123第一章测量误差及其传播定律-2016
测量误差传播律
§6－3 误差传播定律当对某量进行了一系列的观测后，观测值的精度可用中误差来衡量。
但在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的。
例如，水准测量中，在一测站上测得后、前视读数分别为a 、b ，则高差h =a -b ，这时高差h 就是直接观测值a 、b 的函数。
当a 、b 存在误差时，h 也受其影响而产生误差，这就是所谓的误差传播。
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。
本节就以下四种常见的函数来讨论误差传播的情况。
一、倍数函数设有函数kx Z =（6-7）式中k 为常数，x 为直接观测值，其中误差为m x ，现在求观测值函数Z 的中误差m Z 。
设x 和Z 的真误差分别为Δx 和ΔZ ，由（6-7）式知它们之间的关系为ΔZ =k Δx 若对x 共观测了n 次，则ii x Z k ∆=∆ （i =1,2,…,n ）将上式两端平方后相加，并除以n ，得[][]n k n2x22Z∆=∆（6-8）按中误差定义可知[]n m 2Z2Z ∆=[]n m 2x2x∆=所以（6-8）式可写成2x 22z m k m =或x z km m =（6-9）即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数（常数）。
【例】 用水平视距公式D =k ·l 求平距，已知观测视距间隔的中误差m l =±1cm ，k =100，则平距的中误差m D =100·m l =±1 m 。
二、和差函数设有函数y x z ±=（6-10）式中x 、y 为独立观测值，它们的中误差分别为m x 和m y ，设真误差分别为Δx 和Δy ，由（6-10）式可得yx z ∆±∆=∆若对x 、y 均观测了n 次，则 ),,2,1(n i ii i y x z =∆±∆=∆将上式两端平方后相加，并除以n 得[][][][]n2n n n yx2y2x2z∆∆±∆+∆=∆上式[]y x ∆∆中各项均为偶然误差。
误差传播定律
测值中误差乘积的平方和的平方根。
例4：已知矩形的宽x=30m,其中误差mx=±0.005m,矩形的长y=50m, 其中误差my=±0.008m,计算矩形面积S及其中误差ms。
解：矩形面积 S=xy 由题意：求各观测值偏导数： f y
x
f x y
mz
(
f X 1
)2
m12
(
二、和或差的函数
设和或差函数为： z x y
即： mz
m
2 x
m
2 y
式中：Z为x、y的和或差的函数；x、y为独立观测值；mx、my为x、y的
中误差，mZ为Z的中误。
结论：两观测值代数和或差的函数中误差等于两观测值的中误差的 平方和的平方根。
z x1 x2 xn
即：
mz
(
f X 1
)2
m12
(
f X 2
)2
m
2 2
(
f X n
)2
m
2 n
式中:xi (i=1，2…n)为独立观测值；已知其中误差为mi(i=1 2…n)， mz为z的中误差；xf（i i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导数。
结论：一般函数中误差等于按每个观测值所求的偏导数与相应观
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，就称为误差传播定律。
一、倍数函数
设倍数函数为：zm2 z kk x2mx2
即：mz kmx
式中：Z为观测值X的函数（也就是未知量的间接观测值）；K为常数；X为 直接观测值；mx为X的中误差；mZ为Z的中误差。
结论：倍数函数的中误差（观测值与常数乘积的中误差），等于 观测值中误差乘常数。
测量平差测量误差及其传播定律课件
地理信息获取
通过平差测量原理，获取高精度 地理信息数据，为地理信息系统
提供基础数据。
科学研究
在物理、化学、生物等领域，利 用平差测量原理对各种实验数据
进行处理和分析。
CHAPTER 03
误差传播定律
误差传播定律的定义
误差传播定律是测量平差中用来描述测量误差之间相互关系 的定律。它表明，当对一个或多个观测值进行数学运算时， 误差会按照一定的规律传播。
测量误差的来源
01
02
03
04
测量设备误差
设备精度、磨损、老化等因素 导致误差。
环境误差
温度、湿度、气压、风速等环 境因素影响测量结果。
操作误差
操作人员技能水平、操作习惯 等因素导致误差。
观测误差
观测过程中产生的随机误差和 系统误差。
测量误差的分类
系统误差
可预测且相对稳定的误差，如设 备误差。
随机误差
实例三：距离测量误差分析
总结词
距离测量误差主要来源于仪器误差、 人为误差和外界环境因素。
详细描述
仪器误差包括固定误差和比例误差； 人为误差包括读数误差和记录误差； 外界环境因素包括温度、气压和湿度 等气象因素的影响。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
总结词
水准测量误差主要来源于仪器误差、 人为误差和外界环境因素。
详细描述
仪器误差包括望远镜调焦误差、十字 丝分划板误差等；人为误差包括读数 误差和仪器对中误差；外界环境因素 包括大气折射和地球曲率的影响。
实例二：角度测量误差分析
总结词
角度测量误差主要来源于仪器误差、人为误差和目标偏心。
详细描述
第1章误差传播定律
本课程的主要任务是讲授测量平差的基本理 论和基本方法，为进一步学习和研究测量数据处 理奠定基础。
授课周数：1-14周 周学时 ：6学时 总学时 ：84学时 最后进行闭卷考试。
2018/10/27 第一章 观测误差及其传播 1
本课程的主要内容
1. 误差及误差传播理论（第一章） 2. 平差模型的建立、最小二乘原理（第二章） 3. 测量平差基本方法（第三、四、五章）包括条件平差、 间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差、
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第一章 观测误差及其传播
§1-2 观测误差及其分类
在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象 ，在测量工作中是普遍存在的，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。
一、观测误差产生的原因
1．测量仪器 2．观测者 3．外界条件： 测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。通常把 这三方面的因素合起来称为观测条件。 观测条件好---误差小----观测成果质量高。反之亦然。 如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。 不管观测条件如何，测量中产生误差是不可避免的。
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第一章 观测误差及其传播
4
学习方法
课程特点：
公式多、计算量大，所需数学知识多，比较枯燥 学习方法：
复习测量学、线性代数、高等数学、概率论及数 理统计等课程知识，
对本课程的知识要通过预习-----听课----复习----完 成作业---编写计算机程序 等步骤来掌握所学知识。
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9
第一章 观测误差及其传播
§1-2
四、测量平差的任务
误差传播定律计算及注意事项
误差传播定律计算及注意事项在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。
误差传播定律：说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。
间接观测量:在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～。
例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的高差：h =a－b 。
间接观测量的误差：由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。
一、误差传播定律?设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差为:式中为函数Z分别对各变量xi 的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。
求任意函数中误差的方法和步骤如下：列出独立观测量的函数式：求出真误差关系式。
对函数式进行全微分，得求出中误差关系式。
只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：表5-2 常用函数的中误差公式二、应用举例【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为d=23.4 mm，其中误差md=±0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差mD 。
解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。
两点的实际距离结果可写为：11.7 m±0.1 m。
【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，试求两点的高差及其中误差。
解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得两点的高差结果可写为1.258 m±0.004 m。
【例5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50 m，中误差mL=±0.05 m，并测得倾斜角α=10°34′，其中误差mα=±3′，求水平距离D及其中误差mD解: 1）首先列出函数式2）水平距离这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，3）先求出各偏导值如下4）写成中误差形式：5）得结果：D=243.30 m±0.06 m。
误差传播定律计算及注意事项
误差传播定律计算及注意事项在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。
误差传播定律：说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。
间接观测量:在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～。
例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的高差：h =a－b 。
间接观测量的误差：由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。
一、误差传播定律?设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差为:式中为函数Z分别对各变量xi 的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。
求任意函数中误差的方法和步骤如下：列出独立观测量的函数式：求出真误差关系式。
对函数式进行全微分，得求出中误差关系式。
只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：表5-2 常用函数的中误差公式二、应用举例【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为d=23.4 mm，其中误差md=±0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差mD 。
解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。
两点的实际距离结果可写为：11.7 m±0.1 m。
【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，试求两点的高差及其中误差。
解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得两点的高差结果可写为1.258 m±0.004 m。
【例5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50 m，中误差mL=±0.05 m，并测得倾斜角α=10°34′，其中误差mα=±3′，求水平距离D及其中误差mD解: 1）首先列出函数式2）水平距离这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，3）先求出各偏导值如下4）写成中误差形式：5）得结果：D=243.30 m±0.06 m。
绪论2误差传播定律
智能化技术应用
随着人工智能等技术的 发展，未来误差传播定 律的研究将更加注重智 能化技术的应用，如利 用机器学习等方法进行
误差预测和控制。
实验与理论相结合
未来研究将更加注重实 验与理论的相结合，通 过实验验证理论的正确 性和可靠性，推动误差 传播定律在实际应用中
误差控制
为了控制误差的累积和传播，提高测 量结果的准确性，需要研究和掌握误 差传播规律。
学科发展
随着测量科学和技术的不断发展，对 误差传播规律的研究逐渐深入，形成 了较为完善的理论体系。
02
误差传播定律数学表达式
单一观测值误差传播公式
误差传播定律描述了测量误差在数据处理过程中的传 递规律。对于单一观测值，其误差传播公式可表示为
缺乏统一的理论框架
目前，误差传播定律的研究缺乏统一的理论框架，不同领域和方法 之间的融合不够，限制了其应用范围和效果。
实验验证不足
误差传播定律的实验验证相对较少，缺乏充分的实验数据支持，使 得理论成果在实际应用中的可靠性受到质疑。
未来发展趋势及前景预测
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
跨学科融合研究
输标02入题
$$sigma_y = |f'(x)| cdot sigma_x$$
01
03
该公式表明，函数 $y$ 的误差与 $x$ 的测量误差及 函数在该点的导数有关。当 $|f'(x)|$ 较大时，即使
$sigma_x$ 很小，$sigma_y$ 也可能较大。
04
其中，$sigma_y$ 为函数 $y = f(x)$ 的误差，$f'(x)$ 为函数在点 $x$ 处的导数，程测量中，误差传播定律用 于评估测量结果的可靠性和精度， 指导测量方案的设计和实施。
第1章 测量误差及其传播定律
ki
i
f xi
， K ( k1 , k 2 k n ) ， k 0 f ( x1 , x2 , xn )
X0
1n
0
0
0
k x
0 i i
则有
z f ( x1 , x2 , xn ) k1 x1 k 2 x2 k n xn k 0 KX k 0
教学目的 和要求
2、掌握测量平差的定义、内容、要完成的任务。 3、了解测量平差的简史和发展以及本课程的任务和主要内容。 4、掌握偶然误差的概率特性、分布和概率密度函数 重点：1、观测误差的定义、来源、分类。 2、测量平差定义、内容、要完成的任务。 3、掌握偶然误差的四个规律及其所服从的分布。 1、 教学方法：课堂讲授法为主，并给学生留出一定的时间复习讲过的内
S S
u (弧度)＝ S
应当：
S ＝ S
（约 20 min ） （约 7 min ）
4、 综合应用举例及练习 （三）小结 1、精度的有关概念 2、衡量精度的五种常用指标
授课学时： 2 学时 章节名称
§1-4 协方差传播律 备 注
教学目的 和要求
~ LL
2、偶然误差的概率特性 （1）在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值； （2）绝对值 较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； （3)绝对值相等的正负误差 出现的概率相同； （4）偶然误差的数学期望为零 3、偶然误差所服从的分布
~ N (0, 2 ) 授课学时： 2 学时 章节名称
2
D( L) D() lim
n
2 i
n
lim
n
（推导）
n
设计相应 的随堂练 习， 巩固课 程所学知 识。
精度平定标准-测量误差
第一章测量误差传播理论一、系统误差：相同条件下误差的大小和符号不变，按造一定规律传播。
有仪器本身所造成的误差，如钢尺的尺长改正，仪器的缺陷和观测者的习惯影响：象观测者读数习惯偏大或偏小；水平仪视准轴与水准管轴不平衡，经纬仪视准轴与横轴不垂直的误差等。
此误差可以用前视距和后视距相等及用盘左和盘右取平均值的方法来消除上述系统误差。
二、偶然误差：相同条件下误差的大小和符号没有明显的规律性，纯属偶然。
他主要有观测者的主观能力的限制和客观环境因素所造成的，是测量中不可避免的误差，但可以采用相同条件下多次观测求其平均值的方法来减少他的影响。
测量精度平定标准精度平定标准有：1、平均误差，2、中误差，3、极限误差，4相对误差一、平均误差相同条件下，一组观测值的真误差的绝对值的算术平均值称平均误差。
公式为：θ=±（│⊿│）/n二、中误差相同条件下，一组观测值真误差平方的平均值的平方根称为中误差。
公式为：m=±√（⊿⊿）/n ------------（01公式）三、极限误差偶然误差的第一特性是其在一定的条件下不会超过一定的限值，概率理论和大量实践证明：在大量的等精度观测的一系列误差中，绝对值大于中误差的偶然误差出现的可能性为32%，大于2倍中误差的偶然误差出现的可能性为5%，大于3倍中误差的偶然误差出现的可能性为3‰。
在实际有限的观测次数中，大于3倍中误差的偶然误差是不大可能出现的，因此实际工作中常取2倍的中误差为偶然误差的极限，这种限值就是极限误差，它是测量工作中用来确定各种限差和容许误差的依据。
四、相对误差在一些测量工作中，中误差还不能反映出观测的质量，例如用钢尺丈量200米和20米的两段距离，若观测的中误差都是±2cm，不能认为两者的精度相同，显然前者要比后者精度高，这时要用相对误差，它等于绝对误差与观测值之比。
公式为相对误差=绝对误差/观测值=1/N上述两段距离的相对误差分别为1/10000和1/1000，作为分子的绝对误差可以是“中误差”，“极限误差”和“闭合差”，分别称相对中误差，相对极限误差，和相对闭合差。
《误差传播定律》课件
汇报人：PPT
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
误差传播定律是描述测量误差在测量过程中如何传播和放大的定律。
误差传播定律的核心思想是：测量误差在测量过程中会按照一定的规律进行传播和放大。
误差传播定律的数学表达式为：Δy = Δx * ∂y/∂x，其中Δy表示测量误差，Δx表示测量值，∂y/∂x表示测量值的 导数。
背景：在科学研究中，数据拟合是 常用的数据处理方法
分析：通过案例分析，了解误差传ห้องสมุดไป่ตู้播定律在实际中的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
问题：数据拟合过程中，误差如何 传播和影响结果
结论：误差传播定律对于数据拟合 结果的准确性具有重要影响
控制系统：汽 车自动驾驶系
统
误差来源：传 感器误差、计 算误差、执行
PART THREE
添加标题
误差传播定律的基本公式：Δy = Δx * ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的误差传递系数：K = ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的扩展公式：Δy = Δx * ∂y/∂x + Δx * ∂y/∂x² + Δx * ∂y/∂x³ + ...
添加标题
误差传播定律的误差传递系数的平方：K² = (∂y/∂x)²
误差传播定律只适用于线性系统
误差传播定律无法处理随机误差
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
误差传播定律无法处理非线性系统 的误差传播
误差传播定律无法处理系统误差
非线性效应：在非线性系统中， 误差传播定律可能不再适用
测量平差---测量误差及其传播定律
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7
测量误差及分类 偶然误差概率特性 精度及其衡量指标 协方差传播律 权及权逆阵的传播 由真误差计算方差 系统误差的传播
1/98
§1.1 测量误差及其分类
一、真值和真误差
真 值——反映一个量真正大小的绝对准确的数值 估 值——以一定的准确度表示一个量的大小的数值 真误差——观测值与真值之差
=
±1.2"
23/98
§1.3 精度及其衡量指标
几点说明：
1. 按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差m、θ、ρ，只有
当观测值个数相当多时，结果才比较可靠。
2. 当观测值个数有限时，中误差m 比平均误差θ、或然误差ρ更
能反映大误差的存在，中误差更可靠一些。
0.5，0.9, 1.1，1.3, 1.4，2.0 4.0
ms1 = 0.5 = 1 s1 10000 20000 ms2 = 0.01 = 1 s2 200 20000
说明：
1. 相对误差是个无名数，一般 将其分子化成1，写成1/m 的 形式
2. 相对误差一般用于长度测量。 3. 真误差、中误差、平均误差、
或然误差、极限误差称为绝对 误差。
29/98
§1.3 精度及其衡量指标
m = ± [ΔΔ]
n
σˆ = ± [ΔΔ]
n
注意：
（1）各真误差必须对应同一测量条件； （2）中误差前面的“±”是中误差的 标志，不代表误差范围；
（3） m 2 是σ 2 的无偏估值。
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§1.3 精度及其衡量指标
一、方差和中误差
2、中误差
例：
第一章测量误差及其传播定律-2016
负误差
个数
频率
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
13
0.036
6
0.017
4
0.011
0
0.000
181
0.505
正误差
个数
频率
46
0.128
41
0.115
33
0.092
21
0.059
16
0.045
13
0.036
5
0.014
2
0.006
0
0.000
177
0.495
近代平差
第一章 测量误差及其传播定律
12
§1.3 精度及其衡量指标——精度的概念
在某测区，两个测量小组分别在相同的观测条件下，对某一平面控 制网进行三角测量，第一小组独立观测了358个平面三角形的全部内角， 第二小组独立观测了421个平面三角形的全部内角。试根据观测结果评价 两个小组的观测质量。
= L~ - L
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8 -1 - 1.2 - 1.4 - 1.6 - 1.8
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8 -1 - 1.2 - 1.4 - 1.6 - 1.8
>1.6″ Σ
负误差
个数 频率
45 0.126
40 0.112
33 0.092
23 0.064
17 0.047
第一章 测量误差及其传播
第一章测量误差及其传播律§1.1 测量误差与平差测量数据或观测数据是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球或其他实体的空间分布有关信息的数据。
观测数据可以是直接测量的结果，也可以是经过某种变换后的结果。
任何观测数据总是包含有用信息和干扰两个部分，干扰部分也称为误差或噪声。
为了获得有用信息，就要设法排除或削弱误差影响。
在各种测量工作中，当对同一个观测量进行重复观测时就会发现，其观测值之间会存在一定的差异。
例如，在地面上两点间进行水准测量，往返测得到的两点间高差并不相同；观180。
这种同观测量的不同观测值之测一个三角形的三个内角，就会发现三个内角和不等于间，或在各观测值某个函数与其理论值之间存在差异的现象，在测绘工作中是普遍存在的。
产生上述情况的原因，是观测量中带有观测误差。
1.1.1误差来源观测误差的产生的原因概括起来有以下四个方面（隋立芬，2001;陶本藻，2007）：1. 外界条件测量工作是在自然环境下进行的，我们把测量所处的自然环境称为外界条件。
外界条件千变万化，对我们的观测产生各种各样的影响。
例如，我们测量地球上两点间距离，大气温度、湿度和气压都会影响边长观测值；大气折光会影响角度观测值和高差观测值；GPS信号穿过电离层会受到电离子折射而产生时间延迟，等等。
这些影响都会使观测值产生误差。
2. 测量仪器测量工作离不开测量仪器。
测量仪器本身的精密度也会给观测数据带来误差。
例如，J2型经纬仪测微器最小刻划为1″，估读1″以下的尾数时就存在误差。
仪器结构不完善也会给观测数据带来误差。
例如，水准仪的视准轴不平行于水准轴，全站仪的竖轴与横轴不垂直、视准轴与横轴不垂直，等等。
3. 测量对象观测对象也就是观测目标，也可能产生误差。
例如：测量角度时照准目标为照准圆筒可能会产生相位差；水准测量时水准标尺的沉降或倾斜产生的误差；卫星受到摄动力的影响偏离理想轨道产生的误差，等等。
4. 观测人员观测者感觉器官的鉴别能力、技术水平和责任心对观测数据的质量都会产生直接影响。
工程测量误差传播定律三步走的步骤
工程测量误差传播定律三步走的步骤
工程测量误差传播定律三步走的步骤为：
1. 计算单个偏差的影响
首先,需要计算出每个测量量的偏差,即实际值与标准值之间的差异。
偏差可以表示为δX。
然后,需要计算出这个偏差对于最终结果的影响,即偏差δX的传递率。
2. 计算总体偏差的贡献
接下来,需要计算出所有偏差的总体贡献,即误差平方和,表示为δX^2。
这个数值代表了所有偏差对于最终结果的综合影响。
3. 计算最终结果的误差范围
最后,需要将总体偏差的贡献转化为标准偏差,表示为σX。
这个数值代表了最终结果的误差范围,即结果的忠实度。
通常情况下,结果的误差范围是标准偏差值的2-3倍,这取决于测量的精度和测量的数量。
测量误差及其传播定律
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030
0
0.495
1.误差的绝对值有 一定限值 2.绝对值较小的误 差比绝对值较大的 误差多 3.绝对值相等的正 负误差的个数相近
11:08:09
7
用直方图表示:
1.横坐标表示误差的 大小 2.纵坐标采用单位区 间频率除以曲线间隔
25
方差的意义
f () 1 2
f () 0
f () 0
第一章测量误差及其传播定律
由正态分布知，正态分布曲线 具有两个拐点，这两个拐点在横轴 上的坐标为拐
方差的几何意义是：方差是正态 分布曲线的拐点横坐标。
f ()
1 2
exp
1 2
2
(
)2
1 2
2
exp
2
2
f()
Δ为负值
频率 vi/n
(vi/n)/dΔ
0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038 0.033 0.021 0.017 0.012 0.014 0.005 0.002
0
0.475 0.450 0.370 0.295 0.240 0.190 0.165 0.105 0.085 0.060 0.070 0.025 0.010
0
1.愈接近于零的误 差区间，误差出现 的频率愈大 2.随着离零愈来愈 远，误差出现的频 率递减 3.出现在正负误差 区间内的频率基本 相等
和
210 0.499
211 0.501
9
频数/d
0.630
第一章测量误差及其传播定律
频数/d
0.475
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
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测量发展
总之，自20世纪70年代以来，特别是近20年来，测量平 差与误差理论得到了充分发展。
这些研究成果在常规测量技术中的应用已经相当普遍。 但相应于不断出现和发展的测绘新技术，如何应用已有 的方法以及研究提出新的平差理论和方法适应现代数据处 理的需要是一个值得研究的问题。
课程研究对象
03
1 观测误差的消除（减弱）
经典平差是假定观测向量包含随机误差，而在现代测量数据处理 中经常是观测向量和系数阵同时存在误差。针对这类模型，结合测 量数据实践，发展了整体最小二乘法理论和方法。
测量发展
（7）系统参数的平差法发展 观测中既然包含系统误差，那么系统误差特性、传播、检验、分
析的理论研究自然展开，相应的平差方法也就产生，例如，附有系 统参数的平差法、半参数估计和非参数估计等。为了检验系统误差 的存在和影响，引进了数理统计学中的假设检验方法，结合平差对 象和特点，测量学者发展了统计假设检验理论，提出了与平差同时 进行的有效的检验方法。
Hale Waihona Puke 测量平差起源直到1890年，高斯才在“天体运动的理论”一文中正式发表了 他的方法。
在此之前，1806年勒戎德尔（乐）（A.M.Legendre）发表了 “决定彗星轨道方法”一文，从代数观点也独立地提出了最小二乘 法，并定名为最小二乘法。
所以后人称它为高斯—勒戎德尔（乐）方法。 从此以后，最小二乘法得到了广泛的应用
测量发展
经典平差阶段
针对当时的计算工具的情况，提出了许多解算对称线性方程组的 方法，平差计算的简化计算表格：
对称线性方程组的解 高斯-杜力特约化计算表……
测量发展
近代平差阶段 自20世纪50-60年代开始，随着计算机的进步和生产实践中高精度的 需要，测量平差得到了很大发展，主要表现在以下几个方面： （1）误差理论发展 从单纯研究观测的偶然误差理论扩展到包含系统误差和粗差。 在偶然误差理论的基础上，对误差理论及其相应的测量平差理论和方 法进行了全方位研究，大大扩充了测量平差学科的研究领域和范围。 （2）观测值关系发展 1947年，铁斯特拉（T.M.Tienstra）提出了相关观测值的平差理论 限于当时的计算条件，直到20世纪70年代以后才被广泛应用。相关平 差的出现，使观测值的概念广义化啦，将经典平差的最小二乘平差法推向 了更广泛的应用领域。
测量发展
近代平差阶段 （3）非随机参数扩展到随机参数 经典的最小二乘法平差，所选平差参数（未知量）假设是非随机变量。 随着测量技术的进步，需要解决观测量和平差参数均为随机变量的平差问 题，20世纪60年代末提出并经70年代的发展，产生了顾及随机参数的最小 二乘平差方法。它起源于最小二乘内插和外推重力异常的平差问题，由莫 里茨（Moritz.H）、克拉鲁普（T.Krarup）提出，取名为最小二乘滤波， 推估和配置，也称为拟合推估。 （4）满秩平差扩展到秩亏平差 经典的最小二乘平差法是一种满秩平差问题，即平差时的法方程是满秩 的，方程组有唯一解。20世纪60年代，迈塞尔（P.Meissl）提出了针对非 满秩平差问题的内制约平差原理，后经70-80年代多位国内外学者的深入 研究，现已形成了一整套秩亏自由网平差的理论体系和多种解法，并广泛
课程发展
1 经典平差阶段 2 近代平差阶段
02
测量发展
经典平差阶段 自19世纪——20世纪50-60年代的一百多年的时间 测量平差学者依据最小二乘准则，在基于偶然误差的平差方法上 作了许多研究，提出了一系列解决各类测量问题的平差方法（经典 测量平差）： 1.条件平差法 2.附有未知参数的条件平差法 3.间接平差法 4.附有限制条件的间接平差法！
测量发展
（8）粗差处理理论的发展 观测中有可能包含粗差，相应的误差理论也得到发展。其中最著
名的是20世纪60 年代后期荷兰巴尔达（W.Baarda）教授提出的测 量系统的数据探测法和可靠性理论，为粗差的理论研究和使用检验 方法奠定了基础。到目前为止，已经形成了粗差定位、估计和假设 检验等理论体系。处理粗差问题，一种途径是进行数据探测，对粗 差定位和消除；另一种途径是放弃最小二乘，提出了在数学中称为 稳健估计的方法，或称抗差估计。稳健理论研究的测量平差中的应 用还在深入中。
Europe And The Opening Report POWERPOINT
主讲人：史经俭 张静 席晶
本讲内容：
本课程的研究对象及发展历程
01 课程起源 02 课程发展 03 课程研究对象
课程起源
01
了解历史，知其作用，增强信心
测量平差起源
测量平差起源于19世纪初。 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。 经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了 谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神 星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。 时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥 尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
2 测量成果的精度评定
课程研究对象
课程的研究对象是“测量误差”，涉及两个问题 （1）观测误差的消除（减弱）
由于观测结果不可避免的存在误差，因此，如何处理带有观 测误差的观测值，找出待求量（以下称未知量）的最佳估值。 （2）对测量成果进行精度评定。
以上内容也就是测量平差的任务。
感谢聆听，批评指导
测量发展
近代平差阶段 （5）先验定权理论扩展到后验定权（方差分量估计）
随着电磁波测距技术在测量中的应用，经典平差中的定权理论和 方法也有所革新。许多学者致力于将经典的先验定权方法改进为后 验定权方法的研究。在20世纪80年代，方差-协方差估计理论已经 形成，所提解法之多，发表论文之多是其它课题所不及的。 （6）整体最小二乘理论出现