理论力学第六章 运动学基础
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瞬时：时间间隔趋于零的一瞬间
第六章 点的运动学
主要研究内容 描述点运动的矢量法 描述点运动的直角坐标法 描述点运动的自然法
第六章 点的运动学
1.点的轨迹：点运动时，它在空间所走过的路线。 轨迹为为曲线时称该点作曲线运动 轨迹为直线时，称该点作直线运动
2.点的运动可以采用不同的坐标系进行描述。常用 的有：
1、动点在 t时间内的平均速度： v*= r/ t
A △s
△r
因为 t 是标量，故平均速
r(t) B
度 v*的方向与 r 的方向相同。
2、动点在瞬时t的瞬时速度 （速度）：
r(t+△t
o
)
x
v = lim r/ t = dr/dt
z
t→0
表明：即动点的速度等于动点的矢径对时间的一阶导数。
速度方向为所在点轨迹的切线方向，并指向质点前进的 一方。 在SI中，速度的单位为米/秒(m/s).
第一节 描述点运动的矢量法
• 三、用矢径表示点的加速度 加速度是表示点的速度对时间变化率的物理量。
(1)平均加速度: a*=v/t =[(v(t+t)-v(t)]/ t
(2)瞬时加速度(加速度): a=lim t→0v/t=dv/dt= d2r/dt2 在SI中加速度的单位为米/秒2 ( m/s2 )
系：取切线轴 t 沿轨迹在该点的切线，它的 n 正向指向轨迹的正向；取法向轴n沿轨迹在 （+）
该点的法线，它的正向指向轨迹的曲率中心。
t
这样建立的正交坐标系称为自然坐标轴系，
简称自然轴系。
如切向轴和法向轴的单位矢量分别用et和en表示，与直 角坐标系中i , j , k不同，et和en的方向随动点 M在轨迹 上的位置的变化而变化，是变矢量。动点的速度、加速
例6-1 某歼击机飞行员做俯冲飞行训练时，若其飞行曲线 AB近似一半径r=800m的圆弧，如图所示。己知在A点时的速 度v0=400km／h，到达B点时的速度v1=460km／h。所经历的 时间t=3s。若飞机由A到B位置是匀加速度运动，试求飞机在 B处时的全加速度。
第三节 描述点运动的自然法
• 当动点的运动轨迹已知时，应用自然坐标法求解点的 速度和加速度问题比较方便。
矢径r:用以确定动点P位置的矢
量
动点P在坐标系中的位置由矢径
z
r唯一的确定
r =r (t )
P
称为动点P矢量形式的
γ
运动方程，其矢端曲线即
ak r
称为动点的运动轨迹。
O βββ
ij
y
x
第一节 描述点运动的矢量法
二、用矢径表示点的速度
• 速度是表示点运动的快慢和方向的物理量。
设在时刻 t 质点在A处，它的
第三节 描述点运动的自然法
三、用自然坐标法表示点的加速度
a=d v/ dt=d( v e t)/ dt = e t d v / dt+ v det / dt
x轴和y轴对时间的一阶导数，即
速度
α—υ与x轴之间所夹的锐角，
υ的方向由υ x和υ y的正负号决定
第二节 描述点运动的直角坐标法
III. 加速度
动点的加速度沿直角坐标轴的两个分量ax和ay的大小,等于 其相应的速度分量的大小对时间的一阶导数，等于其相应 的坐标对时间的二阶导数，即
加速度
第二节 描述点运动的直角坐标法
自然坐标法：动点轨迹已知时的运动分析； 直角坐标法：动点轨迹未知时的运动分析； 矢量法：主要用于理论推导；
3.研究点的运动就是要研究点的运动方程、速度和 加速度。
§5－1 点的运动学
解：因飞机做匀加速圆弧运动，则aτ=常数，且v=vo+aτt
飞机在B点处的全加速度为
第一节 描述点运动的矢量法
• 一、用失径表示点的运动方程
第二篇
运动学
引言
运动学是从几何的角度来研究物体的机械运动，即研究物体的位置 随时间的变化，而不考虑物体运动变化的物理原因(即物体所受的力 和物体的质量)。 运动：指物体在空间的位置随时间的变化 参考体：要描述物体位置以及它的运动,必须选取另一个物体作为 参考,这个用作参考的物体称为参考体
参考系：在参考体上固结的坐标系称为参考系 点：指不计大小和质量，但在空间占有确定位置的几何点 刚体：指由无数点组成的不变形系统 时间间隔：对应于物体在不停顿的运动中从某一位置移动到另 一位置所经历的时间
矢径为 r (t)，经过△t时间该质 点在B 处,此时矢径为 r(t+△t)，则质点在△t 时间内位置矢量的变化量△r 称为质点 的位移矢量、简称位移。
图中所示曲线 AB 的长度称为质点经 过的路程 s，它是标量。
y A △s △r r(t) B
r(t+△t)
o
x
zwk.baidu.com
第一节 描述点运动的矢量法
y
一、用弧坐标表示点的运动方程
当动点M沿轨迹运动时，它的位置
随着时间而变化，即弧长s是时间t 的单值连续函数，可表示为
z
（+）
M
s=f(t) 上式称为动点
O1
沿已知轨迹的运动方程
O
（-）
y
x
第三节 描述点运动的自然法
自然轴系
（-） O1
动点M沿已知平面轨迹AB运动。在轨迹上
M
与动点M相重合的一个点处建立一个坐标
切向，并指向弧坐标的正向，故
lim r/ s= et, 而lim s/ t=ds/dt
t→0
t→0
第三节 描述点运动的自然法
故而 v=et d s/d t
表明：速度在法向轴上的投影为零；在切向轴上 的投影，即为速度的大小，等于点的弧坐标对时 间的一阶导数。
v=d s/d t
当d s/d t大于零时，速度v与et同向 ；反之，反向。
度在自然坐标轴系上的投影称为自然坐标。
第三节 描述点运动的自然法
二、用自然坐标法表示点的速度
v = lim r/ t t→0
分子、分母同时乘以△s, 可得：
v = lim r s / t s= lim r/ s lim s/ t
t→0
t→0 t→0
当 t→0 时， r/ s 的大小趋于1。方向趋近于轨迹的
第二节 描述点运动的直角坐标法
用直角坐标法求点的速度、加速度
点的运动轨迹为未知，则应采用直角坐标法。
I. 运动方程
设点M在平面内作曲线运动,建立直角坐标系xoy（如图），
则点M在任一瞬时的位置可由坐标x、y来确定。点的运动
方程为：
点的轨迹方程
第二节 描述点运动的直角坐标法
II. 速度
动点的速度沿直角坐标轴的两个分量vx和vy分别等于坐标轴
第六章 点的运动学
主要研究内容 描述点运动的矢量法 描述点运动的直角坐标法 描述点运动的自然法
第六章 点的运动学
1.点的轨迹：点运动时，它在空间所走过的路线。 轨迹为为曲线时称该点作曲线运动 轨迹为直线时，称该点作直线运动
2.点的运动可以采用不同的坐标系进行描述。常用 的有：
1、动点在 t时间内的平均速度： v*= r/ t
A △s
△r
因为 t 是标量，故平均速
r(t) B
度 v*的方向与 r 的方向相同。
2、动点在瞬时t的瞬时速度 （速度）：
r(t+△t
o
)
x
v = lim r/ t = dr/dt
z
t→0
表明：即动点的速度等于动点的矢径对时间的一阶导数。
速度方向为所在点轨迹的切线方向，并指向质点前进的 一方。 在SI中，速度的单位为米/秒(m/s).
第一节 描述点运动的矢量法
• 三、用矢径表示点的加速度 加速度是表示点的速度对时间变化率的物理量。
(1)平均加速度: a*=v/t =[(v(t+t)-v(t)]/ t
(2)瞬时加速度(加速度): a=lim t→0v/t=dv/dt= d2r/dt2 在SI中加速度的单位为米/秒2 ( m/s2 )
系：取切线轴 t 沿轨迹在该点的切线，它的 n 正向指向轨迹的正向；取法向轴n沿轨迹在 （+）
该点的法线，它的正向指向轨迹的曲率中心。
t
这样建立的正交坐标系称为自然坐标轴系，
简称自然轴系。
如切向轴和法向轴的单位矢量分别用et和en表示，与直 角坐标系中i , j , k不同，et和en的方向随动点 M在轨迹 上的位置的变化而变化，是变矢量。动点的速度、加速
例6-1 某歼击机飞行员做俯冲飞行训练时，若其飞行曲线 AB近似一半径r=800m的圆弧，如图所示。己知在A点时的速 度v0=400km／h，到达B点时的速度v1=460km／h。所经历的 时间t=3s。若飞机由A到B位置是匀加速度运动，试求飞机在 B处时的全加速度。
第三节 描述点运动的自然法
• 当动点的运动轨迹已知时，应用自然坐标法求解点的 速度和加速度问题比较方便。
矢径r:用以确定动点P位置的矢
量
动点P在坐标系中的位置由矢径
z
r唯一的确定
r =r (t )
P
称为动点P矢量形式的
γ
运动方程，其矢端曲线即
ak r
称为动点的运动轨迹。
O βββ
ij
y
x
第一节 描述点运动的矢量法
二、用矢径表示点的速度
• 速度是表示点运动的快慢和方向的物理量。
设在时刻 t 质点在A处，它的
第三节 描述点运动的自然法
三、用自然坐标法表示点的加速度
a=d v/ dt=d( v e t)/ dt = e t d v / dt+ v det / dt
x轴和y轴对时间的一阶导数，即
速度
α—υ与x轴之间所夹的锐角，
υ的方向由υ x和υ y的正负号决定
第二节 描述点运动的直角坐标法
III. 加速度
动点的加速度沿直角坐标轴的两个分量ax和ay的大小,等于 其相应的速度分量的大小对时间的一阶导数，等于其相应 的坐标对时间的二阶导数，即
加速度
第二节 描述点运动的直角坐标法
自然坐标法：动点轨迹已知时的运动分析； 直角坐标法：动点轨迹未知时的运动分析； 矢量法：主要用于理论推导；
3.研究点的运动就是要研究点的运动方程、速度和 加速度。
§5－1 点的运动学
解：因飞机做匀加速圆弧运动，则aτ=常数，且v=vo+aτt
飞机在B点处的全加速度为
第一节 描述点运动的矢量法
• 一、用失径表示点的运动方程
第二篇
运动学
引言
运动学是从几何的角度来研究物体的机械运动，即研究物体的位置 随时间的变化，而不考虑物体运动变化的物理原因(即物体所受的力 和物体的质量)。 运动：指物体在空间的位置随时间的变化 参考体：要描述物体位置以及它的运动,必须选取另一个物体作为 参考,这个用作参考的物体称为参考体
参考系：在参考体上固结的坐标系称为参考系 点：指不计大小和质量，但在空间占有确定位置的几何点 刚体：指由无数点组成的不变形系统 时间间隔：对应于物体在不停顿的运动中从某一位置移动到另 一位置所经历的时间
矢径为 r (t)，经过△t时间该质 点在B 处,此时矢径为 r(t+△t)，则质点在△t 时间内位置矢量的变化量△r 称为质点 的位移矢量、简称位移。
图中所示曲线 AB 的长度称为质点经 过的路程 s，它是标量。
y A △s △r r(t) B
r(t+△t)
o
x
zwk.baidu.com
第一节 描述点运动的矢量法
y
一、用弧坐标表示点的运动方程
当动点M沿轨迹运动时，它的位置
随着时间而变化，即弧长s是时间t 的单值连续函数，可表示为
z
（+）
M
s=f(t) 上式称为动点
O1
沿已知轨迹的运动方程
O
（-）
y
x
第三节 描述点运动的自然法
自然轴系
（-） O1
动点M沿已知平面轨迹AB运动。在轨迹上
M
与动点M相重合的一个点处建立一个坐标
切向，并指向弧坐标的正向，故
lim r/ s= et, 而lim s/ t=ds/dt
t→0
t→0
第三节 描述点运动的自然法
故而 v=et d s/d t
表明：速度在法向轴上的投影为零；在切向轴上 的投影，即为速度的大小，等于点的弧坐标对时 间的一阶导数。
v=d s/d t
当d s/d t大于零时，速度v与et同向 ；反之，反向。
度在自然坐标轴系上的投影称为自然坐标。
第三节 描述点运动的自然法
二、用自然坐标法表示点的速度
v = lim r/ t t→0
分子、分母同时乘以△s, 可得：
v = lim r s / t s= lim r/ s lim s/ t
t→0
t→0 t→0
当 t→0 时， r/ s 的大小趋于1。方向趋近于轨迹的
第二节 描述点运动的直角坐标法
用直角坐标法求点的速度、加速度
点的运动轨迹为未知，则应采用直角坐标法。
I. 运动方程
设点M在平面内作曲线运动,建立直角坐标系xoy（如图），
则点M在任一瞬时的位置可由坐标x、y来确定。点的运动
方程为：
点的轨迹方程
第二节 描述点运动的直角坐标法
II. 速度
动点的速度沿直角坐标轴的两个分量vx和vy分别等于坐标轴