高中数学 《数学归纳法证明不等式》 新人教A版选修4-5
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若 k 1 个正数 a1 , a2 , , ak , ak1 都相等,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个 正数 a1, a2 , , ak , ak1 不全 相等,则 其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 akak1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 .
（立2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx 当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1 =(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x． 因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x． 这根就据是(1说)和，(原2)不，等原式不当等n式=k对+1任时何也不成小立于．2的自然数n都成立
⑵设当 n k(k ≥1) 时,不等式成立,即有 sin k ≤ k sin . 那么,当 n k 1 时,
sin(k 1) =
思考 1：证明贝努利不等式 如果 x 是实数，且 x 1， x 0， n 为大于
1 的自然数，那么有 (1 x)n 1 nx .
注：事实上，把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立.
数学归纳法证明不等式
复习引入
练习答案
思考1
思考2
作业:课本 P54 6 题
数学归纳法证明不等式
数学归纳法:
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以
采用下面方法来证明其正确性：
1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的 n的值，如n0＝1) (归纳奠基） ；
2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也
.
思考 2 证明:如果 n(n 为正整数)个正数 a1 , a2 , , an 的 乘积 a1a2 an 1 ,那么它们的和a1 a2 an ≥ n .
注：这一命题与均值不等式是等价的.
你能根据上面不等式推出均值不等式吗？
1答案
2答案
思考 2 证明:如果 n(n 为正整数)个正数 a1 , a2 , , an 的 乘积 a1a2 an 1 ,那么它们的和a1 a2 an ≥ n .
成立(归纳递推）.
用上假设，递推才真
由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！
注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
证明:⑴当 n 1时,上式左边 sin 右边,不等式成立.
答案接上见课本(或见板书)
课外训练:
1.求证:12 1 23 1 2 n 1 22n 1(n N ,n ≥ 2 ).
2.当 n≥ 2时,求证: 1 1 1 1 n
23
n
3.用 数学 归纳 法证 明 : An 5n 2 3n1 1(n N * ) 能被 8 整除.
作业:课本 P54 6 题
2 . k
则当n=k+1时,
11 1 1
11
1 2 2 3 2 k 2 (k 1 )2 2 k (k 1 )2
1 1 1 1 111 1
2 k (k 1 ) 2 2 k k (k 1 ) 2 k (k k 1 ) 2 k 1 .
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 nN,n≥2都成立.
证明:⑴当 n 1时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数
a1,a2, ,ak 的乘积 a1a2 ak 1 ,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 , , ak , ak1 满 足 a1a2 akak1 1 .
当 是实数Baidu Nhomakorabea且 或 0 时,有(1 x) ≥1 x (x 1) 当 是实数,且 0 1时,有(1 x) ≤1 x (x 1)
证明贝努利不等式你有第二种方法吗？
答案
例4、已知x> 1，且x0，nN*，n≥2． 求证：(1+x)n>1+nx.
证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2 ∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成
答案
明天开始复习不等式(使用发的资料).
1.求证:12 1 23 1 2 n 1 22n 1(n N ,n ≥ 2 ).
证:(1)当n=1时,左边= 1
1 22
5 ,右边=
4
2
1 2
3 2
,由于
(2)假54 设 n32 =, 故k( 不k等N式,k成≥ 立2).时命题成立,即
11
1
1
12232 k2
若这 k 1 个 正数 a1, a2 , , ak , ak1 不全 相等,则 其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 akak1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 .
（立2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx 当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1 =(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x． 因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x． 这根就据是(1说)和，(原2)不，等原式不当等n式=k对+1任时何也不成小立于．2的自然数n都成立
⑵设当 n k(k ≥1) 时,不等式成立,即有 sin k ≤ k sin . 那么,当 n k 1 时,
sin(k 1) =
思考 1：证明贝努利不等式 如果 x 是实数，且 x 1， x 0， n 为大于
1 的自然数，那么有 (1 x)n 1 nx .
注：事实上，把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立.
数学归纳法证明不等式
复习引入
练习答案
思考1
思考2
作业:课本 P54 6 题
数学归纳法证明不等式
数学归纳法:
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以
采用下面方法来证明其正确性：
1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的 n的值，如n0＝1) (归纳奠基） ；
2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也
.
思考 2 证明:如果 n(n 为正整数)个正数 a1 , a2 , , an 的 乘积 a1a2 an 1 ,那么它们的和a1 a2 an ≥ n .
注：这一命题与均值不等式是等价的.
你能根据上面不等式推出均值不等式吗？
1答案
2答案
思考 2 证明:如果 n(n 为正整数)个正数 a1 , a2 , , an 的 乘积 a1a2 an 1 ,那么它们的和a1 a2 an ≥ n .
成立(归纳递推）.
用上假设，递推才真
由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！
注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
证明:⑴当 n 1时,上式左边 sin 右边,不等式成立.
答案接上见课本(或见板书)
课外训练:
1.求证:12 1 23 1 2 n 1 22n 1(n N ,n ≥ 2 ).
2.当 n≥ 2时,求证: 1 1 1 1 n
23
n
3.用 数学 归纳 法证 明 : An 5n 2 3n1 1(n N * ) 能被 8 整除.
作业:课本 P54 6 题
2 . k
则当n=k+1时,
11 1 1
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1 2 2 3 2 k 2 (k 1 )2 2 k (k 1 )2
1 1 1 1 111 1
2 k (k 1 ) 2 2 k k (k 1 ) 2 k (k k 1 ) 2 k 1 .
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 nN,n≥2都成立.
证明:⑴当 n 1时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数
a1,a2, ,ak 的乘积 a1a2 ak 1 ,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 , , ak , ak1 满 足 a1a2 akak1 1 .
当 是实数Baidu Nhomakorabea且 或 0 时,有(1 x) ≥1 x (x 1) 当 是实数,且 0 1时,有(1 x) ≤1 x (x 1)
证明贝努利不等式你有第二种方法吗？
答案
例4、已知x> 1，且x0，nN*，n≥2． 求证：(1+x)n>1+nx.
证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2 ∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成
答案
明天开始复习不等式(使用发的资料).
1.求证:12 1 23 1 2 n 1 22n 1(n N ,n ≥ 2 ).
证:(1)当n=1时,左边= 1
1 22
5 ,右边=
4
2
1 2
3 2
,由于
(2)假54 设 n32 =, 故k( 不k等N式,k成≥ 立2).时命题成立,即
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12232 k2