信号处理中的数学方法期末试题答案

1、 叙述卡享南—洛厄维变换，为什么该变换被称为最佳变换，何为

其实用时的困难所在，举例说明其应用。

它经常用来处理随机变量信号，能使变换后的分量不相关，且使均方误差最小，所以常称作最佳变换。

卡享南-洛厄维变换没有固定的变换矩阵，它依赖于给定的随机向量的协方差阵。正是这种变换的特点，也是它在实际使用时的困难所在，因为它需要依照不固定的矩阵x C 求特征值和特征向量。

卡享南-洛厄维变换应用在数据压缩技术中。特别是随着信息时代的发展到第三个阶段-大数据时代，海量的数据每时每刻扑面而来，按照最优化原则的数据压缩技术可以解决通讯和数据传输系统的信道容量不足问题。

通过对信号作正交变换，根据失真最小的原则在变换域进行压缩。卡享南-洛厄维变换使这种变换消除了原始信号诸分量间的相关性，从而使数据压缩能遵循均方误差最小的准则实施。

2、最小二乘法的三种表现形式是什么？以傅里叶级数展开为例说明其各自的优缺点。

希尔伯特空间中线性逼近问题的求解方法称为最小二乘法。它有三种不同的表现形式：投影法、求导法和配方法。

下面以傅里叶级数展开为例来说明。 投影法：

设X 为希尔伯特空间，{}12,,

e e 为X 中的一组归一化正交元素，x 为X 中

的某一元素。在子空间{}12,,

M span e e =中求一元素0m ，使得

0min m M

x m x m ∈-=- (2-1)

由于M 中的元素可表示为12,,

e e 的线性组合，那么问题就转化为求系数

12,,

αα，使得

1

min k k k x e α∞

=-=∑ (2-2)

投影定理指出了最优系数12,,

αα应满足

1,1,2,k k m k x e e m α∞

=⎛⎫-⊥=

⎪⎝⎭

∑ (2-3)

由此即得()1,,m k k m m k x e e e αα∞=⎛⎫

== ⎪⎝⎭∑。也就是说，当且仅当k α取为x 关于归

一化正交系{}12,,

e e 的傅立叶系数(),k k x e α=时式(2-2)成立。

求导法： 记泛函

()2

121

,,k k k f x e ααα∞

==

-∑ (2-4)

为了便于使用求导法求此泛函的最小值，将它表为

()

12112

2

1

1

,,

,2k k m m k m k k k k k f x e x e x c αααααα∞∞

==∞∞

==⎛⎫=-- ⎪

⎝⎭

=-+∑∑∑∑

(2-5)

其中(),k k c x e =。于是最优的12,,

αα应满足

0,1,2,m

f

m α∂==∂

即220m m c α-+=，或,1,2,m m c m α==。

配方法：

()

2

2

121

1

,,

2k k k k k f x c αααα∞∞

===-+∑∑

(2-6)

2

2221

1

1

1

2k

k

k k k k k k k x c c c αα∞

∞

∞

∞

=====-+-+∑∑∑∑

()2

2

21

1

k k k k k x c c α∞∞

===-+-∑∑

min k k c α=⇔=，1,2,

k =

以上三种方法都称为最小二乘法。比较起来，从数学理论上讲，投影法较高

深，求导法次之，配方法则属初等；从方法难度上讲，求导法最容易，投影法和配方法各有千秋；从结果看，配方法最好，因为它不仅求出了最优系数k α，而且由配方结果立即可知目标函数()12,,

f αα的极值。此外，配方法和投影法都

给出了f 达到极小的充分和必要条件，但求导法给出的仅仅是极值的必要条件，如果是极值，还不知道是极大还是极小，故是不完整的。

但我们不能简单的说这三种方法谁更好。因为它们实际应用时都有自己的局限性。例如投影法必须把所讨论的最优化问题放到某个希尔伯特空间的框架中去；求导法必须有可行的求导法则，如果未知的变元是向量，矩阵或函数，求导法就不那么直捷了；而配方法则是一种技巧性很强的方法，如果目标函数比较复杂，那么用配方法很相当困难。

3、二阶矩有限的随机变量希尔伯特空间中平稳序列的预测问题的法方程称为关于平稳序列预测问题的yule-walker 方程，试用投影法和求导法推导该方程。该方程的求解算法称为最小二乘算法，请对这些算法的原理予以描述。

下面先介绍什么是随机序列的预测问题：

若二阶矩有限的随机变量希尔伯特空间中的序列{}12,,

x x ，记子空间

{},11,,

,k N k N k N k M span x x x --+-= (3-1)

现在的问题是，用,k N M 中的元素

()

1

N

N k

m k m

m x x α-==∑

(3-2)

来估计k x ，并使得均放误差最小，也就是求系数1,,N αα使得

()

(

){}2

2

min N N k k

k k

x x

E x x -=-= (3-3)

这个问题就是随机序列的预测问题。 下面从投影法和求导法对其进行推导： 投影法：