缸扭矩 Mi，可由作用在曲柄销上的单位切向力 t 来反映，对于 单列式多缸机，在轴系上则受到一组变化规律彼此相差一定间隔角（发火间隔
角）的激振力矩的不断作用。虽然第一和第 i 个曲拐的力矩可以认为相等，但
z
由于两者存在相位差，而激振力矩各不相同。将多缸机的合成力矩 ∑ Mi 换算成 i =1
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往复惯性力：
Pj = - mj j = - mjrw2 (cosα + λ cos2α ) =PjI + PjII
（4-7）
PjI 和 PjII 分别称为一阶和二阶惯性力。因此，往复惯性力可以表示为按简
谐规律随曲柄转角变化的一阶和二阶惯性力之和。
往复惯性力 Pj 总是沿气缸轴线作用，其方向与加速度方向相反。在上止 点时为负，方向向上；在下止点时为正，方向向下。
活塞位移 x = r + l − r cos a − l cos β
式中
= r[(1+ 1 ) − (cos a + 1 cos β )] （4-1）
λ
λ
β 为连杆摆动角
λ = r 为曲柄半径/连杆长度比 l
活塞速度 v = dx = r sin a da + l sin β d β
dt
dt
dt
由正弦定理： l = r sin a sin β
谐系数 Cν 只能用数值积分法求解。由于 tΣ 的周期性，可应用梯形公式来进
行计算。
设函数 f (x) 在区间[ a,b ]上，将区间[ a,b ]作 N 等分，梯形公式为：
∫ ∑ b f (x)dx
a
=
b−a N
⎡ ⎢⎣
f
(a) + 2
f
(b)
+
N −1 n=1
f
⎤ (xn )⎥⎦
（4-19）
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