边界层理论
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EXIT
5.1、边界层近似及其特征
普朗特生平简介 普朗特（ Ludwig Prandtl ，1875～
1953） 德国物理学家，流体力学大师， 近代力学奠基人之一。1875年出生于德国 弗赖辛， 1953年在哥廷根病故。
普朗特在流体力学方面的主要贡献有：
（1）边界层理论 （2）风洞实验技术 （3）机翼理论 （4）湍流理论 （5）此外还有亚声速相似律（普朗特-葛涝渥法则）和可压 缩绕角膨胀流动（普朗特-迈耶尔流动）。
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5.1、边界层近似及其特征 对整个流场提出的基本分区是：
（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域 （势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。
（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略 粘性的影响，按势流理论处理。
（3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内， 称为边界层。既然是粘流区，粘性力的作用不能忽 略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。
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5.1、边界层近似及其特征
以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源 强度为：
z
v x
u y
u y
o
可以证明在有势力的作用下，二维不可压缩粘
性流体的运动流动的涡量 满足下面方程：
z
在极值点
z
x
z
y
0
z
t
z
2
x2
z
2z
y 2
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
在z
的极小值点， 2 z
x 2
2z
y 2
0
，因而
z
t
0
。
在
z
的极大值点， 2
x 2
z2y 2z0 ，因而z
t
0
。
这就说明了，在粘性流体中，不均匀的涡量场 是不断变化的，涡较强的部分要变弱，而涡较弱的 部分要变强。总的说来，趋向于涡量场强度“拉平 ”，就好像旋涡在扩散一样。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计 根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边
第5章下 边界层理论及其近似
5.1、边界层近似及其特征 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3、平板层流边界层的相似解 5.4、边界层动量积分方程 5.5、边界层的分离现象
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5.1、边界层近似及其特征
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系 的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表 示为:
界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在
x 方向的长度为 L，边界层厚度为δ 。
惯性力：
FJ
m dV dt
~
L2
U t
LU 2
粘性力：
F
dV dy
A~
U
L2
由惯性力与粘性力同量级得到
F ~ FJ
LU 2 ~ U L2
~ 1
L Re
由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流
物体的特征长度。
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5.1、边界层近似及其特征
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5.1、边界层近似及其特征
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 （4）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度
假设某点P处的边界层厚度是 ，则在 的范围内
以速度 ue 流动的质量流量是：
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
2、边界层的特征
（1）边界层定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常
以速度达到主流区速度的0.99倍作为边界层的外缘。由边 界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用δ表 示。
（2）边界层的有涡性 粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界
层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于 使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。
但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流 体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反 的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就是一 个典型的例子。
那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物 体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学 发展的难题。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 直到1904年流体力学大师德国学者 L.Prandtl 通
惯性力:
FJ
m dV dt
~
L3 V
t
L2V 2
粘性力：
F
dV dy
A~
VL
惯性力/粘性力： FJ L2V 2 LV LV Re
F VL
因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。
这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
这也是早期发展理想流体力学的重要依据，而 且确实较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流 动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题。
0 eue dy eue
其中，ue 为边界层外缘速
度。由于粘性的存在，实 际流体通过的质量流量为
0 u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。上述两部 份流量之差是
0 (eueu)dy
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在 靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相 差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无 法忽略。
Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄 层称为边界层（Boundary layer）。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘 性的作用开辟了划时代的途径，因为有了它，无粘流 的理论就可以无所顾忌地大踏步向前发展了；另一方 面粘流计算限制在薄薄的边界面层内，使纳维—斯托 克斯方程得以大大地简化，使许多有实用意义的问题 能得到解答；这样粘性流理论也得到了一条新的发展 道路。可以说从此以后，才开始有了为飞机服务的现 代空气动力学。因此称其为近代流体力学的奠基人。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善 于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物 理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的 大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。” 普朗特 指导过81名博士生，著名学者Blasius、Von Karman是其学生之一。我 国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女，1911– 1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。
5.1、边界层近似及其特征
普朗特生平简介 普朗特（ Ludwig Prandtl ，1875～
1953） 德国物理学家，流体力学大师， 近代力学奠基人之一。1875年出生于德国 弗赖辛， 1953年在哥廷根病故。
普朗特在流体力学方面的主要贡献有：
（1）边界层理论 （2）风洞实验技术 （3）机翼理论 （4）湍流理论 （5）此外还有亚声速相似律（普朗特-葛涝渥法则）和可压 缩绕角膨胀流动（普朗特-迈耶尔流动）。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 对整个流场提出的基本分区是：
（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域 （势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。
（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略 粘性的影响，按势流理论处理。
（3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内， 称为边界层。既然是粘流区，粘性力的作用不能忽 略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。
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5.1、边界层近似及其特征
以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源 强度为：
z
v x
u y
u y
o
可以证明在有势力的作用下，二维不可压缩粘
性流体的运动流动的涡量 满足下面方程：
z
在极值点
z
x
z
y
0
z
t
z
2
x2
z
2z
y 2
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5.1、边界层近似及其特征
在z
的极小值点， 2 z
x 2
2z
y 2
0
，因而
z
t
0
。
在
z
的极大值点， 2
x 2
z2y 2z0 ，因而z
t
0
。
这就说明了，在粘性流体中，不均匀的涡量场 是不断变化的，涡较强的部分要变弱，而涡较弱的 部分要变强。总的说来，趋向于涡量场强度“拉平 ”，就好像旋涡在扩散一样。
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5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计 根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边
第5章下 边界层理论及其近似
5.1、边界层近似及其特征 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3、平板层流边界层的相似解 5.4、边界层动量积分方程 5.5、边界层的分离现象
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系 的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表 示为:
界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在
x 方向的长度为 L，边界层厚度为δ 。
惯性力：
FJ
m dV dt
~
L2
U t
LU 2
粘性力：
F
dV dy
A~
U
L2
由惯性力与粘性力同量级得到
F ~ FJ
LU 2 ~ U L2
~ 1
L Re
由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流
物体的特征长度。
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5.1、边界层近似及其特征
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5.1、边界层近似及其特征
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5.1、边界层近似及其特征
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5.1、边界层近似及其特征 （4）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度
假设某点P处的边界层厚度是 ，则在 的范围内
以速度 ue 流动的质量流量是：
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
2、边界层的特征
（1）边界层定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常
以速度达到主流区速度的0.99倍作为边界层的外缘。由边 界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用δ表 示。
（2）边界层的有涡性 粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界
层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于 使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。
但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流 体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反 的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就是一 个典型的例子。
那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物 体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学 发展的难题。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 直到1904年流体力学大师德国学者 L.Prandtl 通
惯性力:
FJ
m dV dt
~
L3 V
t
L2V 2
粘性力：
F
dV dy
A~
VL
惯性力/粘性力： FJ L2V 2 LV LV Re
F VL
因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。
这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
这也是早期发展理想流体力学的重要依据，而 且确实较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流 动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题。
0 eue dy eue
其中，ue 为边界层外缘速
度。由于粘性的存在，实 际流体通过的质量流量为
0 u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。上述两部 份流量之差是
0 (eueu)dy
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在 靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相 差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无 法忽略。
Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄 层称为边界层（Boundary layer）。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘 性的作用开辟了划时代的途径，因为有了它，无粘流 的理论就可以无所顾忌地大踏步向前发展了；另一方 面粘流计算限制在薄薄的边界面层内，使纳维—斯托 克斯方程得以大大地简化，使许多有实用意义的问题 能得到解答；这样粘性流理论也得到了一条新的发展 道路。可以说从此以后，才开始有了为飞机服务的现 代空气动力学。因此称其为近代流体力学的奠基人。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善 于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物 理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的 大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。” 普朗特 指导过81名博士生，著名学者Blasius、Von Karman是其学生之一。我 国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女，1911– 1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。