(完整版)数理经济学课件
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数理经济学
授课教材、大纲与内容
其它参考书： 1、蒋中一《数理经济学的基本方法》
商务印书馆 2、蒋中一《动态最优化基础》商务印书馆 3、邵宜航 《数理经济学精要》科学出版社
导论
一、什么是数理经济学？
数理经济学不是经济学的一个分支学科，它 是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符 号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推 理的一种方法。就分析的具体对象而言，它可 以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、 城市经济学或其它经济学科。
...
0
0
...
0
gm (x1, x2,..., xn ) 0
h( x1,
x2 , ...,
xn
)
hh12((xx11,,xx22,,......,,xxnn))
...
0
0
...
0
hl (x1, x2,..., xn ) 0
f : Rn R, g : Rm R, h : Rn R
R2中的凸集
非凸集： 例2：
R2中的非凸集
因此当且仅当把集合内的任意两点用一条 直线联接，该直线完全处于集合内，那么此集 合为凸集。
凸集本质上没有洞，无断点，在边界没有麻 烦的凸凹。
2. 凸集的性质
定理1：凸集的交集是凸集
设S与T是Rn上的凸集，那么S T是凸集。
证明：设S与T为凸集。x1, x2 S T , 那么x1 S且x1 T，x2 S且x2 T。 对于t [0,1],令z tx1 (1 t)x2, 则z S且z T ,因此z S T。即S T是凸集。
如果函数在其定义域的每个点上连续，那么该函数 被称为连续函数。
定义： A1.9 （Cauchy）连续性
设D Rm，并且设f ：D Rn。如果 0, 0,
c(t )表示t时点的人均消费，k (t )表示t时点的人均资
本存量，U 表示个人效用函数， 表示主观贴现率。
三、授课逻辑主线
经济学定义为研究有限资源的有效（最 优）配置的科学，因此许多经济学问题可 以表示为数学的最优化问题。本课程主要 学习在微观经济学和宏观经济学中经常使 用的最优化数学分析方法。
二、凸集
1. Rn 上的凸集 定义：
称S Rn是凸集： x1, x2 S,t [0,1], tx1 (1 t)x2 S
称z是x1与x2凸组合： 如果z tx1 (1 t)x2，（0 t 1）
凸组合 例1：(当n=1)
R中的凸组合
凸组合 例2：(当n=2)
R2中的一些凸组合
凸集： 例1：
定义：开集 如果一个集合所有点都是内点，那么此
集合为开集。
闭集的特征：
¡ n上的集合S是闭的 S的点列{x }的极限x也属于S。 k
定理A1.4 Rn上的闭集 1、空集是一个闭集。（定义） 2、整个空间Rn是一个闭集。 3、闭集的任何有限集合的并是一个闭集。 4、闭集的交集是一个闭集。
证明：
举例1：消费者选择问题
在收入水平的约束条件下，选择最优的消费量组 合以最大化消费效用。模型为：
max :
( x1,...,xn )
U
(
x1
,
x2
,
...,
xn
)
s.t : p1x1 p2x2 ... pnxn y
xi表示第i个商品的消费量，pi表示相对应的 商品价格，U为消费效用函数，y为收入。
举例2：最优控制问题
min : t1 f (t, x(t),u(t))dt t0
s.t : x&(t) (t, x(t),u(t)) x(t0 ) x0 u(t) U
f : R Rn Rm R, : R Rn Rm R,U Rm
四、授课主要内容
相关数学背景知识
（集合与映射、微积分、微分方程）
举例2：最优经济增长问题（连续型）
研究一代表性家庭如何选择最优的动态消费路径， 以最大化其从现在到将来的效用现值总和。
模型描述为：
max : U (c(t))etdt (c,k) 0
s.t : k&(t) f (k(t)) c(t) k(0) k0
消费效用现值总和
资源和技术的约束 初期的资本存量限制
数学的最优化问题：
所谓最优化问题是“在关于变量的 约束条件下，寻找使目标值最大化或 最小化的变量”的问题
举例1：非线性规划问题
min : f (x1, x2,..., xn )
s.t
:
g ( x1,
x2 , ...,
xn
)
g1(
x1,
x2Leabharlann Baidu
,...,
xn
)
g2 (x1, x2,..., xn )
2、设S是R内的一个有界闭集，并设a与b分别是S的 下确界和上确界，那么a S并且b S.
证明：反证法。
定义A1.8 (heine-Borel)紧集 如果集合S是闭的且有界的，S在Rn上被称为紧的。
4、（Cauchy）连续性
定义：一元连续函数
如果对于 0,总会 0,使得d(x, x0 ) 蕴含 着d ( f (x), f (x0 )) , 那么函数f : R R是在点x0处连续。
2. 函数
函数是一类特殊的关系，它是将一个集合 内的每个元素与另一个集合内的单个且唯一的 元素联系起来的关系。
称函数f是从集合D到另一个集合R的映射， 记成 f : D R
函数与非函数
四、一点拓扑学
拓扑学研究集合与映射的基本性质。 （本书仅考虑 Rn 上的集合）
1、度量空间
定义： 空间中两点x, y Rn , 将： d (x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2 ... (xn yn )2 称为两点x, y间的“距离”，这里xi , yi分别是 向量x, y第i分量。
S的下界中最大数被称为S的最大的下界或下确界，记为infS. S的上界中最小数被称为S的最小的上界或上确界，记为supS.
定理：
对于R的任何有界子集总会存在一个 上确界和下确界。
定理A1.5 实数子集的上界与下界
1、设S是R内的一个有界开集，并设a与b分别是S的 下确界和上确界，那么a S并且b S.
按照经济分析方法的分类来讲解相关的数学 知识，并通过介绍大量的宏微观经济模型掌握 经济分析方法和数学方法。
二、数理经济学的本质
探讨如何用数学语言准确、精练描述经 济学问题，并推敲通过数理分析而导出的 数学关系式所表达的经济学含义，由此揭 示经济活动的规律性才是数理经济学的本 质所在。
经济学问题的数学表述
子集的定义：
如果集合S的每个元素也是集合T的一个 元素，那么集合S是另外一个集合T的子集。
记为：S T
2.集合的运算
并：A B＝{x | x A,或x B} 交：A B＝{x | x A,且x B} 差：A \ B ＝{x | x A,但x B}
余：Ac＝ {x | x A}
3.集合的运算规律
如果以x为中心，以为半径的每个球，包含了S内
的点，以及不在S内的点，那么x点被称为S的一个边界点。 集合S的所有边界点表示成S。
定义： 内点
如果以x为中心， 0,使得B (x) S,那么
点x S被称为S的内点。 集合S的所有内点的集合记为int S.
定义：闭集 如果集合包含所有边界点，此集合为闭集。
1) n
I An
n 1
定理A1.3 每个开集是开球的并集。
即：设S是一个开集。对于x S,x 0,
使得B
x
(
x)
S
,
那么：S＝
U
xS
B
x
(
x)
证明：
（1）若x
S
x
U
xS
B x
(x)
（2）若x
U
xS
B x
(x)
x
S
定义 A1.6 Rn上的闭集 如果S的补集Sc是个开集，那么S是一个闭集。
定义： 边界点
举例 设B是n维欧氏空间Rn中的凸集，在B中引入一个二元 关系记为" f "，如果它具有： （1）（反身性）若x B,则x f x; (2) (完备性) 若x, y B,则x f y,或者y f x; (3) (传递性) 若x, y, z B,如果x f y, y f z,则x f z; 我们称“ f ”是一个偏好关系。
第一章 集合和映射
一、集合
1. 集合的定义：
具有某种特定性质的事物的总体。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
举例：
1. R x | x
2. Rn (x1,..., xn ) | xi R,i 1,...,n 3. Rn (x1,..., xn ) | xi 0,i 1,...,n 4. Rn (x1,..., xn ) | xi 0,i 1,...,n
三、关系与函数
1. 二元关系
定义： 任何有序对(s,t)把一个元素s S,与另一个元 素t T联系起来，则这些有序对的集合R被 认为构成S和T之间的一个二元关系。 若(s,t) R,则写成sRt
显然R S T
定义： 当一个二元关系是一集合S与自身的乘积的子集， 称这是集合S上的一个关系。
定义A1.2 如果对于S中的所有元素x与y, 有xRy或yRx, 那么称S上 的关系R是具有完备性。 定义A1.3 如果对于S中的任何三个元素x、y、z, 有xRy和yRz, 则蕴含着xRz，那么称S上的关系R是具有传递性。
（3）设Si是Rn上的闭集，i I , I是有限的指标集。 iI Si＝(iI Sic )c 所以iI Si是闭的。
（4）设S1，S2是闭集。 （S1 S2）c S1c S2c
所以S1 S2是闭集。
举例：
设S R是一个由单点组成的集合S {s}， 证明S是一个闭集。
3、有界集
定义 A1.7 有界集
如果S Rn，S完全被包含在一个半径为的
球内（开球或闭球），则称S是有界的。
举例：
1、{(x, y) | 1 x2 y2 4}
2、{(x, y) | x y 0}
y
o
x
定义：下确界、上确界
设S R是任何非空的实数集。 任何实数l，对于x S,总有l x,那么l是数集S的下界。 任何实数u,对于x S,总有u x,那么u是数集S的上界。
定义 A1.5 Rn上的开集
如果对于x S , 0, 使得B (x) S ,
那么S Rn是一个开集。
显然任何开球是开集。
定理A1.2 Rn上的开集 1、空集是一个开集。（定义） 2、整个空间Rn是一个开集。 3、开集的并集是一个开集。 4、任何有限开集的交集是一个开集。
反例：
An
(1 1 ,1 n
用具有上述定理所示性质的距离来定义的空 间被称为“度量空间”。
2、开球与闭球
定义 A1.4
1、以x0为中心，以 0为半径的开球是Rn上的点的子集： B (x0) {x Rn | d(x0, x) }
2、以x0为中心，以 0为半径的闭球是Rn上的点的子集： B* (x0) {x Rn | d(x0, x) }
转换律: A\B＝A I BC;
对偶原理；（De－Morgen原理）
(1) ( U A )C＝I AC ,
(2) ( I A )C＝U AC 。
4. 集合的乘积
ST (s,t) | s S,t T
X1 X2 ... Xn (x1, x2,..., xn ) | xi Xi
记Xi X1 X2 ... Xi1 Xi1 ... Xn
定理：
对于任意的x, y, z Rn ,以下的(1) (3)式成立： (1)d (x, y) 0,当且仅当x y时，d (x, y) 0; (2)d(x, y) d( y, x) (3)d (x, y) d ( y, z) d(x, z) (三角不等式)
在距离d被定义的情况下，向量空间Rn被称 为“欧几里得空间”；
静态最优化
（最优化的古典方法——无约束、等式约束； 最优化的非古典方法——数学规划（线性规划和 非线性规划），处理不等式约束。）
动态最优化
（变分法、最优控制理论和动态规划 ）
第一部分 数学背景
内容见 杰里和瑞尼：《高级微观经济理论》 上海财经大学出版社 附录A1、A2
主要内容：
一、集合和映射 二、凸集 三、关系与函数 四、一点拓扑学 五、实值函数 六、分离超平面定理
交换律： A UB＝B U A，A I B＝B I A;
结合律：（A U B）U C＝A U（B U C）, （A I B）I C＝A I（B I C）;
分配律： (A U B）I C＝（A I C）U（B I C）, （A I B）UC＝（A UC）I（B UC）;
吸收律； 若A B，则A UB＝B；A I B＝A, A I , A \ B＝，A U＝A;
授课教材、大纲与内容
其它参考书： 1、蒋中一《数理经济学的基本方法》
商务印书馆 2、蒋中一《动态最优化基础》商务印书馆 3、邵宜航 《数理经济学精要》科学出版社
导论
一、什么是数理经济学？
数理经济学不是经济学的一个分支学科，它 是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符 号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推 理的一种方法。就分析的具体对象而言，它可 以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、 城市经济学或其它经济学科。
...
0
0
...
0
gm (x1, x2,..., xn ) 0
h( x1,
x2 , ...,
xn
)
hh12((xx11,,xx22,,......,,xxnn))
...
0
0
...
0
hl (x1, x2,..., xn ) 0
f : Rn R, g : Rm R, h : Rn R
R2中的凸集
非凸集： 例2：
R2中的非凸集
因此当且仅当把集合内的任意两点用一条 直线联接，该直线完全处于集合内，那么此集 合为凸集。
凸集本质上没有洞，无断点，在边界没有麻 烦的凸凹。
2. 凸集的性质
定理1：凸集的交集是凸集
设S与T是Rn上的凸集，那么S T是凸集。
证明：设S与T为凸集。x1, x2 S T , 那么x1 S且x1 T，x2 S且x2 T。 对于t [0,1],令z tx1 (1 t)x2, 则z S且z T ,因此z S T。即S T是凸集。
如果函数在其定义域的每个点上连续，那么该函数 被称为连续函数。
定义： A1.9 （Cauchy）连续性
设D Rm，并且设f ：D Rn。如果 0, 0,
c(t )表示t时点的人均消费，k (t )表示t时点的人均资
本存量，U 表示个人效用函数， 表示主观贴现率。
三、授课逻辑主线
经济学定义为研究有限资源的有效（最 优）配置的科学，因此许多经济学问题可 以表示为数学的最优化问题。本课程主要 学习在微观经济学和宏观经济学中经常使 用的最优化数学分析方法。
二、凸集
1. Rn 上的凸集 定义：
称S Rn是凸集： x1, x2 S,t [0,1], tx1 (1 t)x2 S
称z是x1与x2凸组合： 如果z tx1 (1 t)x2，（0 t 1）
凸组合 例1：(当n=1)
R中的凸组合
凸组合 例2：(当n=2)
R2中的一些凸组合
凸集： 例1：
定义：开集 如果一个集合所有点都是内点，那么此
集合为开集。
闭集的特征：
¡ n上的集合S是闭的 S的点列{x }的极限x也属于S。 k
定理A1.4 Rn上的闭集 1、空集是一个闭集。（定义） 2、整个空间Rn是一个闭集。 3、闭集的任何有限集合的并是一个闭集。 4、闭集的交集是一个闭集。
证明：
举例1：消费者选择问题
在收入水平的约束条件下，选择最优的消费量组 合以最大化消费效用。模型为：
max :
( x1,...,xn )
U
(
x1
,
x2
,
...,
xn
)
s.t : p1x1 p2x2 ... pnxn y
xi表示第i个商品的消费量，pi表示相对应的 商品价格，U为消费效用函数，y为收入。
举例2：最优控制问题
min : t1 f (t, x(t),u(t))dt t0
s.t : x&(t) (t, x(t),u(t)) x(t0 ) x0 u(t) U
f : R Rn Rm R, : R Rn Rm R,U Rm
四、授课主要内容
相关数学背景知识
（集合与映射、微积分、微分方程）
举例2：最优经济增长问题（连续型）
研究一代表性家庭如何选择最优的动态消费路径， 以最大化其从现在到将来的效用现值总和。
模型描述为：
max : U (c(t))etdt (c,k) 0
s.t : k&(t) f (k(t)) c(t) k(0) k0
消费效用现值总和
资源和技术的约束 初期的资本存量限制
数学的最优化问题：
所谓最优化问题是“在关于变量的 约束条件下，寻找使目标值最大化或 最小化的变量”的问题
举例1：非线性规划问题
min : f (x1, x2,..., xn )
s.t
:
g ( x1,
x2 , ...,
xn
)
g1(
x1,
x2Leabharlann Baidu
,...,
xn
)
g2 (x1, x2,..., xn )
2、设S是R内的一个有界闭集，并设a与b分别是S的 下确界和上确界，那么a S并且b S.
证明：反证法。
定义A1.8 (heine-Borel)紧集 如果集合S是闭的且有界的，S在Rn上被称为紧的。
4、（Cauchy）连续性
定义：一元连续函数
如果对于 0,总会 0,使得d(x, x0 ) 蕴含 着d ( f (x), f (x0 )) , 那么函数f : R R是在点x0处连续。
2. 函数
函数是一类特殊的关系，它是将一个集合 内的每个元素与另一个集合内的单个且唯一的 元素联系起来的关系。
称函数f是从集合D到另一个集合R的映射， 记成 f : D R
函数与非函数
四、一点拓扑学
拓扑学研究集合与映射的基本性质。 （本书仅考虑 Rn 上的集合）
1、度量空间
定义： 空间中两点x, y Rn , 将： d (x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2 ... (xn yn )2 称为两点x, y间的“距离”，这里xi , yi分别是 向量x, y第i分量。
S的下界中最大数被称为S的最大的下界或下确界，记为infS. S的上界中最小数被称为S的最小的上界或上确界，记为supS.
定理：
对于R的任何有界子集总会存在一个 上确界和下确界。
定理A1.5 实数子集的上界与下界
1、设S是R内的一个有界开集，并设a与b分别是S的 下确界和上确界，那么a S并且b S.
按照经济分析方法的分类来讲解相关的数学 知识，并通过介绍大量的宏微观经济模型掌握 经济分析方法和数学方法。
二、数理经济学的本质
探讨如何用数学语言准确、精练描述经 济学问题，并推敲通过数理分析而导出的 数学关系式所表达的经济学含义，由此揭 示经济活动的规律性才是数理经济学的本 质所在。
经济学问题的数学表述
子集的定义：
如果集合S的每个元素也是集合T的一个 元素，那么集合S是另外一个集合T的子集。
记为：S T
2.集合的运算
并：A B＝{x | x A,或x B} 交：A B＝{x | x A,且x B} 差：A \ B ＝{x | x A,但x B}
余：Ac＝ {x | x A}
3.集合的运算规律
如果以x为中心，以为半径的每个球，包含了S内
的点，以及不在S内的点，那么x点被称为S的一个边界点。 集合S的所有边界点表示成S。
定义： 内点
如果以x为中心， 0,使得B (x) S,那么
点x S被称为S的内点。 集合S的所有内点的集合记为int S.
定义：闭集 如果集合包含所有边界点，此集合为闭集。
1) n
I An
n 1
定理A1.3 每个开集是开球的并集。
即：设S是一个开集。对于x S,x 0,
使得B
x
(
x)
S
,
那么：S＝
U
xS
B
x
(
x)
证明：
（1）若x
S
x
U
xS
B x
(x)
（2）若x
U
xS
B x
(x)
x
S
定义 A1.6 Rn上的闭集 如果S的补集Sc是个开集，那么S是一个闭集。
定义： 边界点
举例 设B是n维欧氏空间Rn中的凸集，在B中引入一个二元 关系记为" f "，如果它具有： （1）（反身性）若x B,则x f x; (2) (完备性) 若x, y B,则x f y,或者y f x; (3) (传递性) 若x, y, z B,如果x f y, y f z,则x f z; 我们称“ f ”是一个偏好关系。
第一章 集合和映射
一、集合
1. 集合的定义：
具有某种特定性质的事物的总体。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
举例：
1. R x | x
2. Rn (x1,..., xn ) | xi R,i 1,...,n 3. Rn (x1,..., xn ) | xi 0,i 1,...,n 4. Rn (x1,..., xn ) | xi 0,i 1,...,n
三、关系与函数
1. 二元关系
定义： 任何有序对(s,t)把一个元素s S,与另一个元 素t T联系起来，则这些有序对的集合R被 认为构成S和T之间的一个二元关系。 若(s,t) R,则写成sRt
显然R S T
定义： 当一个二元关系是一集合S与自身的乘积的子集， 称这是集合S上的一个关系。
定义A1.2 如果对于S中的所有元素x与y, 有xRy或yRx, 那么称S上 的关系R是具有完备性。 定义A1.3 如果对于S中的任何三个元素x、y、z, 有xRy和yRz, 则蕴含着xRz，那么称S上的关系R是具有传递性。
（3）设Si是Rn上的闭集，i I , I是有限的指标集。 iI Si＝(iI Sic )c 所以iI Si是闭的。
（4）设S1，S2是闭集。 （S1 S2）c S1c S2c
所以S1 S2是闭集。
举例：
设S R是一个由单点组成的集合S {s}， 证明S是一个闭集。
3、有界集
定义 A1.7 有界集
如果S Rn，S完全被包含在一个半径为的
球内（开球或闭球），则称S是有界的。
举例：
1、{(x, y) | 1 x2 y2 4}
2、{(x, y) | x y 0}
y
o
x
定义：下确界、上确界
设S R是任何非空的实数集。 任何实数l，对于x S,总有l x,那么l是数集S的下界。 任何实数u,对于x S,总有u x,那么u是数集S的上界。
定义 A1.5 Rn上的开集
如果对于x S , 0, 使得B (x) S ,
那么S Rn是一个开集。
显然任何开球是开集。
定理A1.2 Rn上的开集 1、空集是一个开集。（定义） 2、整个空间Rn是一个开集。 3、开集的并集是一个开集。 4、任何有限开集的交集是一个开集。
反例：
An
(1 1 ,1 n
用具有上述定理所示性质的距离来定义的空 间被称为“度量空间”。
2、开球与闭球
定义 A1.4
1、以x0为中心，以 0为半径的开球是Rn上的点的子集： B (x0) {x Rn | d(x0, x) }
2、以x0为中心，以 0为半径的闭球是Rn上的点的子集： B* (x0) {x Rn | d(x0, x) }
转换律: A\B＝A I BC;
对偶原理；（De－Morgen原理）
(1) ( U A )C＝I AC ,
(2) ( I A )C＝U AC 。
4. 集合的乘积
ST (s,t) | s S,t T
X1 X2 ... Xn (x1, x2,..., xn ) | xi Xi
记Xi X1 X2 ... Xi1 Xi1 ... Xn
定理：
对于任意的x, y, z Rn ,以下的(1) (3)式成立： (1)d (x, y) 0,当且仅当x y时，d (x, y) 0; (2)d(x, y) d( y, x) (3)d (x, y) d ( y, z) d(x, z) (三角不等式)
在距离d被定义的情况下，向量空间Rn被称 为“欧几里得空间”；
静态最优化
（最优化的古典方法——无约束、等式约束； 最优化的非古典方法——数学规划（线性规划和 非线性规划），处理不等式约束。）
动态最优化
（变分法、最优控制理论和动态规划 ）
第一部分 数学背景
内容见 杰里和瑞尼：《高级微观经济理论》 上海财经大学出版社 附录A1、A2
主要内容：
一、集合和映射 二、凸集 三、关系与函数 四、一点拓扑学 五、实值函数 六、分离超平面定理
交换律： A UB＝B U A，A I B＝B I A;
结合律：（A U B）U C＝A U（B U C）, （A I B）I C＝A I（B I C）;
分配律： (A U B）I C＝（A I C）U（B I C）, （A I B）UC＝（A UC）I（B UC）;
吸收律； 若A B，则A UB＝B；A I B＝A, A I , A \ B＝，A U＝A;