直线与平面的位置关系

直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
那么这条直线垂直于这个平面.
l
图形语言：
P
α
a
b
符号语言：
a , b , a b P, l a, l b l
例3如图，ABCD A1 B1C1 D1为正方体. (1)试判断AC与D1 D的位置关系 . (2) AC与平面BB1 D1 D垂直吗？为什么？ (3)求证：AC BD1.
直线与平面垂直的定义：
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，
则称这条直线与这个平面垂直.
l
A
垂线 垂面
α
垂足
思考交流：
检验一根圆木柱和板面是否垂直，工人师傅 的做法是：把直角尺的一条直角边放在板面上， 看尺的另一条直角边是否与圆木柱吻合，然后把 直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意， 直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一 条直线）.如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的 直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直，这 是为什么？
3.直线a ∥平面α ，平面α 内有n条交于一点的直 线，那么这n条直线和直线a 平行的 ( B ) （A）至少有一条； （B）至多有一条； （C）有且只有一条；（D）不可能有。
练习：
4.如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的 一条,那么它们的交线和这两条直线平行。
l
a
b
α
β
问题1：将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊（想象成一条直线）与桌 面的位置关系呈什么状态？此时书 脊与每页书和桌面的交线的位置关 系如何？
问题探究2： 直线与平面有什么样的位置关系？ 1.直线在平面内——有无数个公共点； 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a

a


思考交流 问题3：将课本的一边AB紧靠桌面，并绕AB转动， 观察AB的对边CD在各个位置时，是不是都与桌面 所在的平面平行？ C D
巩固练习:
1.下列命题正确的个数是 （ 1 ）若直线 l上有无数个点不在平面 内，则 l // (2)若直线 l与平面 平行，则l与平面 内的任意一直线平行 （3）两条平行线中的一条 直线与一个平面平行， 那么 另一条也与这个平面平 行 （4）若一直线a 和平面 内一直线平行，则a // （A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D） 3个
A
2.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1平行
平面ＢＣ 、平面 CD 1 的平面是___________________. 1
D A
1
1
C B
1
1
D A B
C
归纳小结，理清知识体系
1.判定直线与平面平行的方法：
（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行； （2）判定定理：（线线平行
练习：
1.如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ D ）
A 只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。
2.直线a ∥平面α ，平面α 内有n条互相平行的直 线，那么这n条直线和直线a( C ) (A) 全平行； （B）全异面； （C）全平行或全异面； （D）不全平行或不全异面。
（2）当一条直线和一个平面平行时，过该 直线可作多少个平面与已知平面相交？相交 的交线与这条直线又有怎样的位置关系？
（二）线面平行的性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线 的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。
l // l m
线面平行
β
l
l // m
m
α
线线平行
例2 如图，直线AB//平面，经过AB的两个 平面和分别和平面交于直线a, b. 求证：a // b
练习
见课本第122页练习 1，2，3
直线与平面垂直的性质定理：
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直 线平行。
若m , n , 则m // n
线面角相关概念
平面的斜线 平面的垂线
斜足A
l
P
垂足B
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α
斜线PA在平面内的射影
A
B
斜线PA与平面所成的角为PAB
1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影 所成的角
9.3 直线与平面的位置关系
阅读与思考：
1.空间直线与平面有几种位置关系？
2.直线与平面平行的判定定理是什么？
3.直线与平面平行的性质定理是什么？
4.直线与平面垂直的判定定理是什么 ？
5.直线与平面垂直的性质定理是什么？
6.直线与平面所成的角的范围是什么？
问题探究1：
如图，当门关着时，门的四边与门框是在同一平面 内的，对边平行，邻边相交。 （1）当门打开时，门的四边所在的直 线之间有什么位置关系？ （2）当门打开时，门的四边所在的直 线与门框所在的平面有什么位置关系？
(线线平行 线面平行)
a
b
符号表示：
a b a // a // b
感受校园生活中线面平行的例子:
天花板平面
感受校园生活中线面平行的例子:
球场地面
定理的应用
例1. 如图，空间四边形ABCD中，
E、F分别是 AB，AD的中点.
E B
A
F D C
求证：EF∥平面BCD.
变式1:
1.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分
AE AF 别为AB、AD上的点，若 EB FD ，则EF
EF//平面BCD 与平面BCD的位置关系是_____________.
A
F E B D C
反思~领悟：
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、 梯形的中位线、平行线的判定等来完成。 3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平 行”，缺一不可。
线面平行）；
a b a // a // b
2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可
以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行线的判定等来完成。
问题探究：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a a
b
α α
b
2.平面的垂线与平面所成的角为直角
3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这 条直线与平面所成的角的00角 一条直线与平面所成的角的取值范围是 [0,900 ]
例4如图，在棱长为 1的正方体ABCD A B C D 中，求： 1 1 1 1 (1) BB 与底面ABCD垂直吗？为什么？ 1 （2）求AB 与底面ABCD所成的角的大小 . 1
分析：要证明线面平行只需证明线线平行， 即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已 知的条件怎样找这条直线？
定理的应用
例1. 如图，空间四边形ABCD中，
E、F分别是 AB，AD的中点.
E B
A
F D
求证：EF∥平面BCD.
证明：连结BD.
∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD（三角形中位线性质） EF 平面BCD BD 平面BCD EF// 平面BCD FE//BD
问题4:直线AB、CD各有什么特点呢？ 有什么关系呢？
问题5：从中你能得出什么结论？ A B
CD是桌面外一条直线， AB是桌面内一条 直线， CD ∥ AB ，则CD ∥桌面 猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一 条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
(一)直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行 .