八年级数学下册20.2 数据的波动程度导学案

20．2 数据的波动程度
第一课时
教学目标
1．了解方差的意义，会求一组数据的方差；会根据方差的大小，比较并判断具体问题中有关数据的波动情况．
2．让学生经历知识的形成过程，感悟方差在实际生活中的应用．
教学重难点
重点：方差的概念与计算．
难点：方差的计算．
教学过程
一、情境引入
请同学们来看一个问题：
【问题1】在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄(单位：岁)如下：甲队：26 25 28 28 24 28 26 28 27 29
乙队：28 27 25 28 27 26 28 27 27 26
(1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少？
(2)你能说说两队参赛选手年龄的波动情况吗？
学生经过计算，得出上面两组数据的平均数分别是x甲＝26.9，x乙＝26.9.
即甲、乙两队参赛选手的平均年龄相同．
在平均数相同的情况下两队参赛选手的年龄的波动情况就不能用平均数进行描述．实际上，在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以外，还有一类刻画数据波动(离散)程度的量，其中最重要的就是方差．本节我们将在实际情境中，了解方差的统计意义并运用方差解决问题．
二、互动新授
【问题2】农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子，选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如教材表20－8所示．
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
上面两组数据的平均数分别是x甲≈7.54，x乙≈7.52.
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大．
为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的分布情况，我们把这两组数据画成下面的教材图20.2－1和教材图20.2－2.(教师多媒体演示)
教材图20.2－1
教材图20.2－2
比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，乙种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均产量附近．
从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？
为了刻画一组数据波动的大小，可采用很多方法，统计中常采用下面的做法：设有n
个数据x 1，x 2，…，x n ，各数据与它们的平均数x 的差的平方分别是(x 1－x )2，(x 2－x )2，…，
(x n －x )2，我们用它们的平均数，即用s 2＝1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s 2
.
从上面计算方差的式子可以看出：当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小．反过来也成立，这样就可以用方差刻画数据的波动程度，即：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
下面我们利用方差来分析甲、乙两种甜玉米的波动程度．
请同学们分别计算s 2甲、s 2乙.
教师评讲：(多媒体演示)
s 2甲＝（7.65－7.54）2＋（7.50－7.54）2＋…＋（7.41－7.54）210
≈0.01， s 2乙＝（7.55－7.52）2＋（7.56－7.52）2＋…＋（7.49－7.52）210
≈0.002. 显然，s 2甲＞s 2乙，即甲种甜玉米的波动较大，这与我们从教材图20.2－1和教材图20.2
－2看到的结果一致．
【例1】 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高(单位：cm)如教材表20－9所示．
甲 163 164 164 165 165 166 166 167
乙 163 165 165 166 166 167 168 168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是
x 甲＝163＋164×2＋165×2＋166×2＋1678
＝165， x 乙＝163＋165×2＋166×2＋167＋168×28＝166.
方差分别是
s 2甲＝（163－165）2＋（164－165）2＋…＋（167－165）28
＝1.5， s 2乙＝（163－166）2＋（165－166）2＋…＋（168－166）28
＝2.5. 由s 2甲＜s 2乙可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐．
三、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
本节课主要学习了：(1)对于一组数据，有时仅仅知道它的平均数是不够的，还要知道它的波动大小．
(2)描述一组数据波动大小的量的方法不止一种，最常用的就是方差．
(3)求一组数据方差的公式：s 2＝1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． 四、板书设计
五、教学反思
本节课属于数学概念的形成性教学．因此在教学设计时，先从一个学生熟悉的，但又无法用前面学过的平均数、中位数、众数和极差等知识圆满加以解决的实际问题，激发学生探究的欲望，然后通过学生的描点、画线和教师的点评等活动，及时有效地拓宽学生的视野，从而发现问题中的两组数据都在波动，为学好方差做好心理和知识上的准备．为帮助学生建立和理解方差的概念，在设计中特别注重概念的形成过程．学生在教师指导下自主探究、合作交流，在“数”与“形”的有机结合中形成概念，进而使学生感受到成功的喜悦．教学中要鼓励学生积极参与到知识的发生、发展、形成过程中去，并在教师指导、帮助下进行思考、尝试、探究和创新，逐渐形成良好的个性思维品质和数学学习习惯．
在教学中对方差的意义，可以这样描述：方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据的波动也越小．但其实在许多问题中并不是所有的情况都如此，应结合问题具体分析，这一点学生是很难理解的，教师应通过具体实例加以分析．
导学方案
一、学法点津
学生在求一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差时，首先要先求出它们的平均数x ，再计算出
各数据与它们的平均数x 的差的平方：(x 1－x)2，(x 2－x)2，…，(x n －x)2，最后求出它们的
平均数即s 2＝1n
[(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋…＋(x n －x)2]就是这组数据的方差．方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．
二、学点归纳总结
1.知识要点总结
方差的定义：设有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，各数据与它们的平均数x 的差的平方分别
是(x 1－x)2，(x 2－x)2，…，(x n －x)2，我们用这些值的平均数，即用s 2＝1n
[(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋…＋(x n －x)2]来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s 2.
2.规律方法总结
（1）方差是反映一组数据偏离平均值的情况的特征数，也称为一组数据的离散程度．
（2）方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
第一课时作业设计
一、选择题
1．在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的( )．
A ．平均水平
B ．分布规律
C ．波动大小
D ．最大值和最小值
2．甲、乙两个样本的平均数相同，且方差分别是s 2甲＝6.06，s 2乙＝14.31，由此反映( )．
A ．样本甲的波动比样本乙大
B ．样本乙的波动比样本甲大
C ．样本甲和样本乙波动一样大
D ．无法比较它们的波动情况
3．某工厂生产一种产品，若10天中每天生产的次品数分别是：2，3，1，1，0，2，1，1，0，1，则这个样本的方差是( )．
A ．0.76
B ．0.504
C ．2.75
D ．0.472
二、填空题
4．一个样本的方差可表示为s 2＝18
[(x 1－10)2＋(x 2－10)2＋…＋(x n －10)2]，则这组数据的平均数是________，个数是________．
5．若样本a 1，a 2，…，a n 的平均数x ＝5，方差s 2＝0.025，则样本4a 1，4a 2，…，4a n
的平均数是________，方差是________．
6．如果5个数据：2，4，1，5，a 的平均数是3，那么这组数据的极差是________，方差是________．
三、解答题
7．为了从甲、乙两名同学中选拔一名参加射击比赛，对他们的射击水平进行测验，两人在相同的条件下各射靶10次，命中环数如下：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
(1)求x 甲，x 乙，s 2甲，s 2乙的值；
(2)你认为应选拔哪位同学参加射击比赛？为什么？
8．甲、乙两班各派出5名女生组成合唱队，她们的身高(单位：米)为：
甲班：1.60，1.62，1.53，1.66，1.58；
乙班：1.76，1.68，1.52，1.56，1.72.
若她们的演唱水平一样，派哪个班参加比赛效果更好？请说明理由．
【参考答案】
一、1.C 2.B 3.D
二、4.10 8 5.20 0.4 6.4 2
三、7.解：(1)x 甲＝110×(7＋8＋6＋8＋6＋5＋9＋10＋7＋4)＝7(环)； x 乙＝110
×(9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋7)＝7(环)； s 2甲＝110
×[02＋12＋(－1)2＋12＋(－1)2＋(－2)2＋22＋32＋02＋(－3)2]＝110×30＝3； s 2乙＝110
×[22＋(－2)2＋02＋12＋02＋(－1)2＋12＋(－1)2＋02＋02]＝110
×12＝1.2. (2)∵s 2甲＞s 2乙，∴乙的成绩比较稳定，故应选乙参加比赛．
8．解：(1)x 甲＝15×(1.60＋1.62＋1.53＋1.66＋1.58)＝1.598； x 乙＝15
×(1.76＋1.68＋1.52＋1.56＋1.72)＝1.648； s 2甲＝15
×[(1.60－1.598)2＋(1.62－1.598)2＋(1.53－1.598)2＋(1.66－1.598)2＋(1.58－1.598)2]＝0.001856； s 2乙＝15
×[(1.76－1.648)2＋(1.68－1.648)2＋(1.52－1.648)2＋(1.56－1.648)2＋(1.72－1.648)2]＝0.008576.
∵s 2甲＜s 2乙，∴甲班的身高更整齐一些，故派甲班的五名同学参加比赛更好．
第二课时
教学目标
1．深化对极差、方差概念的认识，在实际问题情境中感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想．
2．通过解决简单的实际问题，使学生形成一定的数据意识和解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值．
3．通过学生亲身经历数学的探索过程，体验抽样的灵活性、重要性，培养学生乐于探究、勤于动手、敢于实践的精神．
教学重难点
重点：感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想．
难点：用样本的方差估计总体的方差．
教学过程
一、情境引入
我们知道，用样本估计总体是统计的基本思想，正像用样本的平均数估计总体的平均数一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，实际中常常用样本的方差来估计总体的方法．
请同学们一起来看一个问题：
【例2】 某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量(单位：
g)如教材表20－10，根据表中数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
二、互动新授
请同学们分组活动，分别将甲、乙两家的鸡腿中各随机抽取的15个鸡腿的质量组成一个样本，用计算器分别算出样本数据的平均数和方差，然后各组汇报计算结果．
鼓励学生各抒己见，教师最后进行评析：
【解】 检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的15个鸡腿分别组成一个样本，样本的数据平均数分别是
x 甲＝74＋74＋…＋72＋7315
≈75， x 乙＝75＋73＋…＋71＋7515
≈75. 样本数据的方差分别是
s 2甲＝（74－75）2＋（74－75）2…＋（72－75）2＋（73－75）215
≈3， s 2乙＝（75－75）2＋（73－75）2…＋（71－75）2＋（75－75）215
≈8. 由x 甲≈x 乙可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由s 2甲＜s 2乙可知，甲加工厂的鸡腿
质量更稳定，大小更均匀．因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿．
三、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
本节课主要学习了用样本估计方差：考察总体的方差时，如果所要考察的总体包含许多个体，或者考察本身带有破坏性，实际中常常用样本的方差来估计总体的方差．用样本估计总体是统计的基本思想．
四、板书设计
五、教学反思
本节课以生活中的实例引入，旨在利用课堂45分钟师生双边的活动过程，为学生能动地掌握知识、发展能力、提高素养营造良好的氛围，铺设合理的途径，以求最大限度地发挥数学教学的功能，提高综合运用统计知识来解决实际问题的能力．让学生积极主动地参与教学活动的整个过程，使他们的学习态度、情感意志和个性品质等都得到不同程度的提高．通过交流、讨论、回答等一系列学习活动，激活课堂气氛，突破教学重、难点，使学生在轻松愉快的氛围中扎实地掌握要领并灵活运用．通过对实际问题的研究，让学生深刻认识抽样工作的重要性，领会用样本估计总体的思想，感受数学在生活中的广泛应用．同时，在教学中
教师要引导学生全方位地观察问题、分析问题，体会角度不同，得出的结论往往也不同．本节课例题的选用贴近现实生活，贴近学生生活，能进一步激发学生学习的热情，体现数学在现实生活中应用的实际意义．
导学方案
一、学法点津
学生在考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，那么，依据用样本估计总体的统计思想．实际中常常用样本的方差来估计总体的方差．同时还应注意，产品质量的好坏要先比较平均数，若平均数相差较小才需比较方差．
二、学点归纳总结
1.知识要点总结
考察总体的方差时，常常用样本的方差来估计总体的方差．
2.规律方法总结
总体的方差是所有数据的方差，样本的方差是由在整个数据中抽取的样本所求得的方差．其主要区别是总体方差在考察数据波动性时相当准确，但数据数量多的时候不易计算；而样本方差易于计算，但考虑波动性时，常出现误差．
第二课时作业设计
一、选择题
1．某地统计部门公布最近5年国民消费指数增长率分别为8.5%，9.2%，9.9%，10.2%，9.8%，业内人士评论说：“这五年消费指数增长率之间相当平稳”，从统计角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据哪个统计量比较小( )．
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数2．某市为了了解居民用水情况，在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：
那么关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是( )．
A．众数是6 B．极差是2 C．平均数是6 D．方差是4 3．一个样本的方差为零，若中位数是x，则它的平均数( )．
A．等于x B．不等于x C．大于x D．小于x
二、填空题
4．甲、乙两种产品进行对比试验，得知乙产品比甲产品的性能更稳定，如果甲、乙两种产品抽样数据的方差分别是s2甲和s2乙，那么它们的方差的大小关系是________．5．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株禾苗测量高度，计算平均数和方差的结果为x甲＝13，x乙＝13，s2甲＝7.5，s2乙＝21.6，则小麦长势比较整齐的试验田是________(填“甲”或“乙”)．
6．一位射击教练要在两位选手中选一位去参加比赛，但在选择时，他犯难了，原因是这两位选手各射靶5次，他们的平均成绩一样，请你给教练提出建议．一般情况下，通过比较他们成绩的________大小，就可以选出参赛选手．
三、解答题
7．八年级学生进行了五次体育模拟测试，甲同学的测试成绩如下表，乙同学的测试成绩折线统计图如下图所示.
次数一二三四五
分数46 47 48 49 50
Ｋ
甲、乙两名同学在这五次体育模拟测试中，谁的成绩比较稳定？请说明理由．
8．为了从甲、乙、丙三位同学中选派一位或两位参加数学竞赛，下表是甲、乙、丙三位同学前五次数学测验的成绩(成绩满分100分)：
测验(次) 1 2 3 4 5
甲(分) 70 81 98 96 100
乙(分) 65 85 85 87 98
丙(分) 60 70 95 97 98
(1)请你填写甲、乙、丙三位同学前五次数学成绩的统计表：
统计名称
同学平均数中位数方差
甲89135.2
乙84 85
丙95 251.6
(2)如果只选派一名学生参加数学竞赛，你认为应该派谁，请说明理由．
(3)如果选派两名学生参赛，除了(2)中已选取出的，在其他两名同学中，你认为应该派谁去，并说明理由．
【参考答案】
一、1.A 2.D 3.A
二、4.s2甲＞s2乙 5.甲 6.方差
三、7.解：乙同学的成绩比较稳定，理由：s2甲＞s2乙.
8．解：(1)平均数：84，中位数：96，方差：113.6.
(2)应派甲参加，因为甲的平均成绩比较高．
(3)应派乙参加，因为乙的方差比丙的方差小，成绩比较稳定．。