第三章：谓词逻辑

பைடு நூலகம்
给出如下的解释I： D={2，3}
a
2 f(2) f(3) 32 P(2) P(3) Q(2, 2) Q(2, 3) Q(3, 2) Q(3, 3)
01
1
1
0
1
例:
TI(G) = TI((P(f(2))Q(2，f(2))) (P(f(3))Q(3，f(2))))
= TI((P(3)Q(2，3))(P(2)Q(3，3))) =(11)(00) =1
是项，则f(t1, …, tn)是项； 4) 所有项都是有限次使用1)，2)，3)生成
的符号串。
定义3.2.2
若P(x1,…,xn)是n元谓词符号，t1,…,tn是 项，则P(t1,…,tn)是原子。
定义3.2.3 公式
谓词逻辑中的公式，被递归定义如下：
1) 原子是公式； 2) 若G，H是公式，则(G)，(GH)，(GH)，
4. 谓词符号：用大写英文字母P，Q， R，…表示，当个体名称集合D给出时，n 元谓词符号P(x1，…，xn)可以是Dn上的任 意一个谓词。
定义3.2.1 项
谓词逻辑中的项，被递归定义为：
1) 常量符号是项； 2) 变量符号是项； 3) 若f(x1, …, xn)是n元函数符号，t1, …, tn
第三章 谓词逻辑
✓ §3.1 谓词逻辑的基本概念 ✓§3.2 谓词公式 ✓§3.3 谓词公式的等价关系和蕴含关系 ✓§3.4 范式
§3.5 例 §3.6 谓词逻辑的应用
§3.1 谓词逻辑的基本概念
§3.1.1 谓词和量词
例如，逻辑学中著名的三段论： 凡人必死 张三是人 张三必死
在命题逻辑中就无法表示这种推理 过程。
定义3.1.1 可以独立存在的物体称为个 体。（它可以是抽象的，也可以是具体 的。）
如人、学生、桌子、自然数等都可以做 个体。在谓词演算中，个体通常在一个 命题里表示思维对象。
§3.1.1 谓词和量词
定义3.1.2 设D是非空个体名称集合， 定义在Dn上取值于{1，0}上的n元函数， 称为n元命题函数或n元谓词。其中Dn 表示集合D的n次笛卡尔乘积。
定Dn到D的一个映射； 3. 对每个n元谓词符号，指定一个谓词，即指
定Dn到{0，1}的一个映射。
§3.2.2 解释
今后我们对讨论的公式做如下规定：公 式中无自由变量，或将自由变量看做常量。
例:
给出如下两个公式：
1) G=x(P(f(x))Q(x，f(a)))
2) H=x(P(x)Q(x，a))
TI(H) = TI(P(2)Q(2，2)P(3)Q(3，2)) =0110 =0
定义3.2.5 公式G称为可满足的，如果存 在解释I，使G在I下取1值，简称I满足G。 若I不满足G，则简称I弄假G。
定义3.2.6 公式G称为是恒假的(或不可满 足的)，如果不存在解释I满足G；公式G称 为恒真的，如果G的所有解释I都满足G。
但是，如果想把这个命题加以否定，则在谓词 逻辑中是办不到的。因为：
1) 这个命题的否定，应该是如下命题：有一 个一元谓词G(x)，使得命题xG(x)是假的。
2) 公式xG(x)的否定是公式(xG(x))。而 后一个公式表示的命题是：公式xG(x)是恒假 的，亦即，对任意一元谓词G(x)，命题xG(x) 都是假的。
§3.3 谓词公式的等价关系和 蕴含关系
§3.3.1 公式的等价和蕴涵
定义3.3.1 公式G，H称为等价，记以 G=H，如果公式GH是恒真的。
由定义显然可以看出：公式G，H等价的 充要条件是：对G，H的任意解释I，G， H在I下的真值相同。
因为对任意公式G，H，在解释I下，G， H就是两个命题，所以命题逻辑中给出的 基本等价式，在谓词逻辑中仍然成立。
这时，命题P就可确切地符号化如下： x(H(x)M(x))
命题P的否定命题为： P=(x(H(x)M(x))) =x(H(x)M(x))
亦即 “有一个人是不死的”。这个命题 确实是 “所有人都要死”的否定。
§3.1.1 谓词和量词
三段论的三个命题，在谓词逻辑中是如 下这样表示的：
P：x(H(x)M(x)) Q：H(张三) R：M(张三)
§3.1.1 谓词和量词
xG(x)是命题 “存在一个x0D，使得 G定(如x0下)成：立”。对命题xG(x)的真值规
xG(x)取1值有一个x0D，使G(x0) 取1值； xG(x)取0值对所有xD，G(x)都取0 值。
§3.1.1 谓词和量词
当D={x0 ，x1，…}是可数集合时， xG(x)等价于G(x1)G(x2)… xG(x)等价于G(x1)G(x2)…
§3.1.2 改名规则
定义3.1.5 变量说是约束的，如果至少 一个它的出现是约束的；变量说是自由 的，如果至少一个它的出现是自由的。
由定义可以看出一个变量可以既是约束 变量又是自由变量。
例如，上例中的x既是约束变量，又是 自由变量；y，z只是自由变量。
§3.1.2 改名规则
显然，xG(x)与yG(y)的真值一样， xG(x)与yG(y)的真值一样，亦即， 谓词逻辑中的命题的真值，与命题中的 约束变量的记法无关。这就引出了谓词 逻辑中的改名规则。
一般地，一元谓词描述个体的性质，二 元或多元谓词描述两个或多个个体间的 关系。0元谓词中无个体，理解为就是 命题，这样，谓词逻辑包括命题逻辑。
§3.1.1 谓词和量词
下面我们举一个谓词的例子： 令G(x，y)： “x高于y”，于是，G(x， y)是一个二元谓词。将x代以个体 “张 三”，y代以个体 “李四”，则G(张三， 李四)就是命题： “张三高于李四”。 随便将x，y代以确定的个体，由G(x， y)都能得到一个命题。但是，G(x，y) 不是命题，而是一个命题函数即谓词。
H(x)M(x) 中并没有确切的表示出 “对任意x”这 个意思，亦即H(x)M(x)不是一个命题。 因此，在谓词逻辑中除引进谓词外，还 需要引进 “对任意x”这个语句，及其 对偶的语句 “存在一个x”。
§3.1.1 谓词和量词
定义3.1.3 语句 “对任意x”称为全称量 词，记以x； 语句 “存在一个x”称为 存在量词，记以x。
(GH)，(GH)是公式； 3) 若G是公式，x是G中的自由变量，则xG，
xG是公式； 4) 所有公式都是有限次使用1)～3)生成的符号
串。
§3.2.2 解释
定义3.2.4 谓词逻辑中公式G的一个解释I，是 由非空区域D和对G中常量符号，函数符号，谓 词符号以下列规则进行的一组指定组成：
1. 对每个常量符号，指定D中一个元素； 2. 对每个n元函数符号，指定一个函数，即指
以后可以证明：在谓词逻辑中，R是P 和Q的逻辑结果。
§3.1.1 谓词和量词
设G(x)是一元谓词，任取x0D，则 G一(个x0命)是题一“个对命任题意。x于是D，x都G有(xG)是(x这)”样。 故对命题xG(x)的真值做如下规定：
xG(x)取1值对任意xD，G(x)都取 1值； 取x0G值(x。)取0值有一个x0D，使G(x0)
§3.1.1 谓词和量词
因为，如果用P代表 “凡人必死”这个命题， Q代表 “张三是人”这个命题，R代表 “张 三必死”这个命题，则按照三段论，R应该 是P和Q的逻辑结果。但是，在命题逻辑中， R却不是P和Q的逻辑结果，因为公式
PQR 显然不是恒真的，解释{P，Q，R}就能弄 假上面的公式。
§3.1.1 谓词和量词
§3.1.2 改名规则
在由谓词，量词，逻辑联结词，括号组 成的有意义的符号串(实际是下节定义的公式)中， 我们可将其中出现的约束变量改为另一个 约束变量，这种改名必须在量词作用区域 内各处以及该量词符号中实行，并且改成 的新约束变量要有别于改名区域中的所有 其它变量。显然改名规则不改变原符号串 的真值。
P=(H(x)M(x)) =(H(x)M(x)) =H(x)M(x)
亦即，“命题”P的否定 “命题”是 “所有人都不死”。这和人们日常对命 题 “所有人都必死”的否定的理解，相 差得实在太远了。
§3.1.1 谓词和量词
其原因在于，命题P的确切意思应该是： “对任意x，如果x是人，则x必死”。 但是
例:
对于x(P(x，y)Q(x，z))，可改名为u(P(u， y)Q(u，z))。但下面的改名都是不对的：
a. u(P(u，y)Q(x，z)) b. x(P(u，y)Q(u，z)) c. u(P(x，y)Q(x，z)) d. y(P(y，y)Q(y，z)) e. z(P(z，y)Q(z，z))
§3.2 谓词公式
x(H(x)M(x))H(a) 所以，I满足M(a)。 否则，令M(a)在I下为假，而H(a)在I下为真， 于是H(a)M(a)在I下为假，故x(H(x)M(x)) 在I下为假，矛盾! 故M(a)在I下为真命题，而I指定a为 “张三”， 故M(张三)为真命题。
§3.3.1 公式的等价和蕴涵
由于谓词逻辑中的恒真(恒假)公式，要求 所有解释I都满足(弄假)该公式。而解释I依 赖于一个非空集合D。由于集合D可以是 无穷集合，而集合D的 “数目”也可能是 无穷多个，因此，所谓公式的 “所有”解
§3.1.1 谓词和量词
于是，用谓词的概念可将三段论做如下 的符号化： 令 H(x)表示 “x是人”， M(x)表示 “x必死”。
则三段论的三个命题表示如下： P： H(x)M(x) Q： H(张三) R： M(张三)
§3.1.1 谓词和量词
例如我们想得到 “命题”P的否定 “命 题”，应该就是“命题”P。但是，
§3.1.2 改名规则
定义3.1.4 在一个由谓词，量词，逻辑联结 词，括号组成的有意义的符号串(实际是指下一 节将严格定义的公式)中，变量的出现说是约束的， 当且仅当它出现在使用这个变量的量词范围 之内；变量的出现说是自由的，当且仅当这 个出现不是约束的。