一、曲线的渐近线(精)

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( x ) x( x ) lim [ f ( x ) kx] lim x x ( x )
得斜渐近线 y x 5.
列表得到函数增减区间和凹凸区间及拐点和极值点:
x
f ( x ) f ( x )
3
1
2 x 2 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2 x 3
y x 2 为曲线的斜渐近线 .
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二、函数图形的描绘
步骤 : 1. 确定函数 期性; 的定义域, 并考察其对称性及周 并求出 及 为 0 和不存在
2 1
1 解: lim ( 2) 2 x x 1
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
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2. 斜渐近线 若
(或 x )
( P75 题13)
( k x b)
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6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
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x y 0 a b
无渐近线 .
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o
y
x
x
2
o
1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
(或 x )
有水平渐近线 y b . 有垂直渐近线 x x0 .
若
(或 x x0 )
则曲线
例1. 求曲线
的渐近线 .
9
另例. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.(类似P163例1) 无对称性及周期性.
2) y x 2 2 x , y 2 x 2 ,
令 y 0 , 令 y 0 , 3) x ( , 0) y y y
4)
1
1 2 3
0 0
(0 ,1)
1
0
4 3
(1, 2)
(极大)
(1, 3) 3 0 无 定
1
(3 , )
义

0
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
( x 3)( x 1) 2 ( x 3) , y y , y 2 4( x 1) 4( x 1) ( x 1)3
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y 1 1 又因 lim , 即 k x x 4 4 2 ( x 3 ) 1 1 x] b lim ( y x) lim [ x 4( x 1) 4 x 4 5x 9 5 lim 2 ( x 3 ) x 4( x 1) 4 y 4( x 1) 1 5 y x 为斜渐近线 ( x 3)( x 1) 4 4 y 4( x 1) 2 0 2 5) 求特殊点 x 2 1 y y 9 3 ( x 1 ) 4 4



2 ( 2 , ) 0
2 3
2
(极大)
x 1 3 y 2 2 3
(拐点）
(极小)
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例4. 描绘方程
的图形.
( x 3) 2 , 定义域为 解: 1) y 4( x 1) 2) 求关键点 2( x 3) 4 y 4 y 4 x y 0 x 3 2y y 2( x 1)
2 1 4
1
0 12 3
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例5. 描绘函数
解: 1) 定义域为 2) 求关键点 2 x 1 xe 2 , y 2
的图形. 图形对称于 y 轴.
1 y e 2
2 x 2
(1 x 2 )
令 y 0 得 x 0 ; 令 y 0 得 x 1
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )



(极大)
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(拐点)
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x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )



(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
A
1 2
lim y 0
x
y
1 2
e

x2 2
y 0 为水平渐近线
5) 作图
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B
o
x
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内容小结
1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线; 垂直渐近线; 斜渐近线 2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行
lim
1 e
x2
2

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2. 曲线 y 1 e
x2
1 , ( 的凹区间是 2 1 , ) 2
1 ) 2
,
1 ) ( , ( 及 2 凸区间是
,
拐点为 提示:
(
1 1 2 ) , 1 e 2
, 渐近线
y 1
y
.
2. 求
的点;
3. 列表判别增减及凹凸区间, 求出极值和拐点; 4. 求渐近线; 5. 确定某些特殊点,描绘函数图形.
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例2
解
( x 1)3 作函数 f ( x) 的图形. 2 ( x 1)
D : x 1,
非奇非偶函数, 且无对称性.
( x 1) 2 ( x 5) f ( x) , 3 ( x 1)
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思考与练习
1.曲线
y 1 e
x2
2
1 e x
(
D
)
(A) 没有渐近线；
(B) 仅有水平渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示: lim
1 e
x2
2
x 1 e x
1;
x 0 1 e x
2 4 y 8 y 4 x y 0 1 4 y y 2( x 1)
令 y 0 得 x 1, 3 ;
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3) 判别曲线形态
x ( , 1) 1 (1,1) y 0 y y 2
y 2 e
x2
(1 2 x 2 )
1
( 1 ,1 e ) 2
1 2
(
1 2 , 1 e 2
1
)
作业 P75 P166 2 ;
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13 (2); 5
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o
x
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第三章
一、 曲线的渐近线
二、 函数图形的描绘
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一、曲线的渐近线
定义.若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线. 或为“纵坐标差” 例如,双曲线
y
C M
y f ( x)
f ( x)
( ,5)
5
(5,1)
1
不存在 不存在
(1,1)
1
0
(1, )

0






极大值 -13. 5
源自文库

0
拐点

间 断 点
(1,0)
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补充点 : A (0,1)
y
作图
5
1
o
1
A
5
x
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b lim [ f ( x) k x]
x (或 x )
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例2. 求曲线
的渐近线 .
x3 , lim y , 解: y ( x 3)(x 1) x3
(或 x 1)
y x2
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1 f ( x) x2 又因 k lim lim 2 x x x x 2 x 3
斜渐近线 y k x b .
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
令 f ( x) 0,
24( x 1) f ( x) . 4 ( x 1)
得驻点 x 1, x 5
得点 x 1.
令 f ( x) 0,
x 1
lim f ( x) , 所以 x 1为铅直渐近线 .
无水平渐近线
f ( x) ( x 1)3 又 lim lim 1 2 x x x x( x 1)