2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答1

2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题
1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2
的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.取决于a 的值
2. 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ） A.Z c b a ∈==,2,1
B.B b C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500
=+=
C.0
60,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D.060,1,3===A b a
3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2
=-=，下列说法中正确的有（ ） A.)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线
B.存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行
C. )(),(x g x f 有且只有一个交点
D. )(),(x g x f 有且只有两个交点
4. 过抛物线x y 42
=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点.下列说法中正确的有（ ）
A.以线段AB 为直径的圆与直线2
3
-=x 一定相离 B. ||AB 的最小值为4 C. ||AB 的最小值为2
D.以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切
5. 已知21,F F 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点.下列说
法中正确的有（ ）
A.b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个
B. b a 2>
时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个
C.21F PF ∆的周长小于a 4
D. 21F PF ∆的面积小于等于2
2
a
6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7. 已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N .以下说法正确的有（ ）A.P B M O ,,,四点共圆 B. N B M A ,,,四点共圆 C. N P O A ,,,四点共圆 D.以上三个说法均不对
8.C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 9.已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程
2
1
111=++z y x 的解的组数为（ ） A.8 B.10 C.11 D.12
10.集合},,,{21n a a a A =，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
11.已知0
121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ） A.3tan tan tan tan tan tan =++αγγββα
B.3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββα
C.
3tan tan tan tan tan tan =++γβαγ
βα
D. 3tan tan tan tan tan tan -=++γ
βαγ
βα
12.已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值与最小值的
乘积属于区间（ ）
A.)12,11(
B.)13,12(
C.)14,13(
D.)15,14(
13.已知1,1,,,2
22=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A.xyz 的最大值为0 B. xyz 的最大值为27
4- C. z 的最大值为32 D. z 的最小值为3
1-
14.数列}{n a 满足)(6,2,1*
1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中
正确的有（ ）
A.n n n a a a 22
1++-为定值 B.)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n a C.741-+n n a a 为完全平方数 D.781-+n n a a 为完全平方数
15. 若复数z 满足11
=+
z
z ，则z 可以取到的值有（ ） A.
21 B.2
1
- C.215- D.
2
1
5+
16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若为正多边形的个数为（ ）
A.6552
B.4536
C.3528
D.2016
17.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 2
1
:,21:21-==，过椭圆上一点P 作
21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点.若||MN 为定值，则
=b
a
（ ） A.2 B.3 C.2 D.5
18. 关于y x ,的不定方程y
x 21652=+的正整数解的组数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序.记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种，则（ ）
A.22=I
B.123=I
C.964=I
D.1205=I
20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：
表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲获冠军的概率是 . .
21.在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1.设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线
CP AB ,的距离为y .则=∞
→y x lim .
22.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 114
1
,21,==，则四面体OEBF 的体积为 . 23.
=+-⎰
-dx x x n n )sin 1()(220
12π
π .
.
24.实数y x ,满足2
2
3
22
4)(y x y x =+，则2
2y x +的最大值为 .
25.z y x ,,均为非负实数，满足4
27
)2
3()1()2
1(2
2
2=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 .
26.若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则
=+μλ .
27.已知复数3
2sin
32cos ππi z +=，则=+++2223
z z z z .
28.已知z 为非零复数，
z
z 40
,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .
29.若334tan =
x ，则=+++x
x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin . .
30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法.
31.设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 .
2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题解答
1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2
的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.取决于a 的值 答案：注意)()(/x g e x f x
=，答案C .
2. 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ） A.Z c b a ∈==,2,1
B.B b C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500
=+=
C.0
60,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D.060,1,3===
A b a
答案：对于选项A ，由于b a c b a +<<-||，于是c 有唯一取值2，符合题意；
对于选项B ，由正弦定理，有22
22b ac c a =+
+，可得0135,2
2
cos =-
=B B ，无解； 对于选项C ，条件即0)sin(cos =-C B A ，于是)60,60,60(),60,30,90(),,(0
=C B A ，不符合题意；
对于选项D ，由正弦定理，有2
1sin =B ，又0
60=A ，于是0090,30==C B ，符合题意. 答案：AD .
3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2
=-=，下列说法中正确的有（ ） A.)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线
B.存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行
C. )(),(x g x f 有且只有一个交点
D. )(),(x g x f 有且只有两个交点
答案：注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线， 如图，因此答案BD .
4. 过抛物线x y 42
=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点.下列说
法中正确的有（ ）
A.以线段AB 为直径的圆与直线2
3
-=x 一定相离 B. ||AB 的最小值为4 C. ||AB 的最小值为2
D.以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 答案：对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为
||2
1
|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线2
3
-=x 一定相离；
对于选项B,C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||2
2
++=a a AB ，最小值为4.
也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值； 对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||2
1
BM 不一定相等，因此命题错误. 答案：AB .
5. 已知21,F F 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点.下列说
法中正确的有（ ） A.b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B. b a 2>
时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个
C.21F PF ∆的周长小于a 4
D. 21F PF ∆的面积小于等于2
2
a
答案：对于选项A,B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点； 对于选项C ，21PF F ∆的周长为a c a 422<+；
对于选项D ，21PF F ∆的面积为2
2
212
121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤∠⋅. 答案：ABCD .
6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；
乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD .
7. 已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N .以下说法正确的有（ ）A.P B M O ,,,四点共圆 B. N B M A ,,,四点共圆 C. N P O A ,,,四点共圆 D.以上三个说法均不对
答案：对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；
对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意； 对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得. 答案：AC.
8.C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 答案：必要性：由于1cos sin )2
sin(
sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π
,
类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ， 于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++. 不充分性：当4
,2
π
π
=
==C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形.
答案：B.
9.已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程
2
1
111=++z y x 的解的组数为（ ） A.8 B.10 C.11 D.12 答案：由于
x
z y x 3
11121≤++=，故63≤≤x . 若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ；
若5=x ，则
6,5,3
20
,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ； 若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y . 答案：B .
10.集合},,,{21n a a a A =，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
答案：不妨假设n a a a >>> 21，若集合A 中的正数的个数大于等于4，由于32a a +和
42a a +均大于2a ，于是有14232a a a a a =+=+，从而43a a =，矛盾！所以集合A 中至多
有3个正数.同理可知集合A 中最多有3个负数.
取}3,2,1,0,1,2,3{---=A ，满足题意，所以n 的最大值为7.答案B . 11.已知0
121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ） A.3tan tan tan tan tan tan =++αγγββα B.3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββα
C.
3tan tan tan tan tan tan =++γβαγ
βα
D.
3tan tan tan tan tan tan -=++γ
βαγ
βα
答案：令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则
3111=+-=+-=+-zx
z
x yz y z xy x y ，
所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，
以上三式相加，即有3-=++zx yz xy .
类似地，有
)11
(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zx
x z yz z y xy y x ， 以上三式相加，即有3111-=++=++xyz
z
y x zx yz xy . 答案BD.
12.已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414++++
+c b a 的最大值与最小值的
乘积属于区间（ ）
A.)12,11(
B.)13,12(
C.)14,13(
D.)15,14( 答案：设函数14)(+=
x x f ，则其导函数1
42
)(/+=
x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=
x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,4
1
(-和)7,23
(的割线7
174+=
x y ，如图， 于是可得
321
)31(7212147
174+
-≤+≤+x x x ， 左侧等号当41-
=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31
=x 时取得.因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当2
3
,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值
与最小值的乘积为)169,144(37∈.答案B .
13.已知1,1,,,2
2
2
=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A.xyz 的最大值为0 B. xyz 的最大值为27
4
- C. z 的最大值为
32 D. z 的最小值为3
1- 答案：由1,12
2
2
=++=++z y x z y x 可得0=++zx yz xy .设c xyz =，则z y x ,,是关于
t 的方程023=--c t t 的三个根.令c t t t f --=23)(，则利用导数可得
⎪⎩⎪
⎨⎧≤--=>-=0274
)3
2(0
)0(c f c f ，所以0274≤=≤-xyz c ，等号显然可以取到.故选项A,B 都对. 因为)1(2)(2)1()(2
2222z y x z y x -=+≤-=+，所以13
1
≤≤-z ，等号显然可以取到，故选项C 错误.
答案ABD .
14.数列}{n a 满足)(6,2,1*
1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中
正确的有（ ）
A.n n n a a a 22
1++-为定值 B.)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n a C.741-+n n a a 为完全平方数 D.781-+n n a a 为完全平方数
答案：因为2
112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a
n n n n n n n a a a a a a a 22
121122)6(++++++-=+-=.
所以A 选项正确；
由于113=a ，故76)6(2
121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ， 又对任意正整数恒成立，所以2
11211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，
故选项C,D 正确.
计算前几个数可判断选项B 错误. 答案：ACD .
说明：若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12，则n n n a a a 22
1++-为定值. 15. 若复数z 满足11
=+
z
z ，则z 可以取到的值有（ ） A.
21 B.2
1
- C.215- D.
2
1
5+ 答案：因为11
||1||=+≤-
z
z z z ，故
215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 2
1
5-=
时取得.答案CD . 16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若为正多边形的个数为（ ）
A.6552
B.4536
C.3528
D.2016
答案：从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k
2016
个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008.
考虑到73220162
5
⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为
352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++.答案C .
17.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 2
1
:,21:21-==，过椭圆上一点P 作
21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点.若||MN 为定值，则
=b
a
（ ） A.2 B.3 C.2 D.5
答案：设点),(00y x P ，可得)2
1
41,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++， 故意2
020441||y x MN +=
为定值，所以2,164
1422===b a b a ，答案：C .
说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则
k
b a 1=； （2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆.
18. 关于y x ,的不定方程y
x 21652=+的正整数解的组数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
答案：方程两边同时模3，可得)3(mod 22y
x ≡，因y
2不能被3整除，故2x 不能被3整除，
所以)3(mod 12
≡x ，故)3(mod 12≡y
，所以y 为偶数，可设)(2*
N m m y ∈=，则有
4153615)2)(2(⨯⨯==+-x x m
m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,1232,52x x m m 即⎩
⎨⎧==.12,59y x 答案：B .
19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序.记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种，则（ ）
A.22=I
B.123=I
C.964=I
D.1205=I 答案：根据卡特兰数的定义，可得1
121221)!1(!1------=⋅=
=n n n n n
n n n C n n C n
A C I .答案：A
B . 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.
20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：
表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲获冠军的概率是 .
答案：根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯.
21.在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1.设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线
CP AB ,的距离为y .则=∞
→y x lim .
答案：当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为2
3. 22.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 114
1
,21,==，则四面体OEBF 的体积为 .
答案：如图，
EBF G EBF O OEBF V V V --==2
1
96
1
161212111=
⋅==--B BCC E GBF E V V . 23.
=+-⎰
-dx x x n n )sin 1()(220
12π
π .
答案：根据题意，有
0)sin 1()sin 1()
(212220
1
2=+=+-⎰⎰
---dx x x dx x x n n n
n π
π
π
π.
24.实数y x ,满足2
2
3
22
4)(y x y x =+，则2
2y x +的最大值为 .
答案：根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是12
2≤+y x ，等号当2
1
2
2=
=y x 时取得，因此所求最大值为1.
25.z y x ,,均为非负实数，满足4
27
)2
3()1()2
1(2
2
2=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 .
答案：由柯西不等式可知，当且仅当)0,2
1,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值2
3. 根据题意，有4
13322
2
2
=
+++++z y x z y x ， 于是
,)(3)(4
13
2y z y x z y x +++++≤解得2322-≥
++z y x . 于是z y x ++的最小值当)2322,
0,0(),(-=yz x 时取得，为2
3
22-. 26.若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则
=+μλ .
答案：根据奔驰定理，有3
29492=+=
+μλ. 27.已知复数3
2sin
32cos ππi z +=，则=+++2223
z z z z . 答案：根据题意，有i i z z z z z z 2
3
2135sin 35cos 1222
23
-=+=-=+=+++ππ. 28.已知z 为非零复数，
z
z 40
,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .
答案：设),(R y x yi x z ∈+=，由于2
||4040z z z =，于是⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102
222y x y y x x y x 如图，弓形面积为
1003
100)6sin 6(20212-=-⋅⋅π
ππ， 四边形ABCD 的面积为
100310010)10310(2
1
2-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003
200)1003100()1003100(2-+=-+-π
π.
29.若334tan =
x ，则=+++x
x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin . 答案：根据题意，有
x
x
x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +
++ 38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x .
30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法.
答案：首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有2
4C 种选择. 下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填空一个偶数，设为b a ,.
情形一：若b a ,位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定；
情形二：若b a ,位于不同的行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有
2种选择.
所以偶数的不是位置数为90)263(2
4=⋅+C .
因此，总的填法数为441000904
8488=C C .
31.设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 .
答案：一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*
≤≤∈k N k .不妨假设k a a a <<< 21. 若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a .同理
759≥-a a .又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k .
另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意. 综上所述，A 中元素个数的最大值为8.。