2.1 静电场的散度与 旋度

4πε 0
∫
V
ρ ( x′) [ −4πδ
(x
−
x′)] dV
′
∫ = 1 ρ(x′)δ (x − x′)dV ′
ε0 V
=1ρ ε0
δ（x
−
x′）=
⎧0 ⎩⎨∞
(x′ ≠ x) (x′ = x)
∫V
δ
(
x
−
x′)dV
′
=
⎧0 ⎨⎩1
x ∉V′ x ∈V ′
静电场的环路定理
真空中，静电场的环流：
∫ ∫ E ⋅ dl = L
由于S面选取是任意的：
∇×E = 0
静电场是无旋场
电势
无旋场必可以表示为标量场的梯度
若∇ × E = 0 则E可以表示为ϕ的梯度
B
定义电势为：
∫r
V(r ) = E ⋅ dl ∞
A,B两点的电势差为：
A
B
A
V(B) − V( A) = −∫∞ E ⋅ dl + ∫∞ E ⋅ dl
B
= −∫A E ⋅ dl
空间任一点的 E 散度仅仅决定于该点的电荷密度, 而与其他点的电荷分布无关，反映静电场和源的 局域关系。
ρ > 0, ∇ ⋅ E > 0 该点有电力线发出
ρ < 0, ∇ ⋅ E < 0 该点有电力线汇聚
ρ = 0, ∇ ⋅ E = 0 该点无源，电力线连续通过该点
静电场是有源场，电荷是电场的源
∫ 已知：
量、能流并讨论电磁能量的传输。
库仑定律
F
=
qQr
4πε 0r 3
ε0
=
8.85 ×10−12
C2 N im2
F
q
r
Q
ε0
在真空中，两个静止的点电荷q,Q之间相互作用力
的大小与它们的带电量乘积成正比，和它们之间距 离r的平方成反比，作用力的方向沿着它们的连线， 同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
电场
L
q
4πε 0
r r3
⋅ dl
∫ = q r ⋅ dl
4πε0 L r3
∫ = q rdl cosθ
4πε0 L r3
∫ ∫ = q
4πε 0
L
rdr r3
=
q
4πε 0
L
d
⎛ ⎜⎝
1 r
⎞ ⎟⎠
=0
静电场的环路定理
∫S E ⋅ dl = 0
应用斯托克斯公式：
∫S ∇ × E ⋅ dS = ∫L E ⋅ dl = 0
静电场的散度和旋度
汪毅
本章重点、难点及主要内容简介
本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定 律及一些假设总结出麦克斯韦方程。 本章难点：介质的极化和磁化、电磁场的边值关 系、电磁场能量与能流。
主要内容： 总结出静电场、稳恒电场中的磁场方程； 找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场能
E = −∇ϕ
无旋场
无旋场处处满足∇ × F = 0;
∫b F ⋅ dl的值仅依赖于起点和终点，不依赖于路径 a
∫ F ⋅ dl的积分为零
F可以表示为标量场的梯度
电荷Q均匀分布在半径为a的球体内，求各点的 电场强度，并由此直接计算电场散度
解 作半径为r的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面 上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当 时，球面 所围的总电荷为Q，由高斯定理得：
E ⋅ dS =
S
i =1
Ei ⋅ dS
=
n i =1
⎛1
⎜ ⎝
ε
0
qi
⎞ ⎟ ⎠
静电场的高斯定理
真空中，静电场的高斯定理：
∫ ∫ ΦE =
E ⋅ dS = 1 ρdV
S
ε0 V
应用高斯公式：
∫ ∫ ∇ ⋅EdV = 1 ρdV
V
ε0 V
由于V的取值是任意的，得到：
∇⋅E = ρ ε0
静电场散度的意义
∫ E ⋅ dS = 4π r2E = Q
ε0
因而：
E
=
Qr
4πε 0 r 3
(r > a)
若高斯面半径小于r，包围电荷大小为：
4 π r3ρ = 4 π r3 Q = Qr3
3
3
4 π a3 a3
3
再由高斯定理：
∫ E ⋅ dS = 4π r2E = Qr3
ε0a3
电场强度为：
E
=
Qr
4πε 0 a 3
(r < a)
当r>a
∇⋅E
=
Q
4πε 0
∇⋅ r r3
=
0
(r > a)
当r<a
∇
⋅
E
=
Q
4πε 0 a3
∇
⋅r
=
3Q
4πε 0 a3
= ρ . (r < a)
ε0
E(x)
=
1
4πε 0
V
ρ ( x′)
r3
百度文库
rdV ′
对上式两边取散度
∫ ∇
⋅
E(x)
=
1
4πε 0
V
∇
⋅
ρ ( x′)r
r3
dV
′
∫ = 1 ρ(x′)∇ ⋅ r dV ′
δ ( x − x′) = − 1 ∇2 1 4πε0 V
r3
∫ 4π
r
=−
1
ρ(x′)∇2 1 dV ′
4πε0 V
r
=
−
1
E
=
F q
=
Qr
4πε 0r 3
E
q
r
Q
ε0
电场中任意点的电场强度E等于静止于该点的单位
正检验电荷所受的电场力。它的方向沿正试验电荷 受力的方向，大小与检验电荷无关。
电场的叠加原理
∑ ∑ E =
n Qi
i=1 4πε0
ri ri3
=
n
Ei
i =1
电荷系在空间某点产生的电 场强度等于组成该电荷系的 各点电荷单独存在时在该点
产生的场强的矢量和。
E(x)
=
∫V
ρ ( x′)
4πε 0
r r3
dV ′
P dE
r
dQ
静电场的高斯定理-点电荷
∫S
E
⋅ dS
=
∫S
1
4πε 0
⎛ ⎜⎝
q r3
r
⎞ ⎟⎠
⋅
(
r
sinθ dθ dϕr
)
=
q
4πε 0
∫∫
sin θ
dθ
dϕ
= q 4π 4πε 0
=q
ε0
电场的叠加原理：
∫ ∑( ∫ ) ∑ n