函数建模与数据统计课时作业

(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．甲乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑得路程更多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()
A．310元B．300元C．290元D．280元
3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为() A．30 B．40 C．50 D．60
4．某企业产值连续三年持续增长，这三年年增长率分别为P1，P2，P3，则这三年的年平均增长率为()
A.1
3(P1＋P2＋P3)
B.3
P1P2P3
C.3
(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)－1
D．1＋1
3(P1＋P2＋P3)
5.如图所示，开始时桶(1)中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝a e－n t，那么桶(2)中水就是y2＝a－a e－n t，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水
相等，则再过多少分钟桶(1)中的水只有a
8()
A．7分钟B．8分钟C．9分钟 D．10分钟
二、填空题
6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)＝________.
7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为________．
8.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．
三、解答题
9．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，
下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
(1)请你确定y与)；
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？
10．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面
积至少要保留原面积的1
4，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
2
2.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【等级过关练】
1．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)
A．1.78B．2.77
C．2.89 D．4.40
2．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1市场供给表
)应
在下列哪个区间内()
A．(2.3,2.4) B．(2.4,2.6)
C．(2.6,2.8) D．(2.8,2.9)
3．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，
成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1
20Q
2，
则总利润L(Q)的最大值是________万元．
4.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月本地网内打出的电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)之间的函数关系如图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式话费相差________元．
5．销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1，y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1＝a x＋1＋m，y2＝bx，(其中m，a，b都为常数)，函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图所示．
(1)求函数y1，y2的解析式；
(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
【参考答案】
1、D[由图可知，甲比乙跑的要快，比乙先到达终点，两人跑的路程相同，
故选D.]
2、B [令y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧ k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，解得⎩⎨⎧ k ＝500，b ＝300，
所以y ＝500x ＋300，令x ＝0，y ＝300.
故营销人员没有销售量时的收入是300元．]
3、C [设安排生产x 台，则获得利润
f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x
＝－(x －50)2＋2 500.
故当x ＝50台时，获利润最大．故选C.]
4、C [设这三年的年平均增长率为x ，企业产值的基数为a ，则a (1＋x )3＝
a (1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)．所以x ＝3(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)－1.]
5、D [由题意得a e －5n ＝a －a e －5n ，e －n
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1215.设再经过t 分钟，桶(1)中的水只有a 8，得a e －n (t ＋5)＝a 8，则t ＋55＝3，解得t ＝10.]
6、2t 2＋108t ＋400 [日销售额S ＝f (t )·g (t )＝(2t ＋100)·(t ＋4)＝2t 2＋108t ＋400.]
7、y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 115x (0≤x ≤30)，
2(30＜x ＜40)，
110x －2(40≤x ≤60) [由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得：
y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 115x (0≤x ≤30)，2(30＜x ＜40)，
110x －2(40≤x ≤60).]
8、15,12 [由三角形相似，即24－y 24－8
＝x 20，得x ＝54×(24－y )， 所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，
故当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.]
9、[解] (1)根据题意，课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，
得⎩⎨⎧ 40k ＋b ＝75，37k ＋b ＝70.2，所以⎩⎨⎧
k ＝1.6，b ＝11，
所以y 与x 的函数解析式是y ＝1.6x ＋11.
(2)把x ＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y ＝1.6×42＋11＝78.2.
所以给出的这套桌椅是配套的．
10、[解] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10＝12a ，即
(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
10. 故每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
10. (2)设经过m 年剩余面积为原来的2，
则a (1－x )m ＝2a ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m
10＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1212，m 10＝12， 解得m ＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍伐了n 年，则n 年后剩余面积为2a (1－x )n .
令2a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥4， ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 10≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫1232，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．
【等级过关练】
1、B [由题意可知50＝10＋(90－10)·e －0.25t ，整理得e －0.25t ＝12，即－0.25t
＝ln 12＝－ln 2≈－0.693，解得t ≈2.77.]
2、C [当供给量与需求量均为70时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6，2.8)时最有可能达到供需平衡，故选C.]
3、2 500 [∵每生产一单位成品，成本增加10万元，
∴单位产品数Q 时的总成本为2 000＋10Q 万元．
∵K (Q )＝40Q －120Q 2，
∴利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000
＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，
当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元．]
4、10 [设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t .
当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，
所以k 2－k 1＝15.
当t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.
即当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差10元．]
5、[解] (1)由题意⎩
⎪⎨⎪⎧ m ＋a ＝0，3a ＋m ＝85，
解得a ＝45，m ＝－45，
y 1＝45x ＋1－45(x ≥0)．
又由题意8b ＝85得b ＝15， y 2＝15x (x ≥0)．
(2)设销售甲商品投入资金x 万元，则乙投入(4－x )万元．令所获利润为y 万元．
由(1)得
y＝4
5x＋1－
4
5＋
1
5(4－x)
＝4
5x＋1－
1
5x(0≤x≤4)．
令x＋1＝t(1≤t≤5)，则有
y＝－1
5t
2＋
4
5t＋
1
5
＝－1
5(t－2)
2＋1(1≤t≤5)．
当t＝2即x＝3时，y max＝1.
综上，该商场所获利润的最大值为1万元.。