实验W 万有引力定律测量-to学生 (1)

此在不知道地球质量的前提下,根本无法测量引力常量G （反之亦然）。

亨利·卡文迪许在1798年时找到了答案，当时他在实验室中做扭秤实验，用扭秤测量两个差不多大小的物体之间的万有引力。

他定义的G 值使得地球的质量和密度得以测量。

100多年前在更精确的仪器还没有被制造出来的情况下，卡文迪许的实验是很好的。

两质心距离大约46.5毫米（一个近似于重力扭秤的情况），质量为15克与1.5千克物块之间的万有引力大约是10
10
7-⨯牛顿。

如果这个不像是一个测得的微小量，那么仔细考虑一下这个小物块
的重力超过这个数量的两亿倍。

地球对于小物块的巨大吸引力相比对大物块吸引力，是最初导致测量引力常数成为一个艰巨任务的原因。

扭秤（由卡文迪许发明）提供了一个在实验中忽略地球引力这一压倒性影响的方法。

它还提供了一个足够精巧的力，能够平衡大小两物块之间微小的万有引力。

这一个力由扭曲一个非常薄的铍铜片而提供。

图 1: 顶视图
Light beam ：光束
Large mass Position I ：大物块位置I Large mass Position ∏：大物块位置∏ Mirror ：镜片 small mass ：小物体
如图1所示先放置大物块于位置I ，同时使扭秤平衡。

旋转支座保持大物块可以旋转，以便大物块旋转至位置II ，致使系统不平衡。

这将导致系统的产生旋转振荡，当光束照射镜子产生偏转时，观察光点在比例尺上的移动。

实验设置
预备设置：
1.在平台上放置好载物台，将桌子固定以便引力
扭称置于距离墙面或屏幕5米处。

为得到最佳结
果，使用非常坚固的桌子如光学实验用的桌子。

2.小心的将重力扭秤放置于载物台上。

3.通过移走螺钉来移动前夹板。

4.用螺钉固定透明塑料板
Pendulum chamber：摆室
Pendulum bob：摆锤
Aluminum plate：铝板
图2: 从实验箱中移走一块板
水平放置引力扭秤
1．松开箱子上的固定螺钉，释放固定装置上的摆，将固定装置下降到最低位置（如图3）。

图3: 降低锁紧装置，松开钟摆臂
Turn locking screws clockwise：将锁紧螺母顺时针方向
Locking machanisms：锁紧装置pendulum bob arm：摆锤臂
2．调整载物台底部的脚直到摆处于水平的中心位置（如图4）。

（摆的基座将显示为被一个光圈环绕的暗圆斑）。

3.确定扭秤方使得摆锤上的镜子距离屏幕或者墙壁至少
米远。

图4: 使用水平视线图5: 校准摆的高度
图4：
Side cutaway view：俯视剖视图torsion ribbon：扭力钢丝
torsion ribbon head：扭力钢丝头pendulum：摆morror：镜子Look through the sight to view the reflection of the pendulum bob in the mirror：通过视觉观察摆锤在镜子里反射
Pendulum bob must be centered over the mirror：摆锤在镜子里必须居中
图5：
Grasp the torsion ribbon head and loosen the Philips screw：抓住扭力钢丝头然后松开十字槽螺钉
The bottom of the pendulum bob should be flush with the floor of the chamber：摆锤的底部应该与摆室的地面齐平
带状头
十字槽螺钉
垂直调整钟摆
钟摆的基座应该与摆室内的地面齐平。

如果不是，调整摆的高度。

1.抓住扭力钢丝头部，松开十字槽螺钉（如图5a）。

2.通过上下移动扭力钢丝头部来调整钟摆高度使得钟摆的基座与摆室内的地面齐平（如图5b）。

3.拧紧固定（十字槽）螺钉。

摆锤臂的旋转对齐（零位调整）
摆锤臂必须置于载物盘旋转中心—与两边等
距（如图6）。

调整步骤如下：
1.用米尺测量摆与墙面或者其他反射面的距离至少5
米。

2.用铝板代替塑料板。

3.设置激光器位置使其从镜子反射回反射面（大约距离镜
子5米远）。

你需要对准激光使其斜向上射向镜子，这样
反射光就能落到反射面上（如图7）。

将会有一束微弱的
光线投射到玻璃窗面上。

图6: 调整旋转摆锤臂
Top，cutaway view：顶剖视图
The pendulum bob arm must be centered rotationally between the plates：摆锤臂必须在载物盘中心旋转Small mass：小物块Case plate：箱板
图7a: 设置光学水平
( 例举视图)
图7b: 设置光学水平
Top view ：顶视图
Reflected beam（from mirror）：镜面的反射光束laser：激光Screen with scale：带刻度的光屏
Side view：俯视图
零点调节翼形螺钉
零点调节旋钮
3.旋转对齐箱子直到激光束从玻璃窗面反射回来照射在米尺正中上（如图8）。

Location of the projected laser beam from the glass window：定位反射激光束来自于玻璃窗面
Location of the projected laser beam from the mirror：
定位反射激光束来自于镜子
图8: 理想的旋转对齐
4. 旋转对齐摆臂：
a. 旋转固定螺钉使固定装置上升至两个固定装置几乎碰到摆臂。

保持这个位置一会儿直到摆的振荡能量消失为止。

b. 小心缓慢降低固定装置使钟摆能自由摆动。

如果必要，重复阻尼实验消除摆锤的振荡能量。

c. 观察激光束在镜子中的反射。

在最佳的校直系统中，从镜子反射回来的激光束平衡点会与从箱体的玻璃表面反射回来的光束的下面垂直对齐（如图7）。

图9: 改善摆锤的旋转对齐
d.如果反射面上的光点（激光光束的反射）没有垂直对齐，松开零位调节翼形螺钉，缓慢转动零位调整旋钮来改善摆锤臂的旋转振荡对齐（如图9），然后等待直到摆运动停止或者几乎停止。

e.如果必要的话，重复步骤4a – 4c直到光点在反射面上垂直对齐。

5.完成旋转对齐后，小心拧紧零位调整翼形螺钉，避免系统震动。

实验的设置：
1. 精确测量镜子到反射面刻度上尺子零点的距离（L）（如图7）。

（镜子表面到玻璃窗户外面
的距离是11.4毫米）
注意: 在设置过程中避免碰撞仪器
图10: 扎牢接地线到接地螺钉
2.接地螺钉接上铜线（如图10）并接地。

3. 将大物块放置在支撑臂上，旋转支撑臂到位置I（如
图11），避免物块碰撞箱子。

4. 让摆停止摆动，保持平衡状态。

5. 你现在准备用三种方法中的一种进行测量：最后偏
转法，平衡法，或者加速度法。

注意: 摆可能需要几个小时才能达到静止平衡。

为
了缩减时间，缓慢升高固定装置（转动固定螺钉）来阻
碍摆的振荡，直到它碰到横梁，抓住钟摆几秒钟直到振
荡减幅，然后小心轻微地降低固定装置。

图11: 移动大物块至位置I
Light beam：光束large mass Position I：大物块位置I
Glass window：玻璃窗户Mirror：镜子
Small mass：小物块large mass Position ∏：大物块位置∏
实验步骤：
1. 当完成水平校准，对齐和设置操作后（大物块置于位置I），允许摆停止振荡。

2.打开激光器，观察位置I的最终平衡点几分钟以确定系统是否真的平衡。

尽可能精确地记录位置I
S），显示测量中任何随时间推移而变化的误差范围。

终点（1
3.小心旋转转动杆将大物块移动到位置II。

球体正好接触箱子，避免碰击箱子扰乱系统。

注意: 通过对大物块的两步操作可以减少时
间，使摆按要求移动到平衡点：首先移动大物
块和支撑臂到一个整个弧形的中间位置（如图
12），等到光束移动的足够远时进行下一步；
移动球体穿过第2个一半弧形直到大物块支持
臂正好接触到箱子。

移动支撑臂时要用尽量缓
慢流畅的动作进行操作，避免碰到箱子。

4. 将转动杆旋转到位置II后，立即观察光
点。

每隔15秒记录光点的位置（S）和时间
（t）。

继续记录位置和时间大约45分钟。

5. 旋转转动杆到位置I。

重复步骤4。

注意:尽管在步骤4后立即进行步骤5不是必
要的，但这是一个好主意，可以将两个测量之
间破坏系统平衡的风险最小化。

不建议等一天
后再进行步骤5。

图12: “两步走”步骤移
动大物块降低停止振荡的时间Intermediate position：中间位置
实验分析：
1. 绘制大物块分别在位置I 和位置II 时光点位置关于时间的图。

可以得到类似于图13所示的图。

图 13: 典型的显示摆振荡平衡点的图
2. 通过对相应图表进行分析推断得出每个结构的平衡点位置S1和S2（平衡点是发生振荡的中线）。

计算两平衡点的差值记录为S ∆。

3. 通过分析两幅图确定小物块系统的振荡周期。

每张图会有一个小的偏差结果。

求两个结果的平均值并记录为T 。

4. 将得到的结果代入公式1.9得到G 的值。

计算 G 的数值：
大物块在位置I 时（图14），大物块（1m ）与小物块（2m ）之间的引力F 由万有引力可得：
2
2
1b
m Gm F =
(1.1)
式中：b 是两物块质心间的距离。

图 14: 变量 b 和 d 的来源
两个小物块与其附近的大物块之间的引力对系统产生了一个合力矩(grav τ)：
Fd grav 2=τ (1.2)
式中：d 是钟摆摆锤水平臂的长度
由于系统是平衡的，扭矩带必须提供一个大小相等且方向相反的力矩。

这个力矩
(band τ)等于扭力带的扭力常数（K ）乘以扭曲角度（θ）：
θτk band -= (1.3)
组合公式1.1,1.2和1.3，并考虑到band grav ττ-=，得到下式：
2
2
12b m dGm k =
θ
重新变换方程得到G 的表达式：
2
12
2m dm b k G θ=
(1.4)
为了确定公式1.4中的未知量θ 和 k 的确定值，必须要通过观察在平衡被扰乱后小质量系统的振荡。

为破坏系统平衡（从S1），旋转支架开始转动，于是大物块移动到位置II 。

系统将随之振荡直到最终减慢并在一个新的平衡点（S2）停下来（如图15）。

图 15: 小质量振荡的曲线图
在新的平衡点S2，扭力钢丝仍然转过一个角度θ，但是与位置I 的转动方向相反，所以总的角度改变量为θ2。

代入计算的角度也应该是镜子中反射角的两倍（如图16）： 12S S S -=∆
L S
∆=
θ4 或 L S
4∆=θ (1.5)
图 16: 实验显示光学水平仪的图
扭力常数可通过观察振荡周期（T ），然后使用公式得到：
k
I T 22
4π=
(1.6)
式中：I 是小质量系统的转动惯量。

小质量中的镜子和支撑系统的转动惯量与其质
量相比可忽略不计，所以总的转动惯量可表示为：
(
)
2225
22r d m I +=
(1.7)
于是：
2
222
2528T r d m k +
=π
(1.8)
将公式1.5和1.8代入公式1.4 ，得到下式：
G=()
Ld
m T r d
Sb
12
2
2
2
2
52+∆π (1.9)
公式1.9中右边所有变量都已经知道或者测得： 式中：r = 9.55 mm ，d = 50 mm ，b = 46.5 mm ，
m 1 = 1.5 kg ，L = (如实验设置中的步骤1测量)
通过测量光点总的偏转(S ∆)和振荡周期（T ），G 的值也就确定了。

图 17: 已测得G 值的校准
5. 步骤4中计算得到的值从属于系统误差。

小球体不仅受到附近大球体的吸引，也受到
更远距离的大球体的吸引，尽管只是很小的一个力。

第二个力的几何图在图17中显示（矢量箭头与实际的力不符合）。

从图17中得到：
Φ=sin 0F f
()
2
/122
4sin d
b
b
+=
Φ
力0F 由万有引力定律得到，在本实验中：
(
)
2
21
204d
b m Gm F +=
同时又有一个与力F 方向相反的分量f ：
()()
F d
b
d
b
b
m Gm f β=++=
2
/122
2
2
1244
公式中定义了一个无量纲参数b ，b 等于f 与F 的比值。

利用公式
2
1
2b
m Gm F =
b 可以得到b 的结果为：
()
2
/322
3
4d
b
b b +=
由图17可得，。