成比例线段PPT课件
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2020年10月2日
1
成比例线段问题有哪些相关定理
1、比例性质
基本性质
若
a b
=
c d
,则ad=bc.
合比性质
若
a b
=
c d
,则
a+b b
=
c+d d
等比性质
若
a b=
c d
=
e f
=
……
=
m n
2020年10月2日
(b+d+f+…+n≠0),则
a+c+e+…+m b+d+f+…+n
=
a b
2
2、平行线分线段成比例定理
C、
AC AB
=
DE EF
B
、
AB AC
=
DE EF
D、
EF BC
=
CE AB
2020年10月2日
6
②在图2中，不能推出EF//BC的比例式是（ ）
A
F
E
E
FA
B
C
C
B
图2
A、
AE AB
=
AF AC
C、
BE CF
=
AE AF
B
、
AE AB
=
EF BC
D、
BE AB
=
CF AC
2020年10月2日
7
2020年10月2日
11
D
O •C
PA
B
D
•O
PA
B
Hale Waihona Puke Baidu
C
PA
B
PC=PD
PD ²=PA·PB
PC ²=PA·PB
分析： 这样因为PC ²=PA·PB即PC/PA=PB/PC
且∠ CPA= ∠ BPC所以△ PAC ∽ △ PCB， 因此CA/CB=PC/PB
2020年10月2日
12
例题选讲
例1 如图 PD切⊙O于D，直线PAB交⊙O于A、B， C为圆内一点，且PC=PD，求证：CA/CB=PC/PB
A
•O B P
所以AC=BD
所以转化为证AC•BD=CD•BP
从而转化为证△ACD ∽ △PBD
2020年10月2日
14
C
D
PD切⊙O于D∠PDB= ∠ BAD
A
•O B P
A
D BP
C
D
C
D
A
P
∵CD//AB∴ AC=BD，
∠ ADC= ∠ BAD
2020年10月2日
A
BP
可证△ACD ∽ △PBD
A
D
B
E
若AD//BE//CF， 则AB：BC=DE：EF
C
F
2020年10月2日
3
3、相似三角形
性质定理
如果 Δ ABC ∽ Δ DEF， 那么AB：DE=BC：EF=AC：DF
B
判定定理
如果△ ABC和△ DEF中， AB/DE=AC/DF，且∠ A= ∠ D，
则△ ABC∽ △ DEF .
A D
D
O •C
PA
B
2020年10月2日
证明： PD切⊙ O于D=>PD²=PA·PB
PC=PD =>PC²=PA·PB ∠ APC= ∠ CPB => Δ PAC ∽∠Δ PCB
=>CA/CB=PC/PB
13
例2 如图 CD//AB，PD切⊙O于D。求证： AC²=CD•BP
C
D
分析：因为CD//AB，
B
C
A
• P
•O
D
A P• C
B
•O
D
情形1
情形2
2020年10月2日
10
例题选讲
例1 如图 PD切⊙O于D，直线PAB交⊙O于A、B， C为圆内一点，且PC=PD，求证：CA/CB=PC/PB
D
•CO
PA
B
分析： 要证CA/CB=PC/PB 可证明△ PAC ∽ △ PCB
直接应用基本图形的性质
求证: A
BP CP
=
BD CE
(见数学精典P70例1)
证明:过点C作CM//BA交PD于M.
则
BP CP
=
BD CM
,
AE CE
=
AD CM
D
E
又∵AD=AE ,∴CM=CE.
M
P
∴
BP CP
=
BD CE
B
C
说明:作平行线应用“平行线分线段成比例定理”证明线段
成比例是常用解题技巧.本例还有其它作平行线的方法
③在图3中， 若△ADE∽△ACB则__________ 若__________则△ADE∽△ACB
A DE
A
D E
在图4中若△ACD∽△ABC，
B
则————————
C C
图3
B
若_________,则△ACD∽△ABC。
A
A
2020年10月2日
D D B (E)C C(E) B
图4
8
④如图5，△ABC 中，D是AC上一点，∠DBC=∠A，BC=√6，
2020年10月2日
18
小结：
1.基本图形
D E B
A
A F
C
A
E
F
B
C
F
E
A
B
C
2020年10月2日
19
A
D E
C
B
A
DE
B
C
A
D
B
C （E）
A
D C(E) B
2020年10月2日
A
D
E
B
C
20
C
B
A P •O
D
A PC
B
•O D
2020年10月2日
C A P O•
D
B A（B）
P A（B）
•O C （D）
•O
PC
D
21
2. 基本方法
（1）直接应用上述基本图形的性质； （或）转化应用上述基本图形的性质
AO • C
PB
A
•O
PC
D
P是⊙O外一点，PA切 ⊙O于P，PAB交⊙O于 BC，那么PA²=PB•PC
2020年10月2日
PAB交⊙ O于A、B，PCD交 ⊙O于C、D，则PA•PB=PC•PD
5
①如图1中若AD//EB//FC,下列各式中正确的是( )
AD H EB
F
C
图1
A、
AH HC
=
AH HC
AC=3，则CD的长为
（）
A、 1
B、
3 2
C
C、 2
D、
5 2
C
D
D
B
A
图5
B
A
图6
⑤如图6，D是△ABC外一点， ∠ABC= ∠CDB=90，AB=3, BC=4.若图中两直角三角形相似，则BD=———
2020年10月2日
9
⑥从不在⊙O上的一点P，作⊙O的割线，交⊙O于A、B， 且PA•PB=64,OP=10，则⊙O的半径为_________
2020年10月2日
∴AC ²=CD ·BP
16
例3.如图,ABC中(ABAC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E, 使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于P.
求证:
BP CP
=
BD CE
(见数学精典P70)
A
D
E
P
B
C
2020年10月2日
17
例3.如图,ABC中(ABAC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E, 使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于P.
转化应用上述基本图形的性质
15
证明：∵CD//AB
C
D
∴ AC=BD ,∠ ADC= ∠ BAD 又 ∵PD切⊙O于D
A
•O B P
∠ PDB= ∠ BAD
∴ ∠ PDB= ∠ ADC 又∠ PBD= ∠ C
∴ Δ PBD ∽ Δ ADC
∴ PB/AC=BD/CD ∴ AC ·BD=CD ·BP
即AC ·AC=CD ·BP
E
F
C
这里指与线段 成比例有关的定理
❖如果△ ABC和△ DEF中，AB/DE= BC/EF=AC/DF，则△ ABC∽ △ DEF.
2020年10月2日
4
4、圆的有关成比例线段定理
A C
D 在⊙O中，
P •O
弦AB、CD相交与P 则AP/PC=PB/PD A
B
C
P O• B 特别的，
若CD ⊥ AB于P 则PC ²=AP•PB B
1
成比例线段问题有哪些相关定理
1、比例性质
基本性质
若
a b
=
c d
,则ad=bc.
合比性质
若
a b
=
c d
,则
a+b b
=
c+d d
等比性质
若
a b=
c d
=
e f
=
……
=
m n
2020年10月2日
(b+d+f+…+n≠0),则
a+c+e+…+m b+d+f+…+n
=
a b
2
2、平行线分线段成比例定理
C、
AC AB
=
DE EF
B
、
AB AC
=
DE EF
D、
EF BC
=
CE AB
2020年10月2日
6
②在图2中，不能推出EF//BC的比例式是（ ）
A
F
E
E
FA
B
C
C
B
图2
A、
AE AB
=
AF AC
C、
BE CF
=
AE AF
B
、
AE AB
=
EF BC
D、
BE AB
=
CF AC
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D
O •C
PA
B
D
•O
PA
B
Hale Waihona Puke Baidu
C
PA
B
PC=PD
PD ²=PA·PB
PC ²=PA·PB
分析： 这样因为PC ²=PA·PB即PC/PA=PB/PC
且∠ CPA= ∠ BPC所以△ PAC ∽ △ PCB， 因此CA/CB=PC/PB
2020年10月2日
12
例题选讲
例1 如图 PD切⊙O于D，直线PAB交⊙O于A、B， C为圆内一点，且PC=PD，求证：CA/CB=PC/PB
A
•O B P
所以AC=BD
所以转化为证AC•BD=CD•BP
从而转化为证△ACD ∽ △PBD
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14
C
D
PD切⊙O于D∠PDB= ∠ BAD
A
•O B P
A
D BP
C
D
C
D
A
P
∵CD//AB∴ AC=BD，
∠ ADC= ∠ BAD
2020年10月2日
A
BP
可证△ACD ∽ △PBD
A
D
B
E
若AD//BE//CF， 则AB：BC=DE：EF
C
F
2020年10月2日
3
3、相似三角形
性质定理
如果 Δ ABC ∽ Δ DEF， 那么AB：DE=BC：EF=AC：DF
B
判定定理
如果△ ABC和△ DEF中， AB/DE=AC/DF，且∠ A= ∠ D，
则△ ABC∽ △ DEF .
A D
D
O •C
PA
B
2020年10月2日
证明： PD切⊙ O于D=>PD²=PA·PB
PC=PD =>PC²=PA·PB ∠ APC= ∠ CPB => Δ PAC ∽∠Δ PCB
=>CA/CB=PC/PB
13
例2 如图 CD//AB，PD切⊙O于D。求证： AC²=CD•BP
C
D
分析：因为CD//AB，
B
C
A
• P
•O
D
A P• C
B
•O
D
情形1
情形2
2020年10月2日
10
例题选讲
例1 如图 PD切⊙O于D，直线PAB交⊙O于A、B， C为圆内一点，且PC=PD，求证：CA/CB=PC/PB
D
•CO
PA
B
分析： 要证CA/CB=PC/PB 可证明△ PAC ∽ △ PCB
直接应用基本图形的性质
求证: A
BP CP
=
BD CE
(见数学精典P70例1)
证明:过点C作CM//BA交PD于M.
则
BP CP
=
BD CM
,
AE CE
=
AD CM
D
E
又∵AD=AE ,∴CM=CE.
M
P
∴
BP CP
=
BD CE
B
C
说明:作平行线应用“平行线分线段成比例定理”证明线段
成比例是常用解题技巧.本例还有其它作平行线的方法
③在图3中， 若△ADE∽△ACB则__________ 若__________则△ADE∽△ACB
A DE
A
D E
在图4中若△ACD∽△ABC，
B
则————————
C C
图3
B
若_________,则△ACD∽△ABC。
A
A
2020年10月2日
D D B (E)C C(E) B
图4
8
④如图5，△ABC 中，D是AC上一点，∠DBC=∠A，BC=√6，
2020年10月2日
18
小结：
1.基本图形
D E B
A
A F
C
A
E
F
B
C
F
E
A
B
C
2020年10月2日
19
A
D E
C
B
A
DE
B
C
A
D
B
C （E）
A
D C(E) B
2020年10月2日
A
D
E
B
C
20
C
B
A P •O
D
A PC
B
•O D
2020年10月2日
C A P O•
D
B A（B）
P A（B）
•O C （D）
•O
PC
D
21
2. 基本方法
（1）直接应用上述基本图形的性质； （或）转化应用上述基本图形的性质
AO • C
PB
A
•O
PC
D
P是⊙O外一点，PA切 ⊙O于P，PAB交⊙O于 BC，那么PA²=PB•PC
2020年10月2日
PAB交⊙ O于A、B，PCD交 ⊙O于C、D，则PA•PB=PC•PD
5
①如图1中若AD//EB//FC,下列各式中正确的是( )
AD H EB
F
C
图1
A、
AH HC
=
AH HC
AC=3，则CD的长为
（）
A、 1
B、
3 2
C
C、 2
D、
5 2
C
D
D
B
A
图5
B
A
图6
⑤如图6，D是△ABC外一点， ∠ABC= ∠CDB=90，AB=3, BC=4.若图中两直角三角形相似，则BD=———
2020年10月2日
9
⑥从不在⊙O上的一点P，作⊙O的割线，交⊙O于A、B， 且PA•PB=64,OP=10，则⊙O的半径为_________
2020年10月2日
∴AC ²=CD ·BP
16
例3.如图,ABC中(ABAC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E, 使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于P.
求证:
BP CP
=
BD CE
(见数学精典P70)
A
D
E
P
B
C
2020年10月2日
17
例3.如图,ABC中(ABAC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E, 使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于P.
转化应用上述基本图形的性质
15
证明：∵CD//AB
C
D
∴ AC=BD ,∠ ADC= ∠ BAD 又 ∵PD切⊙O于D
A
•O B P
∠ PDB= ∠ BAD
∴ ∠ PDB= ∠ ADC 又∠ PBD= ∠ C
∴ Δ PBD ∽ Δ ADC
∴ PB/AC=BD/CD ∴ AC ·BD=CD ·BP
即AC ·AC=CD ·BP
E
F
C
这里指与线段 成比例有关的定理
❖如果△ ABC和△ DEF中，AB/DE= BC/EF=AC/DF，则△ ABC∽ △ DEF.
2020年10月2日
4
4、圆的有关成比例线段定理
A C
D 在⊙O中，
P •O
弦AB、CD相交与P 则AP/PC=PB/PD A
B
C
P O• B 特别的，
若CD ⊥ AB于P 则PC ²=AP•PB B