极限环

第五讲 分叉（分岔）
非线性动力系统随着其控制参数的变化，其运动形态，如平衡点的稳定性、数目、拓扑轨道等也发生变化，就是分岔，该变化处的参数值就是分岔点0u 。

3.1 分岔的条件
一维微分方程： 通常分叉点（00,u x ）是方程的解，不仅通过此点稳定性发生改变，即0=∂∂x F ，而且该点参数u 依赖x 的关系不是唯一的，即0=∂∂u F ，那么分叉点满足
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=0|0|0)()0,0()0,0(0,0u x u x u
F x F u x F 例子：),()(2u x F x u x x
≡-= 显然，对于实空间，,0<u 不动点为0*=x ，此时
0|3*2<=-=∂∂u x u x
F x ， 因此不动点为0*=x 附近的扰动是渐近减小的，不动点0*=x 是稳定的。

而对于0>u ，有三个平衡点
u x x ±==**0
不动点为0*=x 时
0|3*2>=-=∂∂u x u x
F x ， 因此不动点为0*=x 附近的扰动是渐近增大的，不动点0*=x 是不稳定的。

不动点为u x ±=*时
02|3*2<-=-=∂∂u x u x
F x ， 因此不动点u x ±=*是稳定的。

我们用实线表示稳定，虚线表示不稳定，如上图所示，当经过分岔点（0,0）时，原来不动点的稳定性发生了改变，而且又出现了新的平衡点，形状像叉子，因此称为叉式分岔。

在分叉点（00,u x ）=（0,0），满足条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=0|0|0)()0,0()0,0(0,0u x u x u
F x
F u x F 。

二维微分方程
⎩⎨⎧==),(),(y x G y
y x F x 有Jacobi 矩阵)
,(**y x y G x G
y F x F A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡∂∂∂∂∂∂∂∂= 其特征值为可以表示为 ])det(4)()([212A A Tr A Tr -±=λ
)(A Tr 是矩阵的迹，det 是行列式值，随着二者的变化，系统的解和稳定性发生改变，其条件是
0),(0
),(****==y x G y x F
0|)det(),,(0
**=u y x A 例子：⎩⎨⎧-Ω====])cos()[sin(),(),(22w x x y x G y
y y x F x 首先看不动点)0,0(),(**=y x ，Jacobi 矩阵
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-Ω=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=01022),(**w y G x G
y F x F A y x 其特征值为222w -Ω=λ，当w <Ω，特征值为共轭虚根，因此（0,0）点为稳定的中心，而w >Ω，特征值为异号的实根，是不稳定的鞍点。

再看不动点)0),(arccos(),(22
*
*Ω=w y x ，这里w >Ω才会出现，其Jacobi 矩阵
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Ω-Ω=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=010224)
,(**w y G x G
y F x F A y x 其特征值为共轭虚根，因此)0),(arccos(),(22
*
*Ω=w y x 为稳定的中心。

因此分岔点就是)0,(),(0w x =Ω，也是叉式分岔。

3.2 Hopf 分岔的条件
一类分岔是，通过控制参数的变化，在分岔点，不仅平衡点稳定性发生改变，而且分叉点附件出现极限环或者周期轨道。

例子：
⎪⎩⎪⎨⎧+-+==+-+-==)]([),()]([),(2222y x u y x y x G y
y x u x y y x F x 其平衡点（0,0），对应的Jacobi 矩阵的特征值为共轭复根
i u ±=λ
当0<u ，这个平衡点为稳定的焦点，而当0>u 为不稳定的焦点，并且此时出现⎩⎨⎧=-=1)(2y
r u r r u r =的稳定的极限环，因此分叉点就是
)0,0,0(),,(000+=y x u
安德罗若夫-霍普分岔定理：设含参数u 的微分方程),(u x F x
= ，其不动点为*x ，对应此点的Jacobi 矩阵的特征值)()(u i u βαλ±=，当0)(=u α，0)(≠u β，而
0|0>u du
d α，不动点为*x 是弱吸引的，当100<<-<u u 时，方程有吸引周期轨道，其周期为)1()(/20O u +βπ。