8截切-圆球(完结)
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第6讲--第8章_截切_
•
画出截交线的投影--用棱线法或棱面法 求出交线。
确定截交线的投影特性
知识点8.2 平面与平面体相交 8.2.2 平面截切体的画图 例题分析
例1：求四棱锥被截切 后的俯视图和左视图。
(4) 3 1 1 4
● ●
2
●
2
●
4 3
● ● ●
•
•
分析棱线的投影
知识点8.5 应用实例
半缺固定顶尖
精密轻型回转顶尖
外旋式数控回转顶尖
知识点8.5 应用实例 8.5.2 应用实例：来自最新科研成果的案例
《nature》
知识点8.5 应用实例
例8：四棱柱被平面ABC截切后的投影（拓展内容）
B A
(b) p (d )
M
a f
m
b
p
a B f e F C E A D
求截交线的实质是 求两平面的交线
知识点8.2 平面与平面体相交 8.2.2 平面截切体的画图
如何正确地画出截交线的投影？ ⒈ 求截交线的两种方法：
• 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
•
求各棱面与截平面的交线→棱面法。
确定截交线的空间形状
⒉ 求截交线的步骤： • • 空间分析—平面体的形状、截平面与体的相对位置。 投影分析--截平面与投影面的相对位置。
例6：求半球体截切后 的俯视图和左视图 两个侧平面截切圆球时，截交 水平面截切圆球时，截交线的 投影在侧视图上积聚为直线， 线的投影在俯视图上积聚为直 在俯视图上为部分圆弧。 线，在侧视图上为部分圆弧。
知识点8.4 平面与回转体相交（二）
例6：求半球体截切后 的俯视图和左视图 两个侧平面截切圆球时，截交 线的投影在俯视图上积聚为直 线，在侧视图上为部分圆弧。
8截切
23: 例23:求作顶尖的侧面投影
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● ● ● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系,然后分别求出这些基本回 以及它们的连接关系,然后分别求出这些基本回 转体的截交线,并依次将其连接. 转体的截交线,并依次将其连接.
●
例24:完成截切复合回转体的投影 24:
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状? 形状? 特性? 特性? 一根轴的端点? 一根轴的端点?
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
圆锥被正垂面截切, 例15: 圆锥被正垂面截切, 求截交线,并完成三面投影. 求截交线,并完成三面投影.
16: 例16:补全圆锥截切后的正面投影 解题步骤
2. 平面截切体的画图 关键是正确地画出截交线的投影. (1) 求截交线的两种方法: 求各棱线与截平面的交点→棱线法. ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法. ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法. 求各棱面与截平面的交线→棱面法. 求截交线的步骤: (2) 求截交线的步骤: ★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与立体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的 交线,并连接成多边形. 交线,并连接成多边形. ★补全轮廓线的投影
例4:补全三棱锥截切后的水平 投影和侧面投影
解题步骤
1.形体分析 2.求棱线与截切平面的交点 3.整理图形,加深图线
y
y
y
y
求八棱柱被平面P截切后的水平投影. 例5: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影.
P′
4 ′≡ 5 ′ 7〃 8〃 5 6 5〃 6〃 3〃 4〃 2〃 1〃 Ⅷ Ⅰ Ⅶ Ⅵ Ⅲ Ⅱ Ⅴ Ⅳ
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首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系,然后分别求出这些基本回 以及它们的连接关系,然后分别求出这些基本回 转体的截交线,并依次将其连接. 转体的截交线,并依次将其连接.
●
例24:完成截切复合回转体的投影 24:
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状? 形状? 特性? 特性? 一根轴的端点? 一根轴的端点?
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
圆锥被正垂面截切, 例15: 圆锥被正垂面截切, 求截交线,并完成三面投影. 求截交线,并完成三面投影.
16: 例16:补全圆锥截切后的正面投影 解题步骤
2. 平面截切体的画图 关键是正确地画出截交线的投影. (1) 求截交线的两种方法: 求各棱线与截平面的交点→棱线法. ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法. ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法. 求各棱面与截平面的交线→棱面法. 求截交线的步骤: (2) 求截交线的步骤: ★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与立体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的 交线,并连接成多边形. 交线,并连接成多边形. ★补全轮廓线的投影
例4:补全三棱锥截切后的水平 投影和侧面投影
解题步骤
1.形体分析 2.求棱线与截切平面的交点 3.整理图形,加深图线
y
y
y
y
求八棱柱被平面P截切后的水平投影. 例5: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影.
P′
4 ′≡ 5 ′ 7〃 8〃 5 6 5〃 6〃 3〃 4〃 2〃 1〃 Ⅷ Ⅰ Ⅶ Ⅵ Ⅲ Ⅱ Ⅴ Ⅳ
8截切-圆球(完结)解析
2018/10/15
1
圆锥
圆球
第三章 立体的表面交线
第一节 截交线 第二节 相贯线
2018/10/15
2
二、曲面立体的截交线
回转体的基本形式
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3
1. 圆柱的截交线
PV
PV PV
P
P
P
垂直 圆
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倾斜 椭圆
平行 两平行直线
4
2. 圆锥体的截交线
α θ
α θ
12
小 结
第三章 立体表面的交线 第一节 截交线
二、曲面立体的截交线
3. 圆球的截交线 （1）单一平面截切圆球的截交线的画法： （2）多体截切圆球的截交线的画法： 4.复合回转体被截切截交线的画法：
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13
8
4. 复合回转体的截切
例2：求作顶尖的俯视图
(1)截平面为水平面 空间分析
圆锥被截截切 投影分析 小圆柱被截切
求截交线
大圆柱被截切
注意：
（1）要逐个截平面分析和 绘制截交线。 （2）要逐个分析被截切的 几何体和绘制截交线。
(2)截平面为正垂面 (3)截平面的交线 (4)素线的投影
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α
θ
α
两相交直线
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圆
椭圆
抛物线
双曲线பைடு நூலகம்
5
3.圆球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根 据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投 影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
Ph
平行于某一投影面
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垂直于某一投影面
1
圆锥
圆球
第三章 立体的表面交线
第一节 截交线 第二节 相贯线
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2
二、曲面立体的截交线
回转体的基本形式
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3
1. 圆柱的截交线
PV
PV PV
P
P
P
垂直 圆
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倾斜 椭圆
平行 两平行直线
4
2. 圆锥体的截交线
α θ
α θ
12
小 结
第三章 立体表面的交线 第一节 截交线
二、曲面立体的截交线
3. 圆球的截交线 （1）单一平面截切圆球的截交线的画法： （2）多体截切圆球的截交线的画法： 4.复合回转体被截切截交线的画法：
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4. 复合回转体的截切
例2：求作顶尖的俯视图
(1)截平面为水平面 空间分析
圆锥被截截切 投影分析 小圆柱被截切
求截交线
大圆柱被截切
注意：
（1）要逐个截平面分析和 绘制截交线。 （2）要逐个分析被截切的 几何体和绘制截交线。
(2)截平面为正垂面 (3)截平面的交线 (4)素线的投影
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α
θ
α
两相交直线
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圆
椭圆
抛物线
双曲线பைடு நூலகம்
5
3.圆球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根 据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投 影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
Ph
平行于某一投影面
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垂直于某一投影面
第5章被截切几何体的投影习题解
5-8完成截切空心圆柱的三面投影图。 (2)
作图步骤
想看立体模型？请单击这里
1.画完整圆柱的水平投影 2.求水平截平面的水平投影和侧面投影 3.求正垂截平面的水平投影和侧面投影 （1）求椭圆上点的侧面投影 （2）画椭圆的侧面投影 4.擦去多余线,整理转向轮廓线的投 影, 校核并加深图线 此题为横躺圆柱套被一水平面和 一正垂面截切，水平面截交线为矩形， 其侧面投影与圆柱侧面投影重合，水 平投影反映实形。正垂面截交线为椭， 其侧面投影与圆柱侧面投影重合，水 平投影应取点求出椭圆。截平面间及 截平面与立体上平面的交线投影不应 丢。
想看立体模型？请单击这里
提示：请单击答案去掉圆点，再单击关闭右侧文字
5-9完成截切圆锥的三面投影图。 (4)
作图步骤 1.求特殊点的正面投影 2.求一般点的正面投影 3.画交线的正面投影 4.整理轮廓素线的投 影，擦 去多余线,校核并加深图线
此题为直立圆锥被前后 对称的平行于轴线的两正平 面截切，截交线均为双曲线。 正面投影反映实形。
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5-6完成截切圆柱的三面投影图。
(2)
作图步骤 1.画完整圆柱的水平投影 2.求侧平截平面交线的水平投影 3.求正垂截平面交线的投影 (1).求特殊位置点的水平投影 (2).求一般位置点的水平投影 (3).依次光滑连接所求椭圆上 点的水平投影线 (4).画正垂截平面与圆柱左端 面交线的侧面投影 4. 求两截平面交线的投影 截平面为一正垂面和一侧平 5.面，截交线分别为椭圆和圆。 擦去多余线,整理转向轮廓素 线的投影并加深图线 两平面交线应画出。
想看立体模型？请单击这里
5-1 完成截切立体的三面投影 (3)
作图 1.画完整正三棱柱的侧面投影
截交线与相贯线习题
截交线与相贯线习题第五节截交线与相贯线截交线和相贯线是⽴体表⾯常见的两种表⾯交线，⽴体被平⾯截切，表⾯就会产⽣截交线，两⽴体相交，表⾯就产⽣相贯线，⼆者有共同点，也有不同点。
⼀、截交线的特性及画法【考纲要求】1、掌握特殊位置平⾯截断棱柱和棱锥的截交线画法；2、掌握特殊位置平⾯截断圆柱、圆锥、圆球的截交线画法；3、掌握简单的同轴回转体的截交线画法；【要点精讲】（⼀）截交线的定义：由平⾯截断基本体所形成的表⾯交线称为截交线。
（⼆）截交线的特性：1、任何基本体的截交线都是⼀个封闭的平⾯图形（平⾯体是平⾯多边形，曲⾯体是平⾯曲线或由平⾯曲线与直线共同组成的图形）；2、截交线是截平⾯与基本体表⾯的共有线，截交线上的每⼀点都是截平⾯与基本体表⾯的共有点（共有点的集合）。
（三）求截交线的⽅法：①积聚性求点法；②辅助（素）线法；③辅助平⾯法。
（四）求截交线的步骤：1、确定被截断的基本体的⼏何形状；2、判断截平⾯的截断基本体的位置（回转体判别截平⾯与轴线的相对位置3、想象截交线的空间形状；4、分析截平⾯与投影⾯的相对位置，弄清截交线的投影特性；5、判别截交线的可见性，确定求截交线的⽅法；6、将求得的各点连接，画出其三⾯投影。
（五）平⾯体的特殊截交线及画法：1、特性：平⾯体的截交线都是由直线所组成的封闭的平⾯多边形。
多边形的各个顶点是棱线与截平⾯的交点，多边形的每⼀条边是棱⾯与截平⾯的交线。
2、画法：求平⾯体截交线的⽅法主要是⽤积聚性求点法和辅助线法。
画平⾯体的截交线就是求出截平⾯与平⾯体上各被截棱线的交点（即平⾯多边形的各个顶点），然后依次连接即得截交线。
根据截交线是截平⾯与基本体表⾯的共有线，截交线上的点也是截平⾯与基本体表⾯的共有点，我们所要求掌握的是特殊位置平⾯截切平⾯⽴体的截交线，我们可以利⽤积聚性求点法或辅助平⾯法，求出截平⾯与平⾯⽴体的各棱线的交点，然后依次连接，也就求出了截交线。
例如图5-1 所⽰，先根据截交线具有积聚性投影的正⾯投影和具有收缩性的⽔平投影确定出截平⾯与六棱柱棱线的六个交点（截交线平⾯多边形的六个顶点），再利⽤积聚性求点法求出其侧⾯投影。
第三章 集合体
综合起来想整体
抓住位置特征视图，分析各部分间的相互位置 关系，综合起来想象出物体的整体形状。
形状特征视图 ——最能反映物体形状特征的那个视图。
俯视图为形状特征视图
位置特征视图
——最能反映物体位置特征的那个视图。
位置特征视图
（一）从反映形状特征的视图入手，几个视图联系起来看
特征视图
形体的特征视图
第三章 集合体
§3.1 集合体的构形 §3.2 集合体表面连接处的投影分析 §3.3 集合体三视图的绘制
§3.4 看集合体的三视图
内螺纹
外螺纹
§3.1 集合体的构形
一、集合体与形体分析法 二、集合体构形的基本方法
一、集合体与形体分析法
任何空间形体，不论形状是简单，还是复杂， 都可以把它们看成是由若干基本体在给定的空间位 置上按一定操作规则集合形成的。这种认识空间形 体的方法称为形体分析法，而将除基本体以外的空 间形体统称为集合体。
4
注意:当截平面与圆柱轴线交线交 角为45°时,截交线投影为圆.
四、两回转体相交
相贯线为二立体表面公共线 相贯线 相贯线
1.两回转体相交,交线为相贯线.
2.相贯线为二立体表面的公共线。 3.相贯线一般为封闭的空间曲 线.
相贯线 圆柱与圆锥相交 圆柱与圆柱相交 封闭的空间曲线
4.特殊情况下,相贯线为平面曲线或直线.
三视图的画法
4.布置视图 应考虑尺寸标注和标题栏的位置合理布置各
视图位置。画出作图基准线，即对称中心线、主要回转体的轴
线、底面及重要端面的位置线。 5.绘制底稿 6.检查、描深 按标准线型描深。 叠加型组合体应按照形体分析法逐个画出各 底稿完成后，应认真检查，确认无误后，
截交线例题
33.求圆球截交线
34.求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
(4') 3' 2' 1'
3" 4"
2"
1"
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。
4• 1
3 2•
作出各对应点的投影， 依次连接各点。
补全棱锥体的外形投影。
被截切后的投影图：
线——正平线，椭圆的短轴是垂 直与（长42）轴补再的全作正侧一垂面般线转点。向。轮廓线。
Ⅳ Ⅰ
正垂线
Ⅱ Ⅲ
正平线
2’ 5’6’ 3’4’
7’8’
1’
8 46
1
2
7 35
2”
6”
5”
4”
3”
8”
7”
1”
30 已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影。
1’ (4)’
(2)’
3’
(8)’ (12)’ 5’ 7’ 11’ (6)’
q′ e′
f′ f″(g″) q″
d′
e″(d″) P″
a′
c′
a″(c″)
P′ b′
b″
e q a
b
d
P c
A,B,C在棱线上
24. 求斜截圆柱体的投影
分析：截交线正面投影积聚为直线，水平投影在 圆周上。可利用V面和H面投影求截交线侧面投影。 作图步骤：（1）求特殊点；（2）求一般点；
（3）光滑连接各点并完善图形。
请点击鼠标左键显示左视图形
请点击鼠标左键显示后视图形
请点击鼠标左键显示俯视图形
请点击鼠标左键显示右视图形
工图08-圆柱、圆锥、圆球的截切
假设 全部截通
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线水的平侧投面影投为影部为分部圆分弧圆，弧侧， 水面平投投影影积积聚聚为为直直线线。。
例8：完成半球体被截切后的水平和侧面投影。
同轴回转体的截切
首先分析同轴回转体由哪些基本回转体组成以及它们 的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并 依次将其连接。
2024/8/29
27
★判别可见性，光滑连接各点；
★分析轮廓线的投影。
例7: 已知圆锥被正垂面截切，试完成水平投影并求侧面 投影。
球体的截切
1、平面与圆球相交，截交线的空间形状永远是圆。 2、由于截平面与投影面的相对位置不同，其截交 线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线段。
例8：完成半球体被截切后的水平和侧面投影。 注意 圆心位置， 半径长度
Qv
截平面之 间的交线
Pv
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13
例5：求作圆柱被截切后的侧面投 影。
Q1
Q2
解题步骤
一.空间及投影分析；
二.求截交线；
P1
1.绘制未截切圆柱
的投影；
2.分析、整理轮廓
素线的投影；
3.检查。
例5：求作圆柱被截切后的侧面投
影。Q1Q2 NhomakorabeaP1例6：求圆筒被截切后的侧面投影。
1'(3 ')
第三章 基本体和曲面的投影
§3-1 平面体的投影 §3-2 曲面体的投影 §3-3 曲面的投影
2024/8/29
1
第四章 立体截切与相贯的投影
§4-1 平面体的截切 §4-2 曲面体的截切
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2
回转体截切
截交线的性质：
8 平面与立体相交-截交线
截切立体
二、截交线的性质： 截交线的性质： 1、截交线是截平面与立体表面的共有 线，线上的任意一点都是截平面与立 体表面的共有点。 2、截交线是一个封闭的平面多边形。 3、截交线的形状取决于立体表面形状， 以及截平面与立体的相对位置。
截交线
三、截交线的求法： 截交线的求法： 画截切立体的投影时，为了清楚地表达该立体的 形状，既要画出截切立体表面上截交线的投影，又要 画出立体轮廓线的投影。
[例题 例题1] 求圆锥截交线。 例题
1.分析 1.分析 截平面为正垂面 截交线为椭圆； ，截交线为椭圆；截交线 的水平投影和侧面投影均 为椭圆； 为椭圆；
3'
2.求出截交线上的特殊点 2.求出截交线上的特殊点 Ⅰ、 Ⅱ、Ⅳ； 3.求出一般点 3.求出一般点Ⅲ、 Ⅴ； 4.光滑顺次连接各点， 4.光滑顺次连接各点，作 光滑顺次连接各点 出截交线，判别可见性； 出截交线，判别可见性； 5．整理轮廓线
五、平面与组合回转体相交
[例题1] 已知顶尖截切后的正面、侧面投影，求作水平投影。 例题1]
分析：
a' g'h' d'e' • f '• • • • b' (c') a" • e" d" c"• • • • • b" h" f " g"
e
h • • f • g • • c •a • • d b
顶尖头是由圆锥和圆柱相 连,被两个平面截切而成，轴线 为侧垂线，截平面分别为侧平 面和水平面。 侧平面与圆柱轴线垂直，与 圆柱的截交线为圆弧，正面投 影积聚为直线，侧面投影为圆 弧的实形。 水平面平行于回转轴，与 圆柱的截交线为开口矩形，与 圆锥的截交线为双曲线，其正 面和侧面投影均为直线 。
立体的切割及截交线画法
椭圆得长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角得 变化而改变。
45°
什么情况下
截投平影面为与圆圆呢柱？轴 线成45°时。
例910:求 ：左求视左图视图
例11:求圆柱截交线
1' 2'3'
1" 3"
4'5'
5"
6'7'
8'
5
7" 8"
7
3
8
1
6
2
4
解题步骤
1、分析 截平面为正垂
2"
面,截交线得侧面投影为 圆,水平投影为椭圆;
查截交线投影得类似性
注:截交线得顶点就是各棱线与截平面得交点。
例2:求四棱锥被截切后得俯视图和左视图。
1(2)
2●
1●
2
三面共点：
Ⅰ、Ⅱ两点分别同
1
时位于三个面上。
注:两个截切平面相交必有交线。
例 3: 求八棱柱被平面P截切后得俯视图。
P 4≡5
2≡3≡6≡7
1≡8
8
7
5 6
3 4
1
2
5 7
8
6 3
例1:求半球体截切后得俯视图和左视图。
例2: 求圆球截交线
1'
2'
2"
3'
3"
1
2
3
解题步骤
1、分析 截平 面为两个侧平面 和一个水平面, 截交线为圆弧和 直线得组合;截 交线得水平投影 和侧面投影均为 圆弧和直线得组 合; 2、求出截交线
上得特殊点Ⅰ、 Ⅱ;
3、求出各段圆 弧; 4、判别可见性, 整理轮廓线。
工程制图与识图4-6：圆球切割体
2再画主视图3画俯视图工程制图与识图李奉香主编电子课件机械工业出版社工程图是工程语言是工程技术人员必备技能工程制图与识图李奉香主编电子课件机械工业出版社工程图是工程语言是工程技术人员必备技能4画左视图工程制图与识图李奉香主编电子课件机械工业出版社工程图是工程语言是工程技术人员必备技能工程制图与识图李奉香主编电子课件机械工业出版社工程图是工程语言是工程技术人员必备技能加深线工程制图与识图李奉香主编电子课件机械工业出版社工程图是工程语言是工程技术人员必备技能工程制图与识图李奉香主编电子课件机械工业出版社工程图是工程语言是工程技术人员必备技能想出空间形状工程制图与识图李奉香主编电子课件机械工业出版社工程图是工程语言是工程技术人员必备技能工程制图与识图李奉香主编电子课件机械工业出版社工程图是工程语言是工程技术人员必备技能工程制图与识图李奉香主编电子课件机械工业出版社工程图是工程语言是工程技术人员必备技能工程制图与识图李奉香主编电子课件机械工业出版社工程图是工程语言是工程技术人员必备技能练习
(4)画左视图
(5)擦多余线 加深线
【补例4-6-1】
绘制左视图 想出空间形状
课堂训练
• 可选作业： • 《工程制图与识图习题集》 • P49:4-20-2，3
作业
• 可选作业： • 《工程制图与识图习题集》 • P49:4-20
图4-41b
2’ 3’（4’） 1’
求特殊点
求点 的侧面投影
求特殊点
求一般点
作长轴点： 1’2’ 直线的中点
作辅助水平纬线圆 求另两面投影
再求一般点
连线
整理
【例4-27】绘制如图4-42a所示开槽半圆球三视图。
（1）先画出半球完整的三视图； (2)再画主视图 (3)画俯视图
(4)画左视图
(5)擦多余线 加深线
【补例4-6-1】
绘制左视图 想出空间形状
课堂训练
• 可选作业： • 《工程制图与识图习题集》 • P49:4-20-2，3
作业
• 可选作业： • 《工程制图与识图习题集》 • P49:4-20
图4-41b
2’ 3’（4’） 1’
求特殊点
求点 的侧面投影
求特殊点
求一般点
作长轴点： 1’2’ 直线的中点
作辅助水平纬线圆 求另两面投影
再求一般点
连线
整理
【例4-27】绘制如图4-42a所示开槽半圆球三视图。
（1）先画出半球完整的三视图； (2)再画主视图 (3)画俯视图
5截切-平面立体(完结)
2.平面立体的截交线的作图方法
单一截平面：空间分析、投影分析、求截交线、分析 棱线的投影、检查截交线投影的类似性 多截平面：（1）要逐个截平面分析和绘制截交线。 （2）当几何体只有局部被截切时，先为整 体截切，再取局部。 （3）注意分析截平面的交线的投影。
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10
平面
曲面
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1
平面
曲面
第三章 立体的表面交线
第一节 截交线
第二节 相贯线
2015-6-3
2
平面 平面
曲面
第一节 截交线
1、基本概念：
截切：用一个平面与立体相交，截去
立体的一部分。 截平面 —— 用以截切物体 的平面。
截平面
截交线
截交线 —— 截平面与物体
表面的交线。 截断面 —— 因截平面的截 切，在物体上形成的平面。
1＇ P
a a
1
b
s
2
c ★ 空间分析 c
3
a (c)
1″
b
Ⅲ
★ 投影分析
Ⅰ
★ 求截交线 ★ 分析棱线的投影
Ⅱ
b ★ 检查 尤其注意检查截
2015-6-3Βιβλιοθήκη 交线投影的类似性6
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
P2
P1
P1
1(2）
●
2
●
注意：
●
1
●
3 4 P2 （1）要逐个截平面分析 3 (4） 4 ★ 空间分析 三面共点： 和绘制截交线。 2
1.特点：封闭性和共有性
2.求截交线：平面立体的截交线的 投影，实质上就是求截平面与立体 各被截棱线的交点的投影。
第八章切割体的视图
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
6‘ （8'）
(9)’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
二、 平面与圆锥相交
根据截平面的不同位置有五种情况：
P
P P
圆 P
椭圆 P
两条素线
P平行于圆锥上一 条素线——抛物线
8' • 6'(7 ') 4 ' (9 ') • (5') • 7
•
8"
5" • 7"
•
•
9 5
•
4" 6"
•
b •3 • 1
6
•
4
•
8
•
a
•
•2
完成后的投影图
例4：求开槽圆柱的左视图
5'（6'） 6" • • 1'（2'） 2" •• • • 3'（4'） 4"
•
5"
• • 1" 3"
2
6 • •4
截平面为垂直面，在所垂直的 投影面上，截交线的投影为直线。 在其它投影面上截交线的投影为椭 圆。
例13：求半球体截切后的俯视图和左视图
两个侧平面截圆球的截交 线的投影，在侧视图上为部 分圆弧，在俯视图上积聚为 直线。
例14：
求圆球截交线
解题步骤 1 分析 截交线的 水平投影和侧面投 影均为圆弧和直线 的组合；
6'（7'） 4' （5'） 5"
1’
1’’
7’
6‘ （8'）
(9)’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
二、 平面与圆锥相交
根据截平面的不同位置有五种情况：
P
P P
圆 P
椭圆 P
两条素线
P平行于圆锥上一 条素线——抛物线
8' • 6'(7 ') 4 ' (9 ') • (5') • 7
•
8"
5" • 7"
•
•
9 5
•
4" 6"
•
b •3 • 1
6
•
4
•
8
•
a
•
•2
完成后的投影图
例4：求开槽圆柱的左视图
5'（6'） 6" • • 1'（2'） 2" •• • • 3'（4'） 4"
•
5"
• • 1" 3"
2
6 • •4
截平面为垂直面，在所垂直的 投影面上，截交线的投影为直线。 在其它投影面上截交线的投影为椭 圆。
例13：求半球体截切后的俯视图和左视图
两个侧平面截圆球的截交 线的投影，在侧视图上为部 分圆弧，在俯视图上积聚为 直线。
例14：
求圆球截交线
解题步骤 1 分析 截交线的 水平投影和侧面投 影均为圆弧和直线 的组合；
6'（7'） 4' （5'） 5"
第四章 立体的表面交线
第四章立体的表面交线形体表面常见到两种交线，一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线，另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线，如图4-1所示。
图4-1立体表面交线实例第一节平面体的截交线基本形体经平面切割后形成新的形体，切割基本形体的平面称为截平面，截平面与形体表面的交线称为截交线，由截交线围成的平面图形称为截面（或断面），它是新形体的一个表面，如图4-2所示。
截交线是相交两表面的共有线，也是它们的分界线，这些分界线是由一系列共有点组成的，因此求截交线可归纳为求立体表面共有点的问题。
图4-2 平面体截交线的概念一、平面体表面取点平面体表面取点就是根据平面体表面上的一个投影，求作该点其余的投影，并判别其可见性。
在特殊位置平面上的点可利用该平面的积聚性投影作图求得；在一般位置平面上的点，则要利用“找点先找线”的方法求得，即过已知点作一辅助直线，求出辅助直线的投影，再求辅助直线上已知点的投影。
其次要注意判别点的可见性，即点的投影的可见性与它所在立体表面的可见性一致。
【例4-1】如图4-3所示，已知三棱柱的表面上点A和点B的正面投影（a’）和b’，求出它们的水平投影和侧面投影。
图4-3 三棱柱表面取点分析：由图4-3（a）可以看出，点A的正面投影不可见，可判断A在三棱柱的后棱面上；点B正面投影可见，又位于右侧，可判断B在三棱柱的右侧棱面上，由于三棱柱棱面的水平投影及后棱面的侧面投影均有积聚性，因此可利用积聚性直接作图。
作图：①根据“长对正”的投影规律，如图4-3（b）所示，由点a´和b’向下引一条铅垂线与正三棱柱后棱面及右侧棱面的水平投影（斜直线）相交，交点即为A点、B点的水平投影a和b。
②根据“高平齐，宽相等”的投影规律，由a＇、b＇和a、b求得a"、b"。
③判别可见性，点A所在的平面，其水平投影和侧面投影均具有积聚性，所以无需判别它的可见性。
点B所在的右侧棱面其侧面投影不可见，故b" 不可见，标记为（b"）。
7截切-圆锥(完结)PPT课件
空间分析 投影分析 求截交线
(1) 求特殊点： 轮廓线上的点： 最高、最低、最左、最 右、最前、最后
(2) 求中间点：
(3) 依次平滑连接各点； (4) 分析素线的投影；
21.03.2021
3
2. 圆锥体的截交线
α
α
θ
θ
α
α
θ
圆
椭圆
21.03.2021
等腰三角形
封闭的 抛物线
封闭的 双曲线
4
例1: 圆锥被正垂面截切，求截交线, 并完成三视图（单一平面截切）。
找特殊点补充中间点光滑连接各点分析轮廓线的投影整理后的三视图28032021补画圆锥被截切的截交线并完成三视图多平面截切
21.03.2021
1
圆锥
圆球
第三章 立体的表面交线
第一节 截交线
二、曲面立体的截交线
1. 圆柱的截交线
PV
PV PV
P
P
P
垂直
倾斜
平行
圆
椭圆
矩形
21.03.2021
2
1. 圆柱的截交线
——辅助线法
21.03.2021
9
小结
第三章 立体表面的交线
二、曲面立体的截交线
2. 圆锥的截交线
1)空间分析； 2)投影分析； 3)求截交线；
求特殊点：确定交线的范围 求中间点；确定交线的弯曲趋势 依次平滑连接各点； 整理投影图：分析圆柱体轮廓素线的投影：
4)检查截交线投影的类似性； 5)分析素线的投影
21.03.2021
10
（2）当几何体只有局部
被截切时，先假想为整体
被截切，求出截交线后分
析截平面的交线。
工程制图-第四章-截切体与相贯体的投影
7 8
21 6 3 45
例3 已知主视图和左视图，求俯视图。
正垂面
侧垂面
空间与投影分析：四棱柱被 正垂面和侧垂面截切
结束
先画出完整的四棱柱俯视图，再找出相似形。
正垂面
正垂面 的类似形
侧垂面
正垂面 的类似形
侧垂面的 类似形
侧垂面的 类似形
结束
二、回转截切体的投影
• 截交线的分析
截交线是截平面与回转面的公有线
结束
一、表面取点法
就是根据投影具有积聚性的特点，由两回转体表面上若干 共有点的已知投影求出其它未知投影，从而画出相贯线的投 影。 例 求作两垂直相交的圆柱的相贯线。
作图方法：
• 先找特殊点 • 再求中间点 (用表面取点法) • 连接各点并判可见性
结束
找特殊点(最左点2, 最右点1, )的三视图
结束
1′
1″
5′
（5″）
1
5
结束
由左视转向点2 和点8 的主视图，作出点2 和点8 的左视图与俯
视图。
1′ 2′（8′）
5′
1″
8″
2″
（5″）
yy
28
yy
1
5
结束
用辅助平面法找出点3 和点7 的俯视图与左视图。
1′ 2（′ 8′）
3（′ 7′）
5′
8″ (7″)
1″
2″ (3″)
（5″）
yy
yy
7
28
1
5
3
结束
光顺地连出截交线椭圆的俯视图与左视图，并判断可见性。
结束
3.圆球的截交线
圆球的截交线是圆。截交线的投影为直 线、圆或椭圆三种情况。
21 6 3 45
例3 已知主视图和左视图，求俯视图。
正垂面
侧垂面
空间与投影分析：四棱柱被 正垂面和侧垂面截切
结束
先画出完整的四棱柱俯视图，再找出相似形。
正垂面
正垂面 的类似形
侧垂面
正垂面 的类似形
侧垂面的 类似形
侧垂面的 类似形
结束
二、回转截切体的投影
• 截交线的分析
截交线是截平面与回转面的公有线
结束
一、表面取点法
就是根据投影具有积聚性的特点，由两回转体表面上若干 共有点的已知投影求出其它未知投影，从而画出相贯线的投 影。 例 求作两垂直相交的圆柱的相贯线。
作图方法：
• 先找特殊点 • 再求中间点 (用表面取点法) • 连接各点并判可见性
结束
找特殊点(最左点2, 最右点1, )的三视图
结束
1′
1″
5′
（5″）
1
5
结束
由左视转向点2 和点8 的主视图，作出点2 和点8 的左视图与俯
视图。
1′ 2′（8′）
5′
1″
8″
2″
（5″）
yy
28
yy
1
5
结束
用辅助平面法找出点3 和点7 的俯视图与左视图。
1′ 2（′ 8′）
3（′ 7′）
5′
8″ (7″)
1″
2″ (3″)
（5″）
yy
yy
7
28
1
5
3
结束
光顺地连出截交线椭圆的俯视图与左视图，并判断可见性。
结束
3.圆球的截交线
圆球的截交线是圆。截交线的投影为直 线、圆或椭圆三种情况。
工程图学典型例题
第27页/共42页
8-11(6)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
第28页/共42页
8-10(6)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
第29页/共42页
8-10(1)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
第30页/共42页
8-10(2)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
第31页/共42页
8-13(4)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
第32页/共42页
8-14(4)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
第33页/共42页
8-2(2)根据立体图及所注尺寸,用1:1比例画出组合 体的三视图。
第34页/共42页
8-2(2)根据立体图及所注尺寸,用1:1比例画出组合 体的三视图。
第35页/共42页
8-2(2)根据立体图及所注尺寸,用1:1比例画出组合 体的三视图。
第13页/共42页
7-4(2)求平面与圆锥体相交的交线。
第14页/共42页
7-4(3)求平面与圆锥体相交的交线。
第15页/共42页
7-4(3)求平面与圆锥体相交的交线。
第16页/共42页
7-5(2)求平面与圆球体相交的交线。
第17页/共42页
7-5(2)求平面与圆球体相交的交线。
第18页/共42页
第7页/共42页
第8页/共42页
7-1(2)完成被截切棱锥的三面投影。
第9页/共42页
7-2(1)完成被截切棱柱三面投影。
第10页/共42页
7-2(2)完成被截切棱柱的三面投影。
第11页/共42页
7-3(3)求平面与圆柱体相交的交线。
第12页/共42页
7-3(5)求平面与圆柱体相交的交线。
8-11(6)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
第28页/共42页
8-10(6)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
第29页/共42页
8-10(1)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
第30页/共42页
8-10(2)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
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8-13(4)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
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8-14(4)根据所给的两视图, 补画第三视图 。
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8-2(2)根据立体图及所注尺寸,用1:1比例画出组合 体的三视图。
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8-2(2)根据立体图及所注尺寸,用1:1比例画出组合 体的三视图。
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8-2(2)根据立体图及所注尺寸,用1:1比例画出组合 体的三视图。
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7-4(2)求平面与圆锥体相交的交线。
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7-4(3)求平面与圆锥体相交的交线。
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7-4(3)求平面与圆锥体相交的交线。
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7-5(2)求平面与圆球体相交的交线。
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7-5(2)求平面与圆球体相交的交线。
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7-1(2)完成被截切棱锥的三面投影。
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7-2(1)完成被截切棱柱三面投影。
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7-2(2)完成被截切棱柱的三面投影。
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7-3(3)求平面与圆柱体相交的交线。
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7-3(5)求平面与圆柱体相交的交线。
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2015-6-3
9
4. 复合回转体的截切
例2：求作顶尖的俯视图
(1)截平面为水平面
圆锥被截截切 小圆柱被截切 大圆柱被截切
(2)截平面为正垂面 (3)截平面的交线 (4)素线的投影
2015-6-3
10
整理后的三视图
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11
思考题：不完整几何体 圆球被正四棱柱截切，求其俯视图和左视图。
2015-6-3
1
圆锥
圆球
第三章 立体的表面交线
第一节 截交线 第二节 相贯线
2015-6-3
2
二、曲面立体的截交线
回转体的基本形式
2015-6-3
3
1. 圆柱的截交线
PV
PV PV
P
P
P
垂直 圆
2015-6-3
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
4
2. 圆锥体的截交线
α θ
α θ
α
θ
α
两相交直线
PW
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7
整理后的三视图
2015-6-3
8
4. 复合回转体的截切
例2：求作顶尖的俯视图
(1)截平面为水平面 空间分析
圆锥被截截切 投影分析 小圆柱被截切
求截交线
大圆柱被截切
注意：
（1）要逐个截平面分析和 绘制截交线。 （2）要逐个分析被截切的 几何体和绘制截交线。
(2)截平面为正垂面 (3)截平面的交线 (4)素线的投影
2015-6-3
圆
椭圆
抛物线
双曲线
5
3.圆球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根 据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投 影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
Ph
平行于某一投影面
2015-6-3
垂直于某一投影面
6
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
PW PH
空间分析 投影分析 注意： 求截交线 （1）要逐个截平面分析 (1)截平面为水平面 和绘制截交线。 (2)截平面为侧平面 （2）当几何体只有局部 (3)截平面的交线 被截切时，先假想为整体 (4)素线的投影 被截切，求出截交线后分 析截平面的交线。
2015-6-3
12
小 结
第三章 立体表面的交. 圆球的截交线 （1）单一平面截切圆球的截交线的画法： （2）多体截切圆球的截交线的画法： 4.复合回转体被截切截交线的画法：
2015-6-3
13