相似原理及量纲分析

（4-4） （4-5） （4-6）
第一节 流动的力学相似
体积流量比例尺:
CqV
q'V qV
l'3 t'
l3 t
Cl3 Ct
Cl 2CV
（4-7）
运动粘度比例尺:
Cv
v' v
l'2 t'
l2 t
Cl 2 Ct
ClCv
（4-8）
第一节 流动的力学相似
三. 动力相似（时间相似）
定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应 瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一 致、大小互成比例，即它们的动力场相似。
F'l' Fl
CFCl
Cl3Cv2C
压强（应力）比例尺:
Fp '
Cp
p' p
A' Fp
CF CA
Cv2C
A
功率比例尺:
CP
P' P
F ' v' Fv
CF Cv
Cl 2Cv3C
（4-11） （4-12） （4-13）
动力粘度比例尺:
C
'
' '
C C
ClCvC
（4-14）
有了模型与原型的密度比例尺，长 度比例尺和速度比例尺，就可由它
d Cld 0.67.5 4.（5 cm） v' Clv 1.667 12.5 20.8（3 m s）
l' Cll 0.610 6.（0 m）
第四节 近似模拟试验
以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体 流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条 件是几何相似、运动相似和动力相似。
（c
则弹性力之比
带入式(4-15)
得：
Cv Cc
1
（4-32）
Ma 称为马赫数，
或:
v' v c' c
（4-33）
它是惯性力与弹性 力的比值。
令:
v Ma （4-34）
c
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦
即然。Ma这' M就a是弹性力；相反似之准亦则然（。马这赫准就则是）弹。性力相似准则（马赫
若取 Cl
l l
1 10
时， Cv1
v v
10 ，Cv2
v v
1 3.16
这就使得二者发生矛
盾，故不能选用同种介质。
3
当令 Cv1 Cv2 时，则有： C Cl2
取
Cl
1 10
时，C
1 31.6
，这个比例也是很难办到的，如选
用 20℃的水气比拟， 气 15 106 (m2 / s) ， 水 1106 (m2 / s) ，于是
Re
Re ，
vl
vl
或
v v
l l
Cv1
C Cl
Fr
v2
Fr ， gl
v2 g l
或
Cv22 ClCg Cv2
ClCg
在重力场中做试验， g g 即 Cg 1
则有：
Cv1 C Cl1 ， Cv2 Cl
当选用相同的流动介质，即 ，C 1
， Cv1 Cl1 Cv2 Cl
令:
v Fr
gl
1 2
（4-20）
当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之 亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。
重力场中 g' g, Cg 1
则：
， Cv
Leabharlann BaiduCl
1 2
（a）
二、粘性力相似准
则
将粘性力之比CF CClCv
得C： CvCl C 1
CvCl Cv 1
（4-21）
或: 'v'l' vl
图4-3 动力场相似
第一节 流动的力学相似
力的比例尺：
CF
Fp ' Fp
F 't Ft
W' W
FI ' FI
又由牛顿定律可知：
（4-9）
' l'3 v'
CF
t' l 3 v C Cl2Cv2
t
（4-10）
其中： C
'
为流体的密度比例尺。
第一节 流动的力学相似
力矩（功，能）比例尺:
CM
M' M
图4-4 油池模型
【解】按长度比例尺得模型输出管内径
d'
Cl d
250 5
5（0 mm）
在重力场中 g' g ，由弗劳德数相等可得模型内液体的流速
和流量为
v'
h'
1
2
v
1
1
2
v
h
5
q'V
d '2
v'
d
2
1
1
4
45 5
2 v 1 5 5
2
qV
0.14 0.002（5 m3 55.9
们确定所有动力学量的比例尺。
第二节 动力相似准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。
由式 (4-10) 得:
或: 令:
CF 1
C
C
2 l
C
2 v
F' F
'l'2 v'2 l 2v2 F Ne
l2v2
（4-15）
（4-16） （4-17）
Ne 称为牛顿数， 它是作用力与惯 性力的比值。
【解】 要保证二流动相似，它们的雷诺数和韦伯数必 须相等，即
'v'l' vl '
'v'2 l' v2l '
或
CvCl 1
Cv2Cl C
故有
0.07348 Cv C 0.04409 1.667
Cl 1 Cv 1 1.667 0.6
另一流束的出口直径，流速和破裂成雾滴的距离分别为
s）
由雷诺数相等可得模型内液体的运动粘度为
v'
v' d '
v
1
3
2 v 7.5105
6.70810（6 m2
s）
vd 5
11.18
油池的最小油深为
hmin
h'min Cl
5 50 25（0 mm）
【例 4-2】密度和动力粘度相等的两种液体从几何相似的喷 嘴中喷出。一种液体的表面张力为 0.04409N/m，出口流束直径 为 7.5cm，流速为 12.5m/s，在离喷嘴 10m 处破裂成雾滴；另一 液体的表面张力为 0.07348N/m。如果二流动相似，另一液体的 出口流束直径、流速、破裂成雾滴的距离应多大？
第一节 流动的力学相似
面积比例尺:
CA
A' A
l'2 l2
Cl 2
（4-2）
体积比例尺:
CV
V' V
l'3 l3
Cl3
（4-3）
满足上述条件，流 动才能几何相似
图4-1 几何相似
第一节 流动的力学相似
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例
前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满 足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到 原型设备中去。
但是，要做到流动完全相似是很难办到（甚至是根本办不 到）的。比如，对于粘性不可压缩流体定常流动，尽管只有两 个定性准则，即 Re 和 Fr（ Eu f Re, Fr——非定性准则），但是 要想同时满足 Re Re, Fr Fr ,常常也是非常困难的。因为：
相等，即它们的速度场（加速度场）相似。
图4-2速度场相似
第一节 流动的力学相似
时间比例尺:
Ct
t '1 t1
t '2 t2
t '3 t3
速度比例尺:
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
加速度比例尺:
Ca
a' a
v' t'
v t
Cv Ct
Cv2 Cl
注：长度比例尺和速度比例尺 确定所有运动学量的比例尺。
五、表面张力相似准则（韦伯准则）
六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）
一、重力相似准则
将
重 力 CF
W' W
'V ' g' Vg
CCl3Cg
比
带入式ClCC(vg41-2 151 )得：（4-18）
Fr称为弗劳德数，
或: v' v
g
'
l
'
1 2
gl
1 2
（4-19）
它是惯性力与重力 的比值。
C
1 15
，也根本达不到要求。不过，若没有其它办法时，此方法
有时也可采用。如降低水的运动粘度，即对模型中的流动介质加
温。若取 60℃的水作模型中流动介质，可有 0.477 106 (m2 / s) ，
'
v'l' vl （4-22） '
令:
vl vl Re
（4-23）
带入式(4-15)
Re 称为雷诺数， 它是惯性力与粘 性力的比值。
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。
模 型 与 原 型 用 同C C一 1 种 流 体
时，
，则：
Sr 称为斯特劳哈尔 数，它是当地惯性力与迁 移惯性力的比值。
当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，
即 Sr' Sr ；反之亦然。这就是非定常相似准则（斯特劳哈
尔准则）。
第二节 动力相似准则
以上给出的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉 数、柯西数、马赫数、韦伯数、斯特劳哈尔数均称 为相似准则数。
准则）。
五、表面张力相似准则
将
表
面C F
带入式(4-15)得:
F ' F
张 'l'
l C Cl
力
之
比
C Cl
C
2 v
C
1
（4-35）
或: 'v'2 l' v2l '
（4-36）
We 称为韦伯数， 它是惯性力与表面
张力的比值。
令:
v 2l We
（4-37）
当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，
当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等， 即 Ne' Ne ；反之亦然。这就是牛顿相似准则。
第二节 动力相似准则
流场中有各种性质的力，但不论是哪种力， 只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似 准则。
一、重力相似准则（弗劳德准则）
二、粘性力相似准则（雷诺准则）
三、压力相似准则（欧拉准则）
四、弹性力相似准则(柯西准则)
即 We' We
；反之亦然。这就是表面张力相似准则（韦伯
准则）。
六、非定常性相似准则
将带入式(4惯-15)C得F ：FF'IItt
性 'VV'vvx'x
t' t
力 C Cl 3CvCt 1
之
比
Cl 1
（4-38）
CvCt
或:
l' l v't' vt
令:
l Sr vt
（4-39） （4-40）
• 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件；
• 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。
第三节 流动相似条件
模型实验主要解决的问题 ：
• 1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质；
• 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； • 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程
描述动力特征的
如质量力、表面力、动量等
几何 相似
运动 相似
动力 相似
流应
动
满 足
相
的 条
似件
第一节 流动的力学相似
一. 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线形长度的 比值为一定常数 。
L' L
l' l
h' h
Cl
（4-1）
以上标“ ＇”表 示模型的有关量
Cl :长度比例尺（相似比例常数）
Cv
1 Cl
（b）
三、压力相似准则
将带入式(4-C1F5)压得FF' ：pp'AA' C pCl 2 力
Cp 1 C Cv2
（4-24）
Eu
比
称为欧拉数，
或:
p' p
'v'2 v 2
（4-25）
它是总压力与惯性 力的比值。
令:
p Eu
v 2
（4-26）
当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦 然。这就是压力相似准则（欧拉准则）。
式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动 中去。
【例 4-1】 如图 4-4 所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油时， 因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管。需要通过模型 实 验 确 定 油 面 开 始 出 现 旋 涡 的 最 小 油 深 hmin 。 已 知 输 油 管 内 径 d=250mm，油的流量 qv=0.14m3/s，运动粘度 7.5 105 m2 s 。倘若选 取的长度比例尺 C1 1 5，为了保证流动相似，模型输出管的内径、模 型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上测得 h'min 50mm ， 油池的最小油深 hmin 应等于多少？
工程流体力学
第四章 相似原理与量纲分
析
第四章 相似原理与量纲分析
解决流体 力学问题 的方法
数学分析 实验研究
模型实验
以相似原理为基础
本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。
第一节 流动的力学相似
表征
流动
按性 质分
过程
的物
理量
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
当压强用压差代替：
欧拉数:
p Eu
v 2
欧拉相似准则: p' p
'v'2 v 2
（4-27） （4-28）
四、弹性力相似准则（柯西准则）
将带入式(4弹-15C)F 得 FF：'ee
d性p' A'
dpA
K ' A'dV KA dV
' V力'
V
CkCl 2
之
比
C
C
2 v
Ck
1
（4-29）
Ca 称为柯西数，它
如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该 方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是 令方程中的有关力与惯性力相比。
第三节 流动相似条件
流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。
相似流动必然满足以下条件：
• 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；
或:
'v'2 v 2
（4-30）
K' K
是惯性力与弹性力 的比值。
令: v2 Ca （4-31）
K
当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，
即C'a Ca
；反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西
准则）。
四、弹性力相似准则（马赫准则）
若流场中的流体为气体，由于 K c2
为声速）
CF Cc2CCl 2