2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答1

2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题

1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2

的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.取决于a 的值

2. 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ） A.Z c b a ∈==,2,1

B.B b C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500

=+=

C.0

60,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D.060,1,3===A b a

3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2

=-=，下列说法中正确的有（ ） A.)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线

B.存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行

C. )(),(x g x f 有且只有一个交点

D. )(),(x g x f 有且只有两个交点

4. 过抛物线x y 42

=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点.下列说法中正确的有（ ）

A.以线段AB 为直径的圆与直线2

3

-=x 一定相离 B. ||AB 的最小值为4 C. ||AB 的最小值为2

D.以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切

5. 已知21,F F 是椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点.下列说

法中正确的有（ ）

A.b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个

B. b a 2>

时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个

C.21F PF ∆的周长小于a 4

D. 21F PF ∆的面积小于等于2

2

a

6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对.

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

7. 已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N .以下说法正确的有（ ）A.P B M O ,,,四点共圆 B. N B M A ,,,四点共圆 C. N P O A ,,,四点共圆 D.以上三个说法均不对

8.C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 9.已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程

2

1

111=++z y x 的解的组数为（ ） A.8 B.10 C.11 D.12

10.集合},,,{21n a a a A =，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9

11.已知0

121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ） A.3tan tan tan tan tan tan =++αγγββα

B.3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββα

C.

3tan tan tan tan tan tan =++γβαγ

βα

D. 3tan tan tan tan tan tan -=++γ

βαγ

βα

12.已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值与最小值的

乘积属于区间（ ）

A.)12,11(

B.)13,12(

C.)14,13(

D.)15,14(

13.已知1,1,,,2

22=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A.xyz 的最大值为0 B. xyz 的最大值为27

4- C. z 的最大值为32 D. z 的最小值为3

1-

14.数列}{n a 满足)(6,2,1*

1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中

正确的有（ ）

A.n n n a a a 22

1++-为定值 B.)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n a C.741-+n n a a 为完全平方数 D.781-+n n a a 为完全平方数

15. 若复数z 满足11

=+

z

z ，则z 可以取到的值有（ ） A.

21 B.2

1

- C.215- D.

2

1

5+

16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若为正多边形的个数为（ ）

A.6552

B.4536

C.3528

D.2016

17.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 2

1

:,21:21-==，过椭圆上一点P 作