高等代数

高等代数

《高等代数》论文

学院：理学院

班级：数学1202

姓名：童立夏

学号：20122507

指导教师：赵芬霞

线性代数在实际问题中的应用 数学类1202班 童立夏 学号20122507

内容摘要：线性代数作为数学的一个重要的分支，具有较强的逻辑性、抽象性和较强的实用性。线性代数是以矩阵、线性空间结构及线性变换为基本研究对象，其核心是研究线性代数方程组解的情况以及如何更快地求解线性方程组、线性空间结构及线性变换。线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中：通过解析几何，线性代数得以被具体表示。本文通过一些实例讨论线性代数在实际问题中的应用，说明线性代数理论的应用意义及方法从而使抽象的线性代数理论更直接、更形象。

关键词：线性代数、应用、矩阵、行列式

导言：线性代数主要研究有限维线性空间中的线性关系和线性映射，具有代数学的实用性和抽象性特点。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中各有重要地位，本文将给出几个典型的应用实例，包括矩阵、行列式、线性组合等几个部分的应用以及线性组合在经济领域、数学建模中的应用，在解决问题的过程中引出概念和方法。

一、 线性代数在经济领域中的应用

行列式是线性代数的重要组成部分，它是解决线性方程组的常用工具，而线性方程组在经济领域的应用比较广泛。 实例：成本问题。

某些产品在生产过程中能获得另外几种产品或副产品，但是对每种产品的单位成本难以确定，这类问题可以通过几次测试，列出方程组求解。例如：

在一次投料生产中能获得四种产品，每次测试的总产品如表一所示，试求每种产品的单位成本。

解：设A 、B 、C 、D 四种产品的单位成本分别为x 1、x 2、x 3、x 4，可列出方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++=+++55506016018040013602040401007050100200250500290050100100200432143214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 将方程化简如下：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++=+++275

38920682251412451058224432143214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 运行行列式解得：x 1=10,x 2=5,x 3=3,x 4=2,所以A 、B 、C 、D 四种产品的单位成本分别为10 元/公斤，5元/公斤，3元/公斤，2元/公斤。

表一

A

C

图 2 汽车

交通路线

展，使人们对经济规律认识的精确性有了明显提高。数学方法，特别是线性代数步入经济科学的领域，成为分析、研究社会经济现象发展服务的有力工具。 二、线性代数在数学建模中的应用

给出四个城市A 、B 、C 、D ，现在想作一次旅游，方式为：先做火车后坐汽车。即从第一个城市坐火车到第二个城市，然后从第二个城市坐汽车到第三个城市。那么在哪两个城市之间才能作一次使用两种交通工具（先坐火车后坐汽车）的旅行？四个城市之间的火车交通线路如图1所示；汽车交通线路情况如图2所示；反映火车和汽车的交通线路情况如图3所示。

分析：火车交通线路情况、汽车交通线路情况可以用矩阵S,T 来描述：

S=⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0011

001101001010 代表坐火车可以从哪个城市到哪个城市

C

图 1 火车

交通路线

D

T=⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡0001101100010100 代表坐汽车可以从哪个城市到哪个城市

从图3可以看出，可以先坐火车从A 到B 或到D 。从B 可以坐汽车回到A ，从D 也可以坐汽车回到A ，所以从A 到A 可以作两次旅行（先坐火车后坐汽车），但有两种不同的路线。从A 到其他任何城市都不能作这种旅行。如果从B 可以坐火车到C,然后坐汽车回到B ，当然也可以去A 或D 。因此，从B 到A 、B 、D 都可以先坐火车后坐汽车。其实根据图3，先坐火车后坐汽车从一个城市到另一个城市的旅游可以用矩阵P 来描述，

P=⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡0100

01011011

0002 可以发现P 就是S ，T 的成绩，P 的第i 行第j 列的元素表示先坐火车后坐汽车

C

D

图3 火车和汽车交通路线

从i 城市到j 城市的路线数。

这就是矩阵乘积的一个应用，也是建模思想的融入。数学建模是对实际问题的分析，而处理数学建模的过程中需要线性代数方法的引入，这就是线性代数与数学建模相互融入，抽象理论与实际问题的相互转化过程。 三、应用矩阵表示坐标变换化简二次曲面的方程

矩阵理论是线性代数的一个重要组成部分，它的应用非常广泛。在有限维线性空间中选定一组基后，对于任何一个线性变换在不同基下所对应的矩阵彼此相似。因此可以用矩阵表示坐标变换或者描述图形的变换，还可以对空间图形，通过坐标变换化简其方程。

例如，在空间直角坐标系下，给定二次曲面a 11x 2+a22y 2+a 33z 2+2a 12xy=2a 13xz+2a 23yz+2a 14y+2a 34z+a 44=0, 其中a 11,a 22,a 33,a 12,a 13,a 23不全为零，记

A=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡3332

31

232221

131211

a a a a a a a a a ， δT =（a 14 a 24 a 34）,αT =(x y z),二次曲面的方程可以表示为（αT ,1）

⎥⎦⎤⎢⎣⎡44a A

T δδ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡1α=0.由线性代数的知识，对实对称矩阵A,存在正交矩阵Q ，使得 Λ=⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=32

1

000

00

λλλAQ Q T 因此可以通过正交变换,'ααQ =将二次曲面方程的左边化为

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛1')1,'(44Qa a A Q T

T T δ

δα =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯1'11)1,'(3

113443113αδδαO O Q

a A O

O Q T T

T

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛Λ

1')1,'(44

αδδ

αa Q T

T T

从而二次曲面的方程化简为

.0'2'2'2''44342414232'221=++++++a z b y b x b z y x λλλ

由于正交变换保持向量的内积，故保持向量的长度和向量间的夹角。可以证明，当

1

=Q 时，'ααQ =就是绕空间某一条过原点的直线的旋转。根据二次型

),,(z y x Φ的秩为3，方程可化为