2mxt-不定方程整数解个数”模型应用

例谈“不定方程整数解个数”模型应用

在排列组合中，我们利用挡板法可以得到方程x 1+x 2+x 3+…+x k =n (n 为正整数)的正整数解个数为1

1--k n C ;这一知识点在各类联赛或各省市的预赛中正频繁的出现，的确此模型的应用较广泛、灵活，特别是从一般试题中挖掘出此类命题的“庐山真面目”需有较强的功底。下面选取几例典型的试题供参考。

一．模型的直接应用

例1.（2010全国联赛） 方程x + y + z = 2010满足x ≤ y ≤ z 的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 _______ .

解：首先易知x + y + z = 2010的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C 把x + y + z = 2010满足x ≤ y ≤ z 的正整数解分为三类：

（1）x , y , z 均相等的正整数解的个数显然为1；

（2）x , y , z 中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；

(3)设x , y , z 两两均不相等的正整数解为k .易知 1+ 3⋅1003 + 6k = 2009×1004， 6k = 2009×1004 - 3×1003 -1解得k = 335671. 从而满足x ≤ y ≤ z 的正整数解的个数为1+1003 + 335671 = 336675

例2. (04全国联赛)一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于n 2，则算过关。问：

（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？

（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？

（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）

解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。

（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而45642,652⨯>⨯<，因此，当5n ≥时，n 次出现的点数之和大于2n 已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。 （Ⅱ）设事件n A 为“第n 关过关失败”，则对立事件n A 为“第n 关过关成功”。 第n 关游戏中，基本事件总数为6n

个。

第1关：事件1A 所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况）， ∴过此关的概率为：1122()1()163

P A P A =-=-=。 第2关：事件2A 所含基本事件数为方程x y a +=当a 分别取2，3，4时的正整数解组数之

和。即有1111231236C C C ++=++=（个）。

∴过此关的概率为：22265()1()166P A P A =-=-=。 第3关：事件3A 所含基本事件为方程x y z a ++=当a 分别取3，4，5，6，7，8时的正整

数解组数之和。即有22222223456713610152156C C C C C C +++++=+++++=（个）。

∴过此关的概率为：3335620()1()1627

P A P A =-=-=。 故连过前三关的概率为：1232520100()()()3627243P A P A P A ⨯⨯=⨯⨯=。

二.模型的等价转化

若研究方程x 1+x 2+x 3+…+x k =n (且x 1≥1,x 2≥2,…,x k ≥k,)的正整数解的问题？换元法：令)1(--=k x y k k ,则转化为y 1+y 2+y 3+…+y k =n-(1+2+3+…+k-1),又转为求正整数解的个数问题. 若研究方程x 1+x 2+x 3+…+x k =n (n 为正整数) 非负整数解个数问题，可令1+=k k x y ,则转化为y 1+y 2+y 3+…+y k =n+k 的正整数解的个数问题为11--+k k n C (或n

k n C 1-+).

例3.(05全国联赛)若自然数a 的各位数字之和为7，则称a 是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a 1、a 2、a 3…，若a n =2005，则a 5n =______。

解：Θ方程x 1+x 2+x 3+…+x k =m 的非负整数解的个数为m k m C 1-+,而使)2(0,11≥≥≥i x x i 的整数解个数为12--+m k m C ,现取m=7，可知k 位“吉祥数”的个数为P(k)=65+k C . Θ2005是形如abc 2的数中最小的一个“吉祥数”，且P （1）=166=C ，P （2）=767=C ，P （3）=2868=C ，对于四位“吉祥数” abc 1，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解的个数，即286136=-+C ,∴2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”

，即a 65=2005,5n=325.又P （4）=846

9=C ，P （5）=210610=C ，而330)(5

1=∑=k k P ,∴从大到小最后六个五位“吉祥数”

是：70000，61000，60100，60010，60001，52000. ∴第325个“吉祥数”是52000,即a 5n =52000.

例4. (05浙江省预赛)在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？

解：设20个岗位按先后排序为1，2，，… ，20，且设第k 种新式武器设置的序号为k a

)5,4,3,2,1(=k 。令11a x =，122a a x -=，233a a x -=，344a a x -=，455a a x -=，

5620a x -=，则有20654321=+++++x x x x x x 其中52≤≤k x )5,4,3,2,1(=k ，416≤≤x 。

作代换 1-=k k x y )5,4,3,2,1(=k ，66x y =，从而有 15654321=+++++y y y y y y 其中41≤≤k y )6,5,4,3,2,1(=k 。

设I 为15654321=+++++y y y y y y 的正整数解的全体，k A 为I 中k y 满足4>k y 的解的全体。则

∑∑<===+-=-=k j k j k k k k k k A A A I A I A 6

1616

1Y I 上式成立的原因是φ=k j i A A A ，因为没有同时满足4>i y ，4>j y ，4>k y 的

15

61=∑=k k y 的正整数组。所以58090151220026562651051461

=+-=+-==C C C C A k k I .

因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于

69600!5580=⨯。

三．活用挡扳法

有时研究问题可能要考虑需要几块挡扳，我们可以把其转化为两个原理（加法原理与乘法原理）解决。

例5.小明有10颗糖（不可辨），每天至少吃一颗，直至吃完，那么有多少种吃法？ 解：问题正面分类，考虑分几天吃，问题转化为10个方程的正整数解的个数问题，答案为n C C C C C 29939291909=+++++Λ.转化考虑方式，即10颗糖排成一列，每两颗之间加一挡扳，则分为两天，不加挡扳即在一天吃完。因此问题转化为九个间隔位置上是否加挡扳。即吃法有N=29。