计算机图形学第七章

7.2窗口视图变换
窗口和视图区 用户坐标系（world coordinate system， 简称WC） 设备坐标系（device coordinate system， 简称DC） 窗口区（window） 视图区（viewport）
7.2窗口视图变换

a 世界坐标系： 通常世界坐标系是一个三维笛卡儿坐标系。它 是一个全局坐标系统，一般为右手坐标系。该坐 标系主要用于图形场景中的所有图形对象的空间 定位、观察者（视点）的位置和视线的定义等等。 计算机图形系统中所涉及的其它坐标系基本上都 是参照它进行定义的。 b 局部坐标系： 为了几何造型和观察物体方便起见，独立于世 界坐标系定义的二维或三维笛卡儿坐标系称为局 部坐标系。在局部坐标系中定义的"局部"物体， 通过指定局部坐标系在世界坐标系中的方位，利 用几何变换，就可以将"局部"定义的物体变换到 世界坐标系内，使之升级成为世界坐标系中的物 体。

7.2窗口视图变换
＋y y z
＋z
＋x
O
x
图 7.4 设备坐标系(DCS)
7.2窗口视图变换
4. 规格化设备坐标系(NDCS-Normalized Device Coordinate System) 在早期的图形系统中, 图形程序(或软件 包)大多是在用户坐标系(WCS)中画图, 然后 直接映射到设备坐标空间(DCS)显示输出。
7.1图形变换的数学基础
矩阵运算 加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵
A＋B＝ 数乘
a11 b11 ... am1 bm1
a12 b12 ... a1n b1n ... ... am 2 bm2 ... amn bmn

kA = [ k*aij]|i=1...m, j=1,.. n
7.2窗口视图变换


c 观察坐标系： 观察坐标系通常是以视点的位置为原点，通过 用户指定的一个向上的观察向量来定义的一个坐 标系，缺省为左手坐标系。观察坐标系主要用于 从观察者的角度对整个世界坐标系内的图形对象 进行观察，以便简化几何物体在视平面（又成为 成像面或投影面）的成像的数学演算。 d 视平面（成像面）坐标系： 它是一个二维直角坐标系统，主要用于计算物 体在成像面上的投影。一般是通过指定视方向和 视点到成像面之间的距离来定义成像面（投影 面）。可进一步在投影面上定义一个称之为窗口 的矩形区域来实现部分成像。
矢量的长度
2 2 U U U ux u y uz 2
单位矢量 矢量的夹角

cos
矢量的叉积
U V U V
i U V u x vx
j uy vy
k uz vz
7.1图形变换的数学基础

矩阵
m× n
阶矩阵 n阶方阵 零矩阵 行向量与列向量 单位矩阵 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆
第七章 图形变换

图形变换一般是指将物体的几何信息经过放 大、缩小、平移和旋转等几何变换后产生新 的图形。它总是与相关的坐标系紧密相连的。 从相对运动的观点来看，图形变换既可以看 作是图形相对于坐标系的变动，即：坐标系 固定不动，物体的图形在坐标系中的坐标值 发生变化；也可以看作是图形不动，但是坐 标系相对于图形发生了变动，从而使得物体 在新的坐标系下具有新的坐标值。通常图形 变换只改变物体的几何形状和大小，但是不 改变其拓扑结构。
ys
xe O e
P* xs O s ze

y
y
x
图 7.3 目坐标系(ECS)
7.2窗口视图变换
3. 设备坐标系(DCS-Device Coordinate System) 为了便于输出真实图形, 设备坐标系(DCS) 有时也采用左手三维直角坐标系， 但它不 全都是左手的、 三维的。 它的单位根据输 出设备的实际大小来确定, 一般使用整数, 如图7.4所示。
第七章 图形变换

图形变换是指对计算机生成的图形进行变 换的技术, 它是计算机图形学中较为基础 的内容之一。 通过图形变换可以从简单 图形生成复杂图形; 可以从某一个图形得 到多个其它图形; 可用二维图形表示三维 形体; 可对静态图形经过快速变换而获得 图形的动态显示效果; 当图形具有一定的 规律性时, 还可以使绘图程序简单化。
矩阵乘法的结合律及分配律 A(B · C) = (A · B)C (A+B) · C = A · C+ B · C C · (A+B) = C · A + C ·B 矩阵的乘法不适合交换律

7.2窗口视图变换

图形变换一般是指将物体的几何信息经过放 大、缩小、平移和旋转等几何变换后产生新 的图形。它总是与相关的坐标系紧密相连的。 从相对运动的观点来看，图形变换既可以看 作是图形相对于坐标系的变动，即：坐标系 固定不动，物体的图形在坐标系中的坐标值 发生变化；也可以看作是图形不动，但是坐 标系相对于图形发生了变动，从而使得物体 在新的坐标系下具有新的坐标值。通常图形 变换只改变物体的几何形状和大小，但是不 改变其拓扑结构。
7.2窗口视图变换
1. 世 界 坐 标 系 (WCS-World Coordinate System) 世界坐标系一般是三维右手直 角坐标系, 它的单位根据所描述的实际对象 的大小来确定, 通常使用实数, 取值范围并 无限制。 它是一般用户绘图时所取的坐标 系, 有时也称为用户坐标系或物体坐标系。 通常表示为图 7.2(a), 它也可以是二维的 , 表示为图7.2(b)。
C=Cm×p = Am ×n · Bn×p cij = ∑aik*bkj k=1,n 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余 皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵 通常记作In 。 Am ×n = Am ×n · In
7.1图形变换的数学基础

逆矩阵 -1 -1 -1 若矩阵A存在A· A =A · A=I，则称A 为A的逆矩阵 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩 阵称为A的转置矩阵,记作AT 。 (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (A· B)T = BT · AT 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则 A是对称矩阵。
第七章 图形变换
教学学时：4课时
教学目的与要求：
了解各种坐标系的定义及其作用； 熟悉二维观察流程；掌握二维三维 坐标变换的基本方法 教学重点：坐标变换，平移变换， 伸缩变换，旋转变换，组合变换；
第七章 图形变换
主要研究内容：
1.
图形变换的数学基础 2.窗口视图变换 3.二维图形几何变换 4.三维图形几何变换

7.2窗口视图变换
y O ＋A x O z (a) (b) x ＋x ＋y ＋B ＋C y ＋z O
图 7.2 世界坐标系(WCS)
(a) 3D右手直角坐标系； (b) 2D右手直角坐标系
7.2窗口视图变换
2. 目 坐 标 系 (ECS/VCS-Eye Coordinate System) 目坐标系一般是三维左手直角 坐标系, 通过变换可在用户坐标系的任何位 置 , 任何方向定义。 它的单位根据所描述 的实际对象的大小来确定, 一般使用实数。 它是一般用户观察图形对象时所取的坐标系, 有 时 也 称 为 观 察 坐 标 系 (VCS-View Coordinate System)。
7.1图形变换的数学基础
矢量的数乘
kux k U ku y kuz
矢量的点积
U V uxvx u y vy uz vz

性质
U V V U U V 0 U V U U 0 U 0
7.1图形变换的数学基础

7.2窗口视图变换

这就给设备的更换和软件的移植带来不方便。 为此, 在WCS和DCS之间定义了一个与设备无 关的规格化设备坐标系, 考虑到且坐标系与 设备坐标系， 它常被取为三维或二维左手 直角坐标系, 取值范围约定为(0.0, 0.0, 0.0)到(1.0, 1.0, 1.0)或者(0.0, 0.0)到 (1.0, 1.0), 如图5.7所示。 用户的绘图数 据经过转换成NDCS中的值, 使得图形有了统 一的设备空间。 这对图形的统一处理, 带 来很大的方便, 从而提高图形程序的可移植 性。
7.1图形变换的数学基础
乘法 设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵
a11b11 a12 b21 a13b31 C = A ·B =a b a b a b 21 11 22 21 23 31 a11b12 a12 b22 a13b32 a21b12 a22 b22 a23b32
7.1图形变换的数学基础
矩阵运算的基本性质 交换律与结合律师 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C 数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A · B) = (aA) · B=A · (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A
7.1图形变换的数学基础
第七章 图形变换

所以, 为了提高图形程序的设计效率和质量, 开 拓图形程序应用范围的新领域, 深入学习图形变 换是十分必要的。 图形变换应用的例子如图7.1 所示。 目前 , 较为完善的图形软件中 , 都包含 有图形几何变换的一些功能。

1.
图形变换的作用和意义：
把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。
7.1图形变换的数学基础
矩阵的含义 矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个 整体，简称m×n矩阵。 其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素
a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A＝ ... ... ... am1 am 2 ... amn
7.2窗口视图变换ห้องสมุดไป่ตู้

e 屏幕坐标系： 屏幕坐标系也称为设备坐标系，它主要用于某 一特定的计算机图形显示设备(如光栅显示器)的 表面的点的定义。在多数情况下，对于每一个具 体的显示设备，都有一个单独的设备坐标系。 在定义了成像窗口的情况下，可进一步在屏幕 坐标系统中定义称为视区的有界区域，视区中的 成像即为实际所观察到的图形对象。换句话说， 在世界坐标系中要显示的区域称为窗口，而显示 器上相应的图形输出区域称为视区（或视口）。 将世界坐标系中的一部分区域中的场景映射到设 备坐标系的过程称为观察变换；将二维观察变换 简单地称为窗口到视区的变换，简称为窗视变换。
2.
3. 4.
第七章 图形变换
图 7.1
图形变换应用示例
7.1图形变换的数学基础
矢量
u x U u y u z
vx V v y vz
矢量和
u x vx U V u y v y u z vz

7.2窗口视图变换

建立目坐标系的主要作用有两个, 第一个是 用于指定裁剪空间, 确定三维立体的哪部分 要显示输出; 第二个是通过定义观察(投影) 平面, 把可显示部分的用户坐标变换成规格 化的设备坐标。 用户坐标与目坐标之间的 关系, 如图7.3所示。
7.2窗口视图变换
z z ye P x O h
7.2窗口视图变换
＋y 1 ＋x O 1 x y z 1
＋z
图 7.5 规格化设备坐标系(NDCS)
7.2窗口视图变换


以上介绍的坐标系均为三维坐标系 , 但在显示器 屏幕上或绘图机上 , 则要求用户定义一个平面。 较为简单方便的办法是使 z 坐标值取零。 因此在 三维直角坐标系中, xOy平面也可以看作是基本工 作平面。 任何不在 xOy 平面内的图形可以通过本 章介绍的图形变换来处理。 国际图形标准 GKS(Graphics Kernel System) 是图 形程序和各种图形输入/输出设备之间的一个标准 软件接口。 为便于图形程序的使用和对设备的处 理 , GKS 设置了三种坐标系 , 即世界坐标系 (WCS) 、 规范化设备坐标系 (NDCS) 和设备坐标系 (DCS) 。 它们之间的转换如图7.6所示。