机电控制工程基础习题课课后习题答案 第四章习题

（1） G(s)
2K
K*
s(s 1)(s 2) s(s 1)(s 2)
因此 K * 2K , p1 0, p2 1, p3 2
（2）n=3,m=0 有3条根轨迹趋于无穷
（3）实轴上的根轨迹为 [, 2][1,0]
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（4）求渐进线
a
01 2 30
1
a
(2K 1)
30
3
3
（5）求分离点 sd
ts
3.5
n
0.88s
习题4- 5 已知单位负反馈系统开环传递函数为
(1)G(s)
K s2 (0.1s
1)
(2)G(s) K (0.2s 1) s2 (0.1s 1)
试分析做出K变化时的闭环根轨迹图，并应用根轨迹对系统
进行分析，说明增加零点对系统的影响。
解（1）
G(s)
K s2 (0.1s
此时 K* 2K 2.4 2.4 1 2.4 2 1.344 K 0.672
把 s1, s2 看成主导极点，系统闭环传递函数为：
(s)
n2
0.34
(s 0.3 0.5 j)(s 0.3 0.5 j) s2 0.6s 0.34
n 0.34 0.58 ts =11.7s(5%) ts =15s(2% )
1)
10K s2 (s 10)
K* s2 (s 10)
K* 10K
绘制根轨迹图:
（1）
j
-10
-3.3
0
（2）
G(s)
K (0.2s s2 (0.1s
1) 1)
2K (s 5) s2 (s 10)
K *(s 5) s2 (s 10)
绘制根轨迹K图* ：2K
j
-10
-5 -2.5 0
注意： 分离角 =（2k+1）Pi/l L为根轨迹分支数
习题４－ 2 (2) G(s)H (s) K (0.4s 1) K *(s 2.5)
s(0.2s 1) s(s 5)
i
(3) G(s)H (s) K (0.5s 1)(0.25s 1) K (s 2)(s 4)
(s 1)(0.125s 1) (s 1)(s 8)
i
习题４－3 已知单位负反馈系统开环传递函数为 G(s)
1 1 1 0 sd sd 1 sd 2
解得 取
sd 1
3 3
sd 1
3 0.42 3
此时 K* 1 3 1 3 1 1 3 2 2 3
3
3
3
9
K 3 9
（6）求与虚轴交点
令 s j 带入 1 G(s)H (s) 0
s3 3s2 2s K * 0
3 j 32 2 j K * 0
解：（1）绘根轨迹：
1)开环零、极点：z1 3, p1 0, p2 2(n 2, m 1)
2)实轴上根轨迹 : (0, 2), (3, )
3)分离点： 1 1 1 d d 2 d 3
解得: d1 1.26, d2 4.72
绘制根轨迹:
令 s j 为根轨迹上任意一点，代入特征方程
K
s(s 1)(0.5s 1)
，试作出Ｋ从 0 变化的闭环根轨迹（按步骤做，写明
理由。试应用根轨迹法分析系统的稳定性；求出系统无超
调时的Ｋ值范围；求出系统闭环主导极点具有阻尼比 0.5
时的近似闭环传递函数和其阶跃响应下的性能指标 ts、 % 解：将传递函数变化得：
2K
K*
G(s)
s(s 1)(s 2) s(s 1)(s 2)
D(s) s(s 2) K *(s 3)
则有
2 2 K*( 3) 2 0
2 2 K* 0
K * 32 0
2
3
0
K *
6
K 2
3
注意：作业中的问题 分离角 =（2k+1）Pi/l L为根轨迹分支数
时，
当 0 K 3 时系统稳定；
当 0 K 3 时系统无超调时。 9
当 0.5 时， arccos 0.5
3 从图上测的 s1,2 0.3 0.5 j 由根之和不变 s2 2.4
分别求K变化时闭环根轨迹
（1）
(2)
练习 2 实系数多项式函数
A(s) s3 5s2 (6 a)s a (a 0)
欲使 A(s) 0 的根皆为实数，试确定
参数 a 的范围。
答案： 0 a 0.419
延伸：
求：d (s) s3 4s2 5s 3 0 的实根。
解：
1
5(s 0.6) s2 (s 4)
比较（1），（2）知系统（1）不稳定，（2）稳定， 且系统性能由一对共轭复极点（主导极点）决定，随 着K值增大第三个极点逐渐靠近零点成为偶极子，系 统性能仍由这对共轭复极点决定
练习 1
已知系统开环传递函数
(1)
G(s)
K *(s 0.6) s2 (s 4)
(2)
G(s)
K *(s 0.4) s2 (s 4)
% 14.6% ~ 16.3%
习题４-4
系统传递函数为
（1） (s)
(0.67s
1 1)(0.01s 2
0.08s
1)
（2） (s)
(0.67s
0.59s 1 1)(0.01s2
0.08s
1)
分别利用主导极点和偶极子概念估算系统的阶跃响应
性能指标。
（1）解：闭环系统有三个极点，分别为：
0
令： K 5
等效传递函数：G1 ( s) H1 ( s)
K (s 0.6) s2 (s 4)
在区间[-4,-0.6]内试点，s=-2.47
习题1
已知
G(s)H (s) K *(s 3) s(s 2)
(1)绘制根轨迹并证明复平面上根轨迹部分为圆；
(2)系统呈现欠阻尼状态时的开环增益范围。
由零、极点分布可知，极点 s1 1.5 与零点 z1 1.695
构成偶极子，所以主导极点是 s2,3 4 j9.2
故系统可以看成二阶系统，即
(s)
0.01s 2
1 0.08s
1
s2
100 8s 100
则系统的性能指标：
0.4
n 10 s 1
% e / (12) 100% 25%
s1 1.5 s2,3 4 j9.2
由此可知，极点s1 1.5 离虚轴最近，故为主导极点，而极点
s2,3 4 j9.2 可以忽略不计，所以系统可以看成一阶系统，即
(s) 1 0.67s 1
则系统性能指标： % 0
ts 3T 3 0.67 2.01s
（2）解：闭环系统有三个极点，分别为：s1 1.5 s2,3 4 j9.2 闭环系统有一个零点： z1 1.695