7.2.4诱导公式教学设计

7.2.4《诱导公式》教学设计

本节主要内容是三角函数的诱导公式，其推导过程中涉及到对称变换，充分体现对称变换思想在数学中的应用。诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及特殊位置的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用。

重点：推导出六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数； 难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．

1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35

，则cos α＝________. 答案：－45

2．已知sin α＝513

，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝________. 答案：－512

3．若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α

＋cos 2α＝________. 解析：sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝165

. 答案：165

4．化简：cos 4α＋sin

2

αcos

2

α＋sin 2α＝________.

解析：cos 4α＋sin 2αcos 2α＋sin 2α＝cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＋sin 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.

答案：1

知识点一函数名不变

诱导公式一

思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？

答案它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．

梳理诱导公式一

sin(α＋k·2π)＝sin α，

cos(α＋k·2π)＝cosα，

tan(α＋k·2π)＝tan α，

其中k∈Z.

诱导公式二

思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cosα，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？

答案角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二

诱导公式三

思考角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cosα，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？

答案角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：

诱导公式三

sin(π－α)＝sin α，

cos(π－α)＝－cos α，

tan(π－α)＝－tan α.

诱导公式四

思考 角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P 1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P (cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？

答案 角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P 1与P 也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：

诱导公式四

sin （π＋α）＝－sin α，

cos （π＋α）＝－cos α，

tan （π＋α）＝tan α.

梳理 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：

2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．

知识点二函数名改变

角α的终边与角π2

－α的终边关于y=x 对称。（见课本P31，） 诱导公式五

sin ⎝⎛⎭

⎫π2－α＝cos α， cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α，

诱导公式六

思考 能否利用已有公式得出π2

＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？ 答案 以－α代替公式五中的α得到

sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos(－α)，cos ⎝⎛⎭

⎫α＋π2＝sin(－α)． 由此可得

诱导公式六

sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭

⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭

⎫32π＋α＝sin α. 诱导公式五～六记忆规律：

“函数名改变，符号看象限”

典型例题

类型一 利用诱导公式求值

命题角度1 给角求值问题

例1 求下列各三角函数式的值：

(1)cos 210°；(2)sin 11π4

；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－43π6；(4)cos(－1 920°)． 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－32

. (2)sin 11π4

＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋3π4 ＝sin 3π4

＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π4 ＝sin π4＝22

. (3)sin ⎝⎛⎭⎫－43π6＝－sin ⎝

⎛⎭⎫6π＋7π6 ＝－sin 7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12

. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°

＝cos(5×360°＋120°)

＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12

. 总结 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

(1)“负化正”：用公式一或三来转化．

(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．

(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．

(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．

变式： 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2

，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝

⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝

⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.

命题角度2 给值求值或给值求角问题

例2 (1)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2

，则θ等于( ) A ．－π6 B ．－π3 C.π6 D.π3

答案 D

解析 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2

， 可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π2

， 即tan θ＝3，|θ|<π2，∴θ＝π3

. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭

⎫α－π6的值． 解 因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦

⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33

， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝23

， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33

. 总结 (1)解决条件求值问题的策略

①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及