第二章 误差分布与精度指标讲解

P( k x k )
1
2
k k exp
t 2
2
dt

2
2
k 0
exp
t2 2
dt
§2-2 正态分布 二、N 维正态分布
服从N维正态分布的随机向量 X ( x1, x2 ,, xn )T
的概率密度函数是：
f (X)
离散型 连续型

D(x) [xi E(x)]2 pi i 1

D(x) [x E(x)]2 f (x)dx
§2-1 随机变量的数字特征
三、协方差
xy {[ X E(X )][Y E(Y )]}
四、相关系数
xy x y
§2-2 正态分布
§2-3 偶然误差的规律性
二、偶然误差的规律特性
前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性， 即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一 定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从 无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分 布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。
一、一维正态分布
f(x)

1
2
exp

(
x 2 2
)2

x
其中 和 是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯
分布。对一维随机变量服从参数为的正态分布，一般记为
x～N（ ）。

E( x ) f ( x )xdx
D( x ) E x E( x )2 f ( x )x E( x )2 dx 2
0 0.4 0.6 0.8
所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1
闭合差
§2-3 偶然误差的规律性
0.063 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0.000
Δ为正值
个数 vi
频率vi / n
46
0.128
41
0.115
33
0.092
21
0.059
16
0.045
13
0.036
5
0.014
2
0.006
0
0.000
177
0.495
vi/ n d
0.064 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0.000
[] —n —
=0
E() E(E(L) L) E(L) E(L) 0
§2-3 偶然误差的规律性
三、偶然误差的表示方法
1.表格法：见上页 2.直方图： 3.误差分布曲线：
(K/n)/d△
面积= [(K/n)/d△]* d△=
K/n
概率密度函数曲线
-0.8 -0.6 -0.4
1 E(x1 )
E(
X
)


2

n



E(x2
E(xn
) )



X
DXX E X E( X )X E( X )T

2 x1


x2x1

xnx1
x1x2 2
§2-2 正态分布
一维正态随机变量出现在给定区间
内的概率是：
( k , k )
P( k x k )
k
f (x)dx
1
k
2
k k
exp

(
x
E(
2 2
x))2
dx
t x
第二章 误差分布与精度指标
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性
衡量精度的指标 精度、准确度与精确度
测量不确定度
§2-1 随机变量的数字特征
一、数学期望
离散型

E(x) xi pi i 1
连续型

E(x) xf (x)dx
二、方差
_
D(x) E{[ x E(x)]2}
x2

xn x2
x1xn

x2xn



2 xn

§2-3 偶然误差的规律性
一、真值与真误差
1.真值
任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小 的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常用 L~ 表示真值。
2.真误差
设 进 行 了 n 次 观 测 ， 各 观 测 值 为 L1 、 L2 、 … 、 Ln ， 真 值
备注
d
=0.02″
偶然误差的特性：
1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝 对值不会超过一定的界限；
2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 的次数多；
3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；
4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近
于零，
n
i
即nLim—in=1 —=
Lim
n
DXX
1
1 2
2

n 2
exp 1 X
2
X
D T 1 XX
X

X



E(X )
f ( X ) XdX

X
D(X ) E X E(X )2


f (X)

X
E(X )
2 dX

DXX
§2-2 正态分布
为 L~1、 L~2 L~n，每一个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数，
称为真误差，即：
i L~i Li
用向量表示：
L~
n ,1
L~1
L~2
...
L~n T
L
n,1
L1
L2
...
Ln T

n,1
1
2
...
n T
L~ L E(L) L
，，
0.60-0.80 0.80-1.00 1.00-1.20 1.20-1.40 1.40-1.60 1.60以上
和
Δ为负值
个数v i
频率vi/n
45 0.126
40 0.112
33 0.092
23 0.064
17 0.047
13 0.036
6
0.017
4
0.011
0
0.000
181 0.505
vi/ n d
在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，由于观 测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值180º。各个 三角形内角和的真误差：

i 180 (L1 L2 L3)i
将计算的真误差按大小和符号列于下表：
§2-3 偶然误差的规律性
误差的 区间″
0.00-0.20 0.20-0.40 0.40-0.60