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《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
第6章.刚体的基本运动.ppt
rA rB BA
(6 -1)
2019/11/5
4
3.速度与加速度分布
当刚体平动时，线段AB的长度和方向都不改变，所以 为一常矢量。
把上式对时间t连续取两次导数，于是得：
vA vB aA aB
(6 - 2) (6 - 3)
4.刚体平移的特点:
刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时， 各点具有相同的速度和加速度。
θθ a
Oθ
ω
α
α
a
O
ω
题6—5
2019/11/5
13
例6—1 升降机装置由半径为R=50cm的鼓轮
带动，如图6—6所示。被升降的物体的运动方程为x=5t2（t以
秒计，x以米计）。
求鼓轮的转动方程、角速度、
角加速度以及任意瞬时轮缘上一点
R
M的全加速度的大小和方向。
o
解： 鼓轮作定轴转动，重物作
平动，鼓轮的运动和重物的运动 相互之间的联系是通过缆绳来实 现的。
φ
块侧面ab的坐标为x。按题意有 O
x= v0t。
x
由三角形Oab得
tan x v0t
hh
h
b a
图6—7
A v0 x
2019/11/5
16
故杆OA的转动方程为
arctan(v0t )
h
根据（6—5）式，杆的角速度是
v0
d
dt
h 1 (v0t )2
h2
hv0 v02t 2
a 常量
2019/11/5
9
§6—3 转动刚体上各点的速度和加速度
ω O'
A
第八章 刚体的基本运动
C0
C
T
最大偏角； T 表示摆的周 期。已知摆的重心 C 到轴 O 的距离为 l ，试求在初瞬时
C1
和经过平衡位置 (φ=0) 时重
心的速度和加速度。
16
例题
刚体的基本运动
解：
和角加速度
例 题 3
将转动方程对时间求导，得摆的角速度
O φ
φ0 l C0 C
d 2π 2π 0 sin t dt T T d 2 4π 2 2π 2 2 0 cos t dt T T
19
s
A
例题
刚体的基本运动
解:
例 题 4
根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
2 v 2as v0 5.96 m / s
R
M
O O
v
M点的切向加速度 M点的法向加速度
B
dv a a. dt
2 2as v0 an R
v2
s
A
M点的总加速度
2 a at2 an 178 m / s 2
20
§8－4绕定轴转动刚体的传动问题
机器的运转要求一定的转速,而电动机的转速则是一定的. 这就需要变速,把电动机的转速提高或传递,使它符合要求. 变速常通过一系列相互啮合的齿轮或皮带传动,摩擦轮传 动来完成.几个轮子的组合称为轮系.
以一对啮合轮为例： I轮: R1 , 1 , 1 .
II轮:
以t = 0代入上式，得摆在初瞬时的角速
度和角加速度
2π 0 cos t T
C1
a0
0 0,
4π 20l a0 l 0 , 2 T
4π 2 0 2 0 T
C
T
最大偏角； T 表示摆的周 期。已知摆的重心 C 到轴 O 的距离为 l ，试求在初瞬时
C1
和经过平衡位置 (φ=0) 时重
心的速度和加速度。
16
例题
刚体的基本运动
解：
和角加速度
例 题 3
将转动方程对时间求导，得摆的角速度
O φ
φ0 l C0 C
d 2π 2π 0 sin t dt T T d 2 4π 2 2π 2 2 0 cos t dt T T
19
s
A
例题
刚体的基本运动
解:
例 题 4
根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
2 v 2as v0 5.96 m / s
R
M
O O
v
M点的切向加速度 M点的法向加速度
B
dv a a. dt
2 2as v0 an R
v2
s
A
M点的总加速度
2 a at2 an 178 m / s 2
20
§8－4绕定轴转动刚体的传动问题
机器的运转要求一定的转速,而电动机的转速则是一定的. 这就需要变速,把电动机的转速提高或传递,使它符合要求. 变速常通过一系列相互啮合的齿轮或皮带传动,摩擦轮传 动来完成.几个轮子的组合称为轮系.
以一对啮合轮为例： I轮: R1 , 1 , 1 .
II轮:
以t = 0代入上式，得摆在初瞬时的角速
度和角加速度
2π 0 cos t T
C1
a0
0 0,
4π 20l a0 l 0 , 2 T
4π 2 0 2 0 T
理论力学ppt
三.力对点的矩
z
B
1.力对点的矩
mo(F)
mo(F) = r×F
mo(F)表示力F绕O点
A
r
O
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
心.力矩矢是定位矢量.
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的
方位;力矩在力矩平面内的转向.
力矩的几何意义: mo(F) =±2OAB面积=±Fd 力矩的单位: N·m 或 kN·m
a an2 at2 R 2 4
方向为
tan
at an
R 2R
2
结论: （1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图
四 刚体的转动惯量与飞轮的作用
1.转动惯量的概念
n
I mi i2 i 1
转动惯量反映物体转动时惯性的大小。物 体的转动惯量，一方面决定于物体的形状 ，另一方面又决定于转动轴的位置。
四 刚体的转动惯量与飞轮的作用
2.飞轮的作用 （1）使转速变化均匀 （2）改善扭转特性，减缓机械振动 （3）改善机器的启动和操纵性能
三.力对点的矩
2.合力距定理
定理：平面汇交力 系的合力对平面内任一 点之距，等于其所有分 力对于同一点力矩的代 数和
四.力偶及其性质
F
1力偶(F ,F)
B A
力偶作用面和力偶臂d.
F´
力偶无合力.因此力偶不能与一个力等效,也不 能用一个力来平衡.力偶只能与力偶等效或平衡.
四.力偶及其性质 2力偶的三要素
刚体转动及角动量守恒ppt
匀直细杆对端垂轴旳
平行移轴定理
对质心轴旳转动惯量 对新轴旳转动惯量
质心
例如：
时
新轴对心轴旳平移量
新轴 质心轴
代入可得 端
匀质薄圆盘对圆心垂盘轴算旳 例
取半径为 微宽为 旳窄环带旳质量为质元
球体算例 匀质实心球对心轴旳 可看成是许多半径不同旳共轴 薄圆盘旳转动惯量 旳迭加 距 为 、半径为 、微厚为 旳薄圆盘旳转动惯量为
a = Rb
T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Ib
及
I
=
1 2
mR2
得
b=
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m
2)
常量
故
由
m2
a
G2
m1
a
G1
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m 2)
t (m1-m2)g
g 2 (rad)
R(m1+ m2+ m 2)
两匀直细杆
q
转动定两律者瞬例时题角加五速度之比
与 时刻相应，何时
则何时
，
何时 恒定 则何时 恒定。
匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放
转动定律例转题动 二( T2 – T1 ) R = Ib
I=mR2 2
R
m
T2
T1
a
m2
m1
b
平动 m2 g – T2 = m2a
T2
T1
T1 – m1 g = m1a
线-角 a = Rb
T2
T1
联立解得
a
G2
力矩旳功算例 拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩旳功旳大小
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
刚体的基本运动
2
0.556,
29
转动刚体内各点得速度和加速度
例题2
vM at
a
M
O an
α ω
A
vA aA
vM r 0.36 m s－1
aτ r 0.36 m s－2
an r 2 0.648 m s－2
A点:
vA vM 0.36 m s－1 aA aτ 0.36 m s－2
O1 l A
刚体得平行移动
例题1
O2 l
M
B
已知:O1A＝ O2B ＝l;
0
sin
π 4
t
求:当t = 0和t = 2 s时,荡木 得中点 M 得速度和加速 度。
刚体得平行移动
例题1
O1
l
A O
(+)
O2
0
sin
π 4
t
l
解: 1、 分析荡木得运
M
B
动 AB平动
2、 求A点得运动
A点得运动方程
lim
t0 t
d
dt
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
第6章 刚体得简单运动
转动刚体内各点得 速度和加速度
转动刚体内各点得速度和加速度
转动刚体内各点得速度和加速度
P点得运动方程
s = r ( t )
aP
AO
a
n P
vP
r
a
τ P
s
P
B
aP r 2 4
aPτ aPn
arctan 2
继续保持安静
刚体得平行移动 速 度
刚体得平行移动 加 速 度
平动刚体上各点得加速度
第五章刚体的基本运动PPT课件
第五章 刚体的基本运动
第一节 刚体的平动
第二节 刚体绕定轴转动
第三节 轮系的传动比
本章重点：
1、平动刚体上点的速度、加速度的计算；
2、定轴转动刚体角速度、角加速度的计算；
3、转动刚体上点的速度、加速度的计算。
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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7
三、刚体绕定轴转动运动描述 1. 刚体的转动方程
过轴z作固定平面A、与刚体固连的转动平面B，两平面间的夹角用 表示，称为刚体的转角。当刚体转动时，随时间 t 变化， f(t) ，
该方程称为刚体的转动方程。
：
转角的符号规定：迎z 轴的正向看， 逆时针转向为正，反之为负；或用右手 法则确定。
8
2. 角速度和角加速度
角速度
单位为rad/s(弧度/秒)。
角加速 单位为rad/s2(弧度/秒2)。
角速度、角加速度都是代数量，符号规定和转角一致。当角速度、角加 速度同号时，刚体作加速转动，否则作减速转动。
用转速n（每分钟内的转数，以r/min为单位）来表示转动的快慢，
角速度与转速之间的关系是：
2πn πn
(2) 0，等于常量，0 t
12
例5-2 杆AB以匀速v运动，通过套筒A带动OC杆绕定轴转动。
开始时 0 ，试求 时，(1)摇杆OC的角速度、角加速度。 4
（2）设杆OC长d，杆端C点的速度和加速度。
解：（1）求角速度、角加速度
由几何关系可得：tan vt
l
等号两边同时对时间 t 求导， sec2d v
tana
第一节 刚体的平动
第二节 刚体绕定轴转动
第三节 轮系的传动比
本章重点：
1、平动刚体上点的速度、加速度的计算；
2、定轴转动刚体角速度、角加速度的计算；
3、转动刚体上点的速度、加速度的计算。
1
整体概况
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概况三
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7
三、刚体绕定轴转动运动描述 1. 刚体的转动方程
过轴z作固定平面A、与刚体固连的转动平面B，两平面间的夹角用 表示，称为刚体的转角。当刚体转动时，随时间 t 变化， f(t) ，
该方程称为刚体的转动方程。
：
转角的符号规定：迎z 轴的正向看， 逆时针转向为正，反之为负；或用右手 法则确定。
8
2. 角速度和角加速度
角速度
单位为rad/s(弧度/秒)。
角加速 单位为rad/s2(弧度/秒2)。
角速度、角加速度都是代数量，符号规定和转角一致。当角速度、角加 速度同号时，刚体作加速转动，否则作减速转动。
用转速n（每分钟内的转数，以r/min为单位）来表示转动的快慢，
角速度与转速之间的关系是：
2πn πn
(2) 0，等于常量，0 t
12
例5-2 杆AB以匀速v运动，通过套筒A带动OC杆绕定轴转动。
开始时 0 ，试求 时，(1)摇杆OC的角速度、角加速度。 4
（2）设杆OC长d，杆端C点的速度和加速度。
解：（1）求角速度、角加速度
由几何关系可得：tan vt
l
等号两边同时对时间 t 求导， sec2d v
tana
6 刚体的基本运动
= 0
第六章 刚体的基本运动
vB = v A aB = a A
刚体的平行移动(平动 平动) §1 . 刚体的平行移动 平动 刚体平动特点总结： 刚体平动特点总结： 1、其上任一直线始终平行于它的初始位置； 、其上任一直线始终平行于它的初始位置； 2、任一点的轨迹可是直线也可是曲线； 、任一点的轨迹可是直线也可是曲线； 3、各点的运动轨迹形状相同； 、各点的运动轨迹形状相同； 4、任一瞬时各点的速度、加速度相等。 、任一瞬时各点的速度、加速度相等。 平动刚体的运动可以简化为一个点的运动 即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。 平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。
速度分布图
第六章 刚体的基本运动
加速度分布图
§3 轮系的传动比 1）齿轮传动： 传动比:
v = r1ω1 = r2ω2
ω1 r1
ω2 r2
ω1 r2 z2 i12 = = = ω2 r1 z1
2）带轮传动：
v
ω1 r1 r2 ω2
ω1 r2 i12 = = ω2 r1
第六章 刚体的基本运动
传动比？ 传动比？
第六章 刚体的基本运动
§2 刚体的定轴转动 转动刚体上点的运动几何特点： 转动刚体上点的运动几何特点： 1）轨迹： 在垂直于转轴的平面内作圆周运动。 在垂直于转轴的平面内作圆周运动。 2）速度：
v= d S d (ϕ R ) = = ωR dt dt
方向沿圆周的切线与角速度转向一致。 方向沿圆周的切线与角速度转向一致。 2）加速度： dv d dω v 2 (ωR ) 2 = (ωR ) = R =α R at = an = = = Rω 2 dt d t dt R ρ
第六章 刚体的基本运动
第六章 刚体的基本运动
第六章 刚体的基本运动
vB = v A aB = a A
刚体的平行移动(平动 平动) §1 . 刚体的平行移动 平动 刚体平动特点总结： 刚体平动特点总结： 1、其上任一直线始终平行于它的初始位置； 、其上任一直线始终平行于它的初始位置； 2、任一点的轨迹可是直线也可是曲线； 、任一点的轨迹可是直线也可是曲线； 3、各点的运动轨迹形状相同； 、各点的运动轨迹形状相同； 4、任一瞬时各点的速度、加速度相等。 、任一瞬时各点的速度、加速度相等。 平动刚体的运动可以简化为一个点的运动 即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。 平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。
速度分布图
第六章 刚体的基本运动
加速度分布图
§3 轮系的传动比 1）齿轮传动： 传动比:
v = r1ω1 = r2ω2
ω1 r1
ω2 r2
ω1 r2 z2 i12 = = = ω2 r1 z1
2）带轮传动：
v
ω1 r1 r2 ω2
ω1 r2 i12 = = ω2 r1
第六章 刚体的基本运动
传动比？ 传动比？
第六章 刚体的基本运动
§2 刚体的定轴转动 转动刚体上点的运动几何特点： 转动刚体上点的运动几何特点： 1）轨迹： 在垂直于转轴的平面内作圆周运动。 在垂直于转轴的平面内作圆周运动。 2）速度：
v= d S d (ϕ R ) = = ωR dt dt
方向沿圆周的切线与角速度转向一致。 方向沿圆周的切线与角速度转向一致。 2）加速度： dv d dω v 2 (ωR ) 2 = (ωR ) = R =α R at = an = = = Rω 2 dt d t dt R ρ
第六章 刚体的基本运动
第六章 刚体的基本运动
大学物理(刚体部分)39页PPT
y y
θ一定,每一质点位置一定.
x
(t) t11,t22 2 1 角位移
o o
xx
4
四、角速度与角加速度
lim d
v
t0 t dt
lddit m t0减 加 t 速 速dd与 与 t反 同ddt2向 向 2. ，转右轴手转螺动旋平,轴面向
0 t
匀加速转动: 0tt2 2
202 2
5
五、线量和角量的关系
内滑轮转过的圈数.(4)开始上升后,t=1s末滑轮 边缘上一点的加速度(设绳索与滑轮之间不打滑).
解:(1) at r a t r ar 0 .8 ra ds2
(2) 0t t4rads
(3) t2 210rad n21.6圈 r
(4) at a, a nr2rt20 .3 2m s2
a
概念、规律、方法与质点力学对照学习！
2
§1 刚体定轴转动及其描述
一、刚体
物体受力作用时,组成它的各质量元之间的 相对位置保持不变.有大小,形状不变. 二、平动和转动 （刚体运动的基本形式)
平动：刚体内任意两点连线的空间指向始终 保持不变,各点的运动情况完全相同.
转动：刚体内各质点在运动中都绕同一直线 作圆周运动.该直线称转轴. 转轴固定不动---定轴转动.
加a速度at2与滑an 2轮0 边.5缘1m 切s线2方向ar夹cta角naa.nt 38.7
7
§2 转动定律
一、力矩
Ft
F
转动效果原因---力矩
o
r
M F d Fsrin d F n F F
矢量式 M r F 右手螺旋 针对某参考点
当外力不在转动平面内,可分解成垂直轴
和平行轴的两分量,后者对转动无贡献. o R
《理论力学》课件 第5章
因而 dBA/dt 0 ，于是得
vA vB
将上式再求一次导数，则得
aA aB
例5-1
如图5-4所示的曲柄滑道机构，当曲柄 OA 在平面上绕定轴 O 转动 时，通过滑槽连杆中的滑块 A 的带动，可使连杆在水平槽中沿直
线往复滑动。若曲柄 OA 的长为 r ，曲柄与 x 轴的夹角为 t，
其中 是常数，求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。
根据上述结论，可作出截面上各点的加速度的分布图，在通过轴心的 直线上，各点的加速度按线性分布，将加速度矢的端点连成直线，此 直线通过轴心，如图5-10（b）所示。
（a）
图5-10
（b）
例5-3
如图5-11所示，一半径 R 0.2 m 的圆轮绕定轴O 的转动方程
为 t2 4t ， 单位为rad， t单位为s。求 t 1 s 时，轮
*
t
当 t 趋近于零时，刚体转动的瞬时角加速度为
lim * lim d
t 0
t0 t dt
刚体绕定轴转动的角加速度等于角速度对于时间的一阶导数，
或等于转角对于时间的二阶导数。
角加速度与角速度一样都是代数量，它的单位是 rad/s2
若 与 的符号相同，则角速度的绝对值随时间而增加，这 时称为加速转动；反之，若 与 的符号相反，则角速度
例
设有平动的刚体，在刚体上任取两点 A 和 B ，并连成一直线如
图5-3所示。运动开始时 AB 线在 A0B0 的位置；经过极短时间间 隔 t 之后，移至 A1B1 ；依次再继续移至 A2B2 ， ，AnBn 等。
首先证明这两个任意点的轨迹形状是完全 相同的，根据刚体的定义得知 A，B 两点间 的距离保持不变。 因此 AB A0B0 A1B1 A2B2 AnBn
2024版大学物理上册《刚体定轴转动》PPT课件
刚体定轴转动运动学分析
Chapter
匀速转动特点与描述
匀速转动定义
刚体绕定轴转动时，角速度保持不变的转动称为匀速 转动。
匀速转动特点
角速度恒定，线速度与转动半径成正比，方向沿圆周 切线方向。
描述方法
通过角速度、转动周期、频率等物理量来描述匀速转 动。
变速转动规律探讨
变速转动定义
刚体绕定轴转动时，角速度发生变化的转动称为变速转动。
旋转部件需要具有良好的耐磨性， 以保证机构的使用寿命。
旋转机构在设计和使用时必须考 虑到安全性，防止发生意外事故。
平衡性 耐磨性 精度 安全性
旋转机构在运动时必须保持平衡， 以避免产生过大的振动和噪音。
对于需要精确控制的旋转机构， 如数控机床等，必须保证其旋转 精度。
航空航天领域飞行姿态调整原理
飞机姿态调整
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
刚体性质
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
Chapter
匀速转动特点与描述
匀速转动定义
刚体绕定轴转动时，角速度保持不变的转动称为匀速 转动。
匀速转动特点
角速度恒定，线速度与转动半径成正比，方向沿圆周 切线方向。
描述方法
通过角速度、转动周期、频率等物理量来描述匀速转 动。
变速转动规律探讨
变速转动定义
刚体绕定轴转动时，角速度发生变化的转动称为变速转动。
旋转部件需要具有良好的耐磨性， 以保证机构的使用寿命。
旋转机构在设计和使用时必须考 虑到安全性，防止发生意外事故。
平衡性 耐磨性 精度 安全性
旋转机构在运动时必须保持平衡， 以避免产生过大的振动和噪音。
对于需要精确控制的旋转机构， 如数控机床等，必须保证其旋转 精度。
航空航天领域飞行姿态调整原理
飞机姿态调整
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
刚体性质
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
3-1刚体的基本运动
2π 600 60
rad s1
62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t
转速 n ：每分钟转过的圈数。
角速度与转速的关系
角加速度 d
dt
2πn πn
60 30
定轴转动的特点
1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 ,, 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标。
第三章 刚体的定轴转动
3－1 刚体的基本运动
3－1 刚体的基本运动
例3-1 一半径 r 0.50 m的飞轮,转速n 600 r min,1
制动后转过 10 圈而静止.设转动过程中飞轮作匀变
速转动.求:(1)转动过程中飞轮的角加速度和经过的
时间;(2)在1 s末时,飞轮边缘某点的线速度、切向加
速度和法向加速度.
解
(1)
0
2πn 60
0
0 62.8 31.4
s2
s
第三章 刚体的定轴转动
3－1 刚体的基本运动
(2) 1 s 末飞轮的角速度
0 t 62.8 31.41 rad s1 31.4 rad s1
轮边缘某点的线速度
v r 0.5 31.4 m s1 15.7 m s1
2
2
2 0
2 (
0)
第三章 刚体的定轴转动
大学物理学第五版马文蔚ch.ppt
§4-2 力矩 转动定律转动惯量
一、力矩 ①力臂：从转轴 z 与 截面的交点O到力 F 的作用线的垂直距离 d～力 F 对转轴的力臂
M
z
o
r
d
F
②力矩：
在垂直与转轴的平 面内，外力 F 与力线到 转轴的距离d(力臂)的乘 积定义为对转轴的力矩。
M r F
为正。 定轴转动，规定： 力矩逆时针方向 M
Fi
mi
F i Fi mi ai
建立自然坐标：切向、法向；
切向分量式为： Fit Fit mi ait mi ri
法向分量式为： mi ain Fin Fin ②利用 M r F ，即为：M ri Fit
注：切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直。
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。
设：oz 为定轴， P为 刚体中任一质点 i ，其 质量为 mi。质点 i 受外力 F i ，内力 Fi 的作用，均在与 Oz 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律：
z
Fi
Oi r i
Fit F it
v
r
d 角加速度矢量： dt
刚体运动学中所用 d 的角量关系及角量 ＝ dt 和线量的关系如下： v r
d d 2 2 dt dt at r an r 2
注意：、是矢量，由于在定轴转动中轴的方 位不变，故用正负表示其方向。 在刚体作匀加 0 0t 1 t 2 2 速转动时，相 2 应公式如下： 0 t 2 0 2 作业：P143 4-6 4-11
角动量 变化率
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2
26o34'
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因绳不可伸长，且设轮与绳间无相对滑动，
故物体A的速度和加速度应等于轮缘上点M的速度和切向加速度，
vA vM 0.4 m s
aA
a M
0.4m
s2
可见物体减速下降。
15/24
【思考题】
1. 是非题
(1)某瞬时,刚质上有两点的轨迹相同,则刚体做平动。
（ ）
(2)平动刚体上任一点的运动轨迹不可能是空间曲线
s
M
10/24
【例2.2】 电动机转子做匀减速转动， rad s2 ，
经过20s后转子停止转动。求转子开始减速时的角速度， 以及在这20s内转子共转了多少转？
解： 根据公式
停止转动时
t 0
0
0
t
=0
1 2
t
2
0 t 0 20 rad s 20π rad s
转子在20s内转过的角度为
为：( D )
A. Vc 0 B. Vc r 2 a2 水平向右
C. Vc r0 铅直向上 D. Vc r0 水平向右
O1
O2
A
B
C
a
20/24
（6）.如图所示,半径为 R 的飞轮,绕垂直与图面的O轴转动。
图示瞬时，轮缘上A点加速度aA 的大小、方向均为已知，则
A. 点的轨迹必为直线
B. 点的轨迹必为曲线
C. 点必作匀速率运动
D. 点的加速度必等于零
(3)动点在运动过程中，恒有 a
常量，an
0，点做何种运动
(B )
A. 加速曲线运动
B. 匀变速曲线运动
C.变速直线运动
D.匀变速直线运动
18/24
(4).某瞬时，刚体上任意两点A、B的速度分别用v A vB
摆动规律为：
L
L
0
sin
4
t
（-）
求摆木中点M的速
度和加速度。
O
s
aAn
vA aMn
vM
aA
A
aM
M
B
解：在点A的圆弧轨迹上建立自然坐标系，O为起点
s
L
L0
sin
4
t
vA
ds dt
4
L0
cos
4
t
a
dv dt
2L0
16
sin
4
t
an
v2 L
2L02
16
cos2
4
t
6/24
§2－2刚体的定轴转动
2、轨迹
轨迹为曲线 曲线运动 轨迹为直线 直线运动
4/24
3、特征:
•在同一时间间隔，刚体内任意点位移相等； •在同一瞬时,刚体内所有各点具有相同的速度； •在同一瞬时,刚体内所有各点具有相同的加速度.
平动刚体上任意 一点的运动
整个刚体的运动
5/24
例1 摆木用两个等
长的钢索平行掉起。 O1
O2
表示，则(A )
A、当刚体平动时，必有 A B。 B、当 A B 时，刚体必作平动。 C、当物体作平动时，必有 A B , 但A 与 B 的方向
可能不同 。
D能、当物A 体作平B 动时，A 与 B 的方向必然相同，但有可
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(5). 如图所示平面机构中，O1A=O2B= r, O1O2 =AB, O1A以匀 角速度 绕垂直于图面的O1轴转动，图示瞬时，C点的速度
0
0t
1t2
2
20 20
1 2
202
rad
200
rad
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令N表示转子在这20s内转过的转数，则
N
0
200
100rad
2 2
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【例2.3】 如图2.7所示，一半径R=0.2m的圆轮绕定轴的转动方
程为 t 2 4t (其中， 的单位为rad；t的单位为s)。求t=1s时，
轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮上绕一不可伸长的绳索 并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。
解：(1) 分析运动： 圆轮绕定轴转动；物体A平动。 (2) 圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
d 2t 4
dt
d 2
dt
t 2时， 0
<0
匀减速转动
当t=1s时,
M点沿轨迹的运动方程为 s R ，
v ds R d R
dt dt
a
dv dt
R d
dt
R
an
an
v2
R2 2
R
R 2
R
a a 2 an2 R 2 4
M0
tg1
a an
2
a, n
a an
a sin a cos
转轴上各点的速度和加速度为零；
离转轴愈远的点，其速度和加速度
a aτ v
2/24
点的运动
刚体的运动
刚体运动 按运动形式
平动 定轴转动 平面运动 定点运动 一般运动
最基本形式
3/24
§7 -1 刚体的平动
1、概念 在刚体运动过程中,若体内任一直线始终保持与初 始位置平行,则此种运动又称为 平行移动或移动).
如: 气缸内活塞的运动, 车床上刀架的运动,振动式送料 机构的送料槽的运动.
2 rad s 2 rad s2
13/24
圆轮上任一点M的速度和加速度为
v R 0.4 m s
a R2 0.8m s2 n
a R 0.4 m s2
点M的全加速度的大小为
a
a2
a2 n
0.42 0.82 m s2 0.894m s2
全加速度与半径的夹角为
tan 0.5
（ ）
(3)如果刚体上任一点的轨迹都是圆曲线,则刚体
一定作定轴转动。
（ ）
16ห้องสมุดไป่ตู้24
2.选择题 (1)动点作匀加速曲线运动是指( D ) A. 点的加速度大小 a 常量 B. 点的加速度 a 常量 C. 点的切向加速度大小 a 常量 D. 点的切向加速度 a 常量
17/24
(2)已知点沿其轨迹的运动方程为s=b+ct，式中b、c均为常 量，则( C )
dx
dvx
x dt vx dt ax
dy
dv y
y dt vy dt ay
dz
dvz
z dt vz dt az
v vx2 vy2 vz2 a ax2 ay2 az2
s vdt
a
dv dt
an a2 a 2
v2 an
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第2章 刚体的基本运动
§2－1 刚体的平动 §2－2 刚体的定轴转动
定轴转动: 刚体运动时,刚体内或外某一直线
始终保持不动.
Z
1.运动方程
以通过转动轴的固定平面为参考：
t
方向规定：
O
从正端向负端看，右手螺旋法则，逆正顺负
7/24
2.角速度
任一瞬时刚体转动的快慢和转向可用 来表示
t : t t :
角位移:
平均角速度:
t
lim
t 0
t
d
dt
•
0 0
：rad/s n: 转/分
2n
60
n
30 (rad
s)
8/24
3.角加速度（瞬时）
t :
t
t t :
lim
d
•
••
t0 t dt
0 0
匀速转动
a=0
匀加速转动
a=常数
0 t
0 at
0 0t
1 2
at
2
2 02 2a( 0 )
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4.定轴转动时，刚体上各点的速度和角加速度
26o34'
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因绳不可伸长，且设轮与绳间无相对滑动，
故物体A的速度和加速度应等于轮缘上点M的速度和切向加速度，
vA vM 0.4 m s
aA
a M
0.4m
s2
可见物体减速下降。
15/24
【思考题】
1. 是非题
(1)某瞬时,刚质上有两点的轨迹相同,则刚体做平动。
（ ）
(2)平动刚体上任一点的运动轨迹不可能是空间曲线
s
M
10/24
【例2.2】 电动机转子做匀减速转动， rad s2 ，
经过20s后转子停止转动。求转子开始减速时的角速度， 以及在这20s内转子共转了多少转？
解： 根据公式
停止转动时
t 0
0
0
t
=0
1 2
t
2
0 t 0 20 rad s 20π rad s
转子在20s内转过的角度为
为：( D )
A. Vc 0 B. Vc r 2 a2 水平向右
C. Vc r0 铅直向上 D. Vc r0 水平向右
O1
O2
A
B
C
a
20/24
（6）.如图所示,半径为 R 的飞轮,绕垂直与图面的O轴转动。
图示瞬时，轮缘上A点加速度aA 的大小、方向均为已知，则
A. 点的轨迹必为直线
B. 点的轨迹必为曲线
C. 点必作匀速率运动
D. 点的加速度必等于零
(3)动点在运动过程中，恒有 a
常量，an
0，点做何种运动
(B )
A. 加速曲线运动
B. 匀变速曲线运动
C.变速直线运动
D.匀变速直线运动
18/24
(4).某瞬时，刚体上任意两点A、B的速度分别用v A vB
摆动规律为：
L
L
0
sin
4
t
（-）
求摆木中点M的速
度和加速度。
O
s
aAn
vA aMn
vM
aA
A
aM
M
B
解：在点A的圆弧轨迹上建立自然坐标系，O为起点
s
L
L0
sin
4
t
vA
ds dt
4
L0
cos
4
t
a
dv dt
2L0
16
sin
4
t
an
v2 L
2L02
16
cos2
4
t
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§2－2刚体的定轴转动
2、轨迹
轨迹为曲线 曲线运动 轨迹为直线 直线运动
4/24
3、特征:
•在同一时间间隔，刚体内任意点位移相等； •在同一瞬时,刚体内所有各点具有相同的速度； •在同一瞬时,刚体内所有各点具有相同的加速度.
平动刚体上任意 一点的运动
整个刚体的运动
5/24
例1 摆木用两个等
长的钢索平行掉起。 O1
O2
表示，则(A )
A、当刚体平动时，必有 A B。 B、当 A B 时，刚体必作平动。 C、当物体作平动时，必有 A B , 但A 与 B 的方向
可能不同 。
D能、当物A 体作平B 动时，A 与 B 的方向必然相同，但有可
19/24
(5). 如图所示平面机构中，O1A=O2B= r, O1O2 =AB, O1A以匀 角速度 绕垂直于图面的O1轴转动，图示瞬时，C点的速度
0
0t
1t2
2
20 20
1 2
202
rad
200
rad
11/24
令N表示转子在这20s内转过的转数，则
N
0
200
100rad
2 2
12/24
【例2.3】 如图2.7所示，一半径R=0.2m的圆轮绕定轴的转动方
程为 t 2 4t (其中， 的单位为rad；t的单位为s)。求t=1s时，
轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮上绕一不可伸长的绳索 并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。
解：(1) 分析运动： 圆轮绕定轴转动；物体A平动。 (2) 圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
d 2t 4
dt
d 2
dt
t 2时， 0
<0
匀减速转动
当t=1s时,
M点沿轨迹的运动方程为 s R ，
v ds R d R
dt dt
a
dv dt
R d
dt
R
an
an
v2
R2 2
R
R 2
R
a a 2 an2 R 2 4
M0
tg1
a an
2
a, n
a an
a sin a cos
转轴上各点的速度和加速度为零；
离转轴愈远的点，其速度和加速度
a aτ v
2/24
点的运动
刚体的运动
刚体运动 按运动形式
平动 定轴转动 平面运动 定点运动 一般运动
最基本形式
3/24
§7 -1 刚体的平动
1、概念 在刚体运动过程中,若体内任一直线始终保持与初 始位置平行,则此种运动又称为 平行移动或移动).
如: 气缸内活塞的运动, 车床上刀架的运动,振动式送料 机构的送料槽的运动.
2 rad s 2 rad s2
13/24
圆轮上任一点M的速度和加速度为
v R 0.4 m s
a R2 0.8m s2 n
a R 0.4 m s2
点M的全加速度的大小为
a
a2
a2 n
0.42 0.82 m s2 0.894m s2
全加速度与半径的夹角为
tan 0.5
（ ）
(3)如果刚体上任一点的轨迹都是圆曲线,则刚体
一定作定轴转动。
（ ）
16ห้องสมุดไป่ตู้24
2.选择题 (1)动点作匀加速曲线运动是指( D ) A. 点的加速度大小 a 常量 B. 点的加速度 a 常量 C. 点的切向加速度大小 a 常量 D. 点的切向加速度 a 常量
17/24
(2)已知点沿其轨迹的运动方程为s=b+ct，式中b、c均为常 量，则( C )
dx
dvx
x dt vx dt ax
dy
dv y
y dt vy dt ay
dz
dvz
z dt vz dt az
v vx2 vy2 vz2 a ax2 ay2 az2
s vdt
a
dv dt
an a2 a 2
v2 an
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第2章 刚体的基本运动
§2－1 刚体的平动 §2－2 刚体的定轴转动
定轴转动: 刚体运动时,刚体内或外某一直线
始终保持不动.
Z
1.运动方程
以通过转动轴的固定平面为参考：
t
方向规定：
O
从正端向负端看，右手螺旋法则，逆正顺负
7/24
2.角速度
任一瞬时刚体转动的快慢和转向可用 来表示
t : t t :
角位移:
平均角速度:
t
lim
t 0
t
d
dt
•
0 0
：rad/s n: 转/分
2n
60
n
30 (rad
s)
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3.角加速度（瞬时）
t :
t
t t :
lim
d
•
••
t0 t dt
0 0
匀速转动
a=0
匀加速转动
a=常数
0 t
0 at
0 0t
1 2
at
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2 02 2a( 0 )
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4.定轴转动时，刚体上各点的速度和角加速度