4-数理方程与特殊函数-第一章第三章

边界受力已知
边界流入 热量已知
说明：
1、在整个边界面上，各点的边界条件并不一定能有统一的表达式， 也不见得同属一种类型； 2、无界空间的问题-边界条件应当给出未知函数在无穷远处的极 限行为，例如 函数乃至它的导数在无穷远处有界 3、在有界空间的问题中，有时也要出现有界条件.例如采用极坐 标系、柱坐标系或球坐标系时， 偏微商∂u/∂r在坐标原点失去意 义。 因而需要针对具体情况，在坐标原点补充上有界条件。
第四讲
11
第四讲
12
解的叠加性
方程名称
波动方程 热传导方程 稳定场方程 Poisson方程
数学物理方程与特殊函数
解的叠加性
数学物理方程与特殊函数
方程形式
2u a 2 2 u f 2 t
线性算符L
• 把线性偏微分方程统一写成算符形式 L[u] = f • 其中，u 未知函数 L 线性算符 f己知函数，称为方程的非齐次项 • 具有非齐次项的偏微分方程称为非齐次偏微分方程 • 如果f≡0，方程就是齐次的
t dt
T u( x , t ) u( x , t ) g 2 t 2 x
2 2
2 u( x , t ) T 2 u( x , t ) a , a2 2 2 t x 2
2
一维波动方程
第四讲
三类典型的数学物理方程
方程名称
波动方程
数学物理方程与特殊函数
稳定场问题的边界条件
1
2 u( x , t ) u( x,t ) u( x,t ) T g dxdt t dt t dxdt 2 t x t t 2 t dt u( x,t ) dxdt t t 2 t dt 2 u( x , t ) 2 u( x,t ) 2u T g dt 0 g t x 2 t 2 x 2
第四讲
17
若u1和u2都是非齐次方程L[u] = f 的解 L [ u 1 ] = f1 L [ u 2 ] = f2 则它们的线性组合c1u1 + c2u2满足非齐次方程 L[c1u1 + c2u2] = c1f1 +c2f2 其中c1和c2是任意常数
第四讲
18
Outline
数学物理方程与特殊函数
13
u a 2 2 u f t
L a 2 2 t
2 L 2 a 2 2 t
u=f
2
L
2
线性性质:L[α1u1 +α2u2] = α1L[u1] + α2L[u2]
第四讲
第四讲
14
解的叠加性 偏微分方程的解
数学物理方程与特殊函数
解的叠加性 解的叠加性之一
其中c1(y)和c2(y)是任意函数 • 又如，偏微分方程
,
u(x, y) = c1(y) + xc2(y)
通解就是
其中c1(x)和c2(y)是任意函数
第四讲
19
u(x, y) = c1(x) + c2(y)
第四讲
20
简单线性偏微分方程定解
u xy x 2 y 2 u ( x, 0) x , u (1, y ) cos y
波动过程
( x0 , y0 , z0 )
Dirichlet条件
热传导方程
ut a 2 uxx 输运过程， ut a2 (uxx uyy ) f0 (x, y,t) 如热传导、扩散、 抛物型方程 ut a2(uxx uyy uzz ) f0 (x, y,z, t) 粘性液体流动等
第四讲
15
若ui（i=1,2,3,…)是方程L(u)=0的解，而且级数 Ciui 收敛，并且对自变量能够逐项微分两 次，其中Ci(i =1,2,…)为任意常数，则u一定是方程 L(u)=0的解---叠加原理。 这是后面分离变量法的出发点。
第四讲
16
解的叠加性 解的叠加性之二
数学物理方程与特殊函数
解的叠加性 解的叠加性三
u u n
S
数学物理方程与特殊函数
热传导方程
边界温度已知
边界类型
第一类边界 条件 第二类边界 条件 第二类边界 条件
形式
f
u s f (S ,t )
u f ( s,t ) n S u 0 n S
如果边界条件中的f=0，则称其为齐次边界条件，否则称为非齐次 边界条件。
线性偏微分方程解的基本性质
• 解的可叠加性 • 线性偏微分方程的通解
线性偏微分方程解的基本性质
• 解的可叠加性 • 线性偏微分方程的通解
无界弦上波的传播
• 一维齐次波动方程的通解 • d’ALambert解法:行波解
无界弦上波的传播
• 一维齐次波动方程的通解 • d’ALambert解法:行波解
数学物理方程与特殊函数
弦的横振动方程-动量定理 动量定理 F t=m
数学物理方程与特殊函数
T(x+dx)
由动量定理 可得
T(x)
u( x dx , t ) u( x , t ) T gdx x x
垂直方向受力
第四讲
2 u( x , t ) g dx T 2 x
数学物理方程与特殊函数
线性偏微分方程的通解 二维Laplace方程的通解
数学物理方程与特殊函数
2u 2u 0 x 2 y 2
2u u u xy ( ) x2 y 0 xy x y
u x y g1 ( y ) y 3
3
作变换 ξ = x + iy, η = x − iy
5
边界自由
边界绝热
边界有外 加弹性力
第四讲
边界按Newton 第三类边界 冷却定律散热 条件
第四讲
6
定解问题的适定性
数学物理方程与特殊函数
有界弦的一维横振动定解问题
数学物理方程与特殊函数
定解问题解的存在性，唯一性和稳定性，统称定解 问题的适定性
★ 只要对实际物理问题的抽象是合理的: ★ 初始条件的确是完全地、确定地描写了初始时刻(通 常取为t=0)体系向部以及边界面上任意一点的状况 ★ 边界条件的确是完全而且确定地描写了边界面上任意 一点在t≥0的状况 ★ 这样构成的定解问题就一定是适定的，也就是说，解 一定是存在的、唯一的，并且是稳定的
数学物理方程与特殊函数
如果函数u使方程L[u]=f 恒成立，则称u是方程L[u]=f 的解
解的叠加性之一 若u1和u2都是齐次方程L[u] = 0的解 L[ u 1 ] = 0 L[ u 2 ] = 0 则它们的线性组合c1u1 + c2u2也是齐次方程的解 L[c1u1 + c2u2] = 0 其中c1和c2是任意常数
线性偏微分方程的通解
数学物理方程与特殊函数
线性偏微分方程解的基本性质
• 解的可叠加性 • 线性偏微分方程的通解
• 二阶常微分方程的通解中含有两个任意常数 • 二阶偏微分方程的通解，含有两个任意函数
• 例如，偏微分方程
,
通解就是
无界弦上波的传播
• 一维齐次波动方程的通解 • d’ALambert解法:行波解
数学物理方程与特殊函数
物理过程
(弦、杆、膜、气体等）
数学分类
方程形式
2
• 直接给出所研究的物理量在边界面上的变化规律
u ( x, y , z )


utt a uxx 2 u a ( uxx u yy ) f 0 (x, y,t) 高频传输线方程 双曲型方程 tt 2 utt a (uxx uyy uzz ) f0 (x, y,z, t) 电磁振荡
u u u u u x x x u u u u u i y y y 2u u u 2u 2u 2u ( ) 2 x 2 x 2 2 2u u u 2u 2u 2u i ( ) ( 2 ) y 2 y 2 2
给出所研究的物理量沿边界面外法向的变化率
u ( x, y, z ) n

( x0 , y0 , z0 )
Neuman条件
稳定场方程 Poisson方程 Laplace方程 Helmholtz方程
第四讲
2u 描述稳恒过程， 如静电学、静磁 2 椭圆型方程 u=0 学、直流电场、 2 稳定热场等等。 ( x, y,z ) k 2 ( x, y,z ) 0
第四讲
7
第四讲
8
数学物理方程与特殊函数
参考书目
数学物理方程与特殊函数
王元明，《数学物理方程与特殊函数》§3.1
第三章 行波法与积分变换法（一）
北京理工大学 光电学院 数学物理方程课程组 王庆
梁昆淼， 《数学物理方法》 §7.3
第四讲
9
第四讲
10
Outline
数学物理方程与特殊函数
Outline
数学物理方程与特殊函数
3


给出所研究的物理量及其沿边界面外法向的变化率
(h u ( x, y, z ) u ( x, y, z )) n

( x0 , y0 , z0 )
Robin条件
4
求解这三类方程，将是本课程的中心任务！
第四讲
总结-三类边界条件
波动方程
边界位移已知
数学物理方程与特殊函数
边界条件的分类
数学物理方程与特殊函数
若u1和u2都是非齐次方程L[u]=f 的解 L[ u 2 ] = f L[ u 1 ] = f 则它们的差u1 − u2一定是相应的齐次方程的解 L[ u 1 − u 2 ] = 0 非齐次方程的一个特解加上相应齐次方程的解仍 是非齐次方程的解 非齐次方程的通解 =非齐次方程的任一特解 +相应齐次方程的通解
弦的横振动方程-动量定理 弦的受力情况分析 只考虑弦本身的张力和重力影响 水平方向 T' cos T cos 0 T ' T 垂直方பைடு நூலகம் T' sin T sin gds
u( x , t ) x u( x dx , t ) sin x sin
u u u u u x x x
无界域 波动方程 （波动方程初值问题）
u
x y f ( x) g( y ) 6
3
2
第四讲
f (1) g(0) 1 f ( x) g(0) x 2 y 2 f (1) g( y ) cos y 6 y2 f ( x) g(0) f (1) g( y ) x 2 cos y 6 y2 y2 f ( x) g( y ) x 2 cos y (g(0) f (1)) x 2 cos y 1 6 6 x3 y 2 y2 2 u x cos y 1 21 6 6
二维Laplace方程通解为
u f ( ) g( ) 其中f ，g 为任意函数
即 u ( x, y ) f ( x iy ) g( x-iy )
第四讲
23
第四讲
24
思考？
数学物理方程与特殊函数
Outline
数学物理方程与特殊函数
• 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是 化为一阶线性常微分方程组的求解问题 • 对于二阶或更高阶的偏微分方程定解问题?
第四讲
22
线性偏微分方程的通解 二维Laplace方程的通解
数学物理方程与特殊函数
线性偏微分方程的解
数学物理方程与特殊函数
2u 2u 0 x 2 y 2
作变换 ξ = x + iy, η = x − iy
二维Laplace方程化简为
u 0
2
能否由偏微分方程的通解出发来求解 整个偏微分方程定解问题的解？
线性偏微分方程解的基本性质
• 解的可叠加性 • 线性偏微分方程的通解
无界弦上波的传播
• 一维齐次波动方程的通解 • d’ALambert解法:行波解
第四讲
25
第四讲
26
一维齐次波动方程的通解 • 研究对象
数学物理方程与特殊函数
一维齐次波动方程
的通解
数学物理方程与特殊函数
作变换 ξ = x + at, η = x − at 仅考虑初始条件