微分方程组的零解稳定性
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１ 连续 ； 上
≤ ｆ ｆ （） ｇ ７Ｙ ． ） ｒ≤Ｍ ＝Ｍ ， ｘ Ｉ （ ，（） Ｉ ｈ Ｉ ． ｒ ｄ ｌ 所以有 （ ，
如０
ｙ ） （ ）≤ ｖ ｘ ，ｏ （。Ｙ ）＋Ｍ ＝Ｍ（ 为 （ ，０ 常 数 ） 因 ｙ ）为 。
Ｂ有 Ｍ ≥ Ｖ ，（ ） ≥ ０ ，（ ） Ｙ ） ≥ ０ ， ｐ （ Ｙ ） （ Ｙ ） （ （ ） （
ｙ ） （１ （ ）Ｉ 从而有 ： Ｉ （）Ｉ ≤ （ ） １ ｌ ｙ ）， （ｆ １ ｙ ）
， 由
（） （ Ｙ ２ ，）≤ ｈ ｘ （ Ｙ （ ）ｇ ，）其 中 ｈ ｘ （ ）于 ≥ ０可积 ，
ｌ （，）＝＋∞ ， ｉ ＯｘＹ ｍ 故有 Ｖ ｓ＞０ ｓ＜日 ， ｓ （ ） （ ）＞Ｏ存在 ， ，
当 ＞ ＞Ｘ ０时 ，有 Ｏｘ ｙ （ ，（ ＞ ，即 （ ） ＞
ｇ ｘＹ 在域 ② 上有界， Ｉ （） ｘ＜＋ｏ。 （， ） 且Ｊ ＾ Ｉ ｄ ｏ
则 ① 的 零 解 稳定 。
证： 因为 ｗ ｙ 为正函数 ， （） 故存在 ∈Ｋ使得在域 ③ 中满
足 不 等 式 ｗ ｙ ≥ （１ ） （） １ ｌ Ｉ ，由 条 件 （ ） 知 ，（ ｙ ≥ Ｙ １ ，）
零解 稳 定 。
ｌ 引言 和预 备知 识
对 于 微 分方 程组
Ｙ ＝ ，） Ｙ ①
定理 ２ 对于方程组 ① 若 ：
（ ）在 域 ② 上 存 在 函数 Ｖ ｘＹ １ （ ，）使 得 Ｖ ｘＹ （ ，）一Ｏ ｘ （，
ｙｗＹ ） （ ）为常正函数 ， 中 Ｗ（ 其 ）为正 定函数 ， 在 ≥ ０ （ ， ，
（对 任 ≥， 切≥， ＋ 为的 ２ 于何％ ０ 一 ｏ ＿ ） 及
连续单 调 （ 不减 ） 或 函数。则对 于任何常 数 ｘ ≥ ０， Ａ 有正 值
（ 或非值）的连续函数 Ｔ Ａ （ ）使对于 。≥ ０时 ， ： 有
０ （ ） （０＋ Ａ ）≥ Ａ （０ ）
① 收 稿 日期 ：００— ９— ７ ２１ ０ ２
（ 阳理 工学 院 数 理部 ， 洛 河南 洛 阳 ４ １ ２ ） ７ ０ ３
摘 要 ： 本文对 ｙ ，）解的局部稳 定性 以及全局渐近稳定性进行深入 的研 究， ＝ ｙ 并论证 一些结果 。 关键 词 ： 分方程组 ； 微 局部稳定性 ； 全局渐近稳定性 中 图分 类号 ： １８ Ｏ２ ． ４ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ０ — ４８ ２１）４ ０ １ — ２ １ ８ ８５ （００ ０ — ０８ ０ ０
≥ １ 且 ｌ （ ＝＋ ； ， ｉ ０ ） ａ ｒ
由 ｗ ｙ 正定 ， （） 故存在 妒 ∈Ｋ， 使得 （ ）≥ （１ ） ｙ ｌｌ ， １ Ｙ
因为 沿 解 Ｙ ） Ｙ ， ， ）， （ ＠ （ 由条 件 （ ） ： ２知
（ Ｙ ） ，（ ）≤ ｈ ）ｇ ，（ ） （ （ Ｙ ）
Ｙ ）≥ １上 连续 ， ；ｉ （ Ｙ ＝＋ ； 且 ｌ ０ ，） ａ ｒ （） Ｙ ２ Ｖ（ ）≤ ｈ ） （ Ｙ 其 中 ｈ ）于 ≥ ０可积 ， ， （ ｇ ，）， （
零解的局部稳定 性、 全局渐 近稳定 性 以及全 局一致 渐近等 问
题的讨论 ， 已有 相 关 的结 果 … 。其 中 Ｆ ｘＹ 为定 义 于 ： （ ，）
≥ （Ｉ （ ）Ｉ） 从而有 ［ （ Ｉ ， Ｉ Ｉ， ｙ Ｉ ）ｌ ｙ ＜ 因此对任
何 初 始 点 都 有 ：
０ｚ ｗ ｙ （ ） （ ）≥ 妒 】 ） 又因为ｇ ，） （１ Ｉ ， ＹＩ （ Ｙ 有界 ， 故存在 Ｌ＞０ 使 ，
得 ｉ （ Ｙ ≤ 从而有 Ｖ（ Ｙ ，）Ｉ ， ｇ ）≤ｈ ｘ Ｌ 由文 ［ ］ ① 的 ， （） ， ２知
由ｆ Ｉ （） ｄ 收敛， Ｉ （） ｄ ＝ ｌ ＋ ｌｘ ｈ 令Ｉ Ｉｘ Ｍ ＜ ∞， ｈ
由 ｇ ｘＹ 有界， Ｉ （，（） （ ，） 令 Ｙ ）≤Ｍ ， Ｉ ’ｆＹ ｒ ）ｒ ｇ ２故有 （ ，（ ） ｄ
２ 几个 结果 及证 明 Leabharlann Baidu
定理 １ 关 于方程组 ① 若满足 ： （ ） 域 ② 上存 在 函数 Ｖ ，） 使 得 Ｖ ，）一０ ， １在 （ Ｙ， （ Ｙ （ Ｙｗｙ ） （ ）为常正 函数 ， 中 ｗ ｙ 为定 函数 ， 其 （） 在 ≥ ０ ０ ，）≥ ，（ Ｙ
第２ ５卷 第 ４期
２１ ０ ０年 １ ２月
景德镇高专学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉ ｇ ｅ ｈ ｎ Ｃ ｌ ｇ ｏ ｒａ ｆ ｎ ｄ ｚｅ ｏ ｅ ｅ Ｊ ｌ
Ｖ０ ． ２ ．４ １ ５ Ｎｏ Ｄｅ ｃ．２ ０ ０１
微 分 方 程 组 的 零 解 稳 定 性
王 或 ①
≥ ０≥０， ０≤ Ｉ ＩＩ Ｈ ｌ≤ ｙ
考 虑 到 方程 组 （ ） 全 局渐 近稳 定 时 ， 定 义 ： １的 其
≥Ｘ ０≥ ０ ０ ≤ ｌ ｆ ＜＋∞ ， 】 Ｙ『
②
⑨
ｇ ， （Ｙ ）在域 ② 上有界 Ｉ ｌ （） ｘ＜十 。 且 ｘＩ ｈ ｄ
则方程组 ① 的零解渐近稳定 。 证： 首先 ， 由于定理 ２的条件满 足定理 １ 的条件 ， 故方程组 ① 的零解稳定 ， 往证对域 ② 中的任何初始点 都有 ：
ｌ ［ （ Ｙ ，ｏ ｝ ＝０ ｉ Ｉ ，ｏ ）Ｉ ａ Ｙ ｒ
的实函数 ， 定义域 Ｄ内连 续 ， 在 满足解 的存在唯 一性条 件 ， 且 Ｆ ，）一Ｏ 本文试 图对这些结果 的条件加以修改 ， 到另一 （ ０ ｏ 得
些结果。
引理 … ： （ ）函数 ０ ）在 ≥０连续 、 若 １ （ 严格单调 、（ ０ ）
≤ ｆ ｆ （） ｇ ７Ｙ ． ） ｒ≤Ｍ ＝Ｍ ， ｘ Ｉ （ ，（） Ｉ ｈ Ｉ ． ｒ ｄ ｌ 所以有 （ ，
如０
ｙ ） （ ）≤ ｖ ｘ ，ｏ （。Ｙ ）＋Ｍ ＝Ｍ（ 为 （ ，０ 常 数 ） 因 ｙ ）为 。
Ｂ有 Ｍ ≥ Ｖ ，（ ） ≥ ０ ，（ ） Ｙ ） ≥ ０ ， ｐ （ Ｙ ） （ Ｙ ） （ （ ） （
ｙ ） （１ （ ）Ｉ 从而有 ： Ｉ （）Ｉ ≤ （ ） １ ｌ ｙ ）， （ｆ １ ｙ ）
， 由
（） （ Ｙ ２ ，）≤ ｈ ｘ （ Ｙ （ ）ｇ ，）其 中 ｈ ｘ （ ）于 ≥ ０可积 ，
ｌ （，）＝＋∞ ， ｉ ＯｘＹ ｍ 故有 Ｖ ｓ＞０ ｓ＜日 ， ｓ （ ） （ ）＞Ｏ存在 ， ，
当 ＞ ＞Ｘ ０时 ，有 Ｏｘ ｙ （ ，（ ＞ ，即 （ ） ＞
ｇ ｘＹ 在域 ② 上有界， Ｉ （） ｘ＜＋ｏ。 （， ） 且Ｊ ＾ Ｉ ｄ ｏ
则 ① 的 零 解 稳定 。
证： 因为 ｗ ｙ 为正函数 ， （） 故存在 ∈Ｋ使得在域 ③ 中满
足 不 等 式 ｗ ｙ ≥ （１ ） （） １ ｌ Ｉ ，由 条 件 （ ） 知 ，（ ｙ ≥ Ｙ １ ，）
零解 稳 定 。
ｌ 引言 和预 备知 识
对 于 微 分方 程组
Ｙ ＝ ，） Ｙ ①
定理 ２ 对于方程组 ① 若 ：
（ ）在 域 ② 上 存 在 函数 Ｖ ｘＹ １ （ ，）使 得 Ｖ ｘＹ （ ，）一Ｏ ｘ （，
ｙｗＹ ） （ ）为常正函数 ， 中 Ｗ（ 其 ）为正 定函数 ， 在 ≥ ０ （ ， ，
（对 任 ≥， 切≥， ＋ 为的 ２ 于何％ ０ 一 ｏ ＿ ） 及
连续单 调 （ 不减 ） 或 函数。则对 于任何常 数 ｘ ≥ ０， Ａ 有正 值
（ 或非值）的连续函数 Ｔ Ａ （ ）使对于 。≥ ０时 ， ： 有
０ （ ） （０＋ Ａ ）≥ Ａ （０ ）
① 收 稿 日期 ：００— ９— ７ ２１ ０ ２
（ 阳理 工学 院 数 理部 ， 洛 河南 洛 阳 ４ １ ２ ） ７ ０ ３
摘 要 ： 本文对 ｙ ，）解的局部稳 定性 以及全局渐近稳定性进行深入 的研 究， ＝ ｙ 并论证 一些结果 。 关键 词 ： 分方程组 ； 微 局部稳定性 ； 全局渐近稳定性 中 图分 类号 ： １８ Ｏ２ ． ４ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ０ — ４８ ２１）４ ０ １ — ２ １ ８ ８５ （００ ０ — ０８ ０ ０
≥ １ 且 ｌ （ ＝＋ ； ， ｉ ０ ） ａ ｒ
由 ｗ ｙ 正定 ， （） 故存在 妒 ∈Ｋ， 使得 （ ）≥ （１ ） ｙ ｌｌ ， １ Ｙ
因为 沿 解 Ｙ ） Ｙ ， ， ）， （ ＠ （ 由条 件 （ ） ： ２知
（ Ｙ ） ，（ ）≤ ｈ ）ｇ ，（ ） （ （ Ｙ ）
Ｙ ）≥ １上 连续 ， ；ｉ （ Ｙ ＝＋ ； 且 ｌ ０ ，） ａ ｒ （） Ｙ ２ Ｖ（ ）≤ ｈ ） （ Ｙ 其 中 ｈ ）于 ≥ ０可积 ， ， （ ｇ ，）， （
零解的局部稳定 性、 全局渐 近稳定 性 以及全 局一致 渐近等 问
题的讨论 ， 已有 相 关 的结 果 … 。其 中 Ｆ ｘＹ 为定 义 于 ： （ ，）
≥ （Ｉ （ ）Ｉ） 从而有 ［ （ Ｉ ， Ｉ Ｉ， ｙ Ｉ ）ｌ ｙ ＜ 因此对任
何 初 始 点 都 有 ：
０ｚ ｗ ｙ （ ） （ ）≥ 妒 】 ） 又因为ｇ ，） （１ Ｉ ， ＹＩ （ Ｙ 有界 ， 故存在 Ｌ＞０ 使 ，
得 ｉ （ Ｙ ≤ 从而有 Ｖ（ Ｙ ，）Ｉ ， ｇ ）≤ｈ ｘ Ｌ 由文 ［ ］ ① 的 ， （） ， ２知
由ｆ Ｉ （） ｄ 收敛， Ｉ （） ｄ ＝ ｌ ＋ ｌｘ ｈ 令Ｉ Ｉｘ Ｍ ＜ ∞， ｈ
由 ｇ ｘＹ 有界， Ｉ （，（） （ ，） 令 Ｙ ）≤Ｍ ， Ｉ ’ｆＹ ｒ ）ｒ ｇ ２故有 （ ，（ ） ｄ
２ 几个 结果 及证 明 Leabharlann Baidu
定理 １ 关 于方程组 ① 若满足 ： （ ） 域 ② 上存 在 函数 Ｖ ，） 使 得 Ｖ ，）一０ ， １在 （ Ｙ， （ Ｙ （ Ｙｗｙ ） （ ）为常正 函数 ， 中 ｗ ｙ 为定 函数 ， 其 （） 在 ≥ ０ ０ ，）≥ ，（ Ｙ
第２ ５卷 第 ４期
２１ ０ ０年 １ ２月
景德镇高专学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉ ｇ ｅ ｈ ｎ Ｃ ｌ ｇ ｏ ｒａ ｆ ｎ ｄ ｚｅ ｏ ｅ ｅ Ｊ ｌ
Ｖ０ ． ２ ．４ １ ５ Ｎｏ Ｄｅ ｃ．２ ０ ０１
微 分 方 程 组 的 零 解 稳 定 性
王 或 ①
≥ ０≥０， ０≤ Ｉ ＩＩ Ｈ ｌ≤ ｙ
考 虑 到 方程 组 （ ） 全 局渐 近稳 定 时 ， 定 义 ： １的 其
≥Ｘ ０≥ ０ ０ ≤ ｌ ｆ ＜＋∞ ， 】 Ｙ『
②
⑨
ｇ ， （Ｙ ）在域 ② 上有界 Ｉ ｌ （） ｘ＜十 。 且 ｘＩ ｈ ｄ
则方程组 ① 的零解渐近稳定 。 证： 首先 ， 由于定理 ２的条件满 足定理 １ 的条件 ， 故方程组 ① 的零解稳定 ， 往证对域 ② 中的任何初始点 都有 ：
ｌ ［ （ Ｙ ，ｏ ｝ ＝０ ｉ Ｉ ，ｏ ）Ｉ ａ Ｙ ｒ
的实函数 ， 定义域 Ｄ内连 续 ， 在 满足解 的存在唯 一性条 件 ， 且 Ｆ ，）一Ｏ 本文试 图对这些结果 的条件加以修改 ， 到另一 （ ０ ｏ 得
些结果。
引理 … ： （ ）函数 ０ ）在 ≥０连续 、 若 １ （ 严格单调 、（ ０ ）