利用定积分定义计算由抛物线

0
0
0
0
(5)设 f(x)=ex−1−x, 则当 0≤x≤1 时 f ′(x) =ex−1>0, f(x)=ex−1−x 是单调增加的. 因此当 0≤x≤1
时, f(x)≥f(0)=0, 即 ex≥1+x, 所以 ∫1e x dx≥ ∫1(1+ x)dx .
0
0
又因为当 0<x≤1 时, ex>1+x, 所以 ∫1e x dx > ∫1(1+ x)dx .
1⋅( 5 π 4
−π 4
∫ )≤
5π π4
(1+ sin
2
x)dx≤2⋅( 5 π 4
−
π 4
)
,
4
即
π
≤
∫5π
π4
(1+
sin
2
x)dx ≤ 2π
.
4
(3)先求函数 f(x)=x arctan x 在区间[ 1 , 3] 上的最大值 M 与最小值 m. 3
f ′(x)=arctan x + x . 因为当 1 ≤ x≤ 3 时, f ′(x)>0, 所以函数 f(x)=x arctan x 在区间
(2)
∫5π
π4
(1+sin
2
x)dx
;
4
(3)
∫
3 1
xarctan
xdx
;
3
∫ (4) 0e x2 −x dx . 2
解 (1)因为当 1≤x≤4 时, 2≤x2+1≤17, 所以
2⋅(4−1)≤ ∫4(x 2 +1)dx≤17⋅(4−1) , 1
即
6≤ ∫4(x 2 +1)dx≤51.
1
(2)因为当 π ≤ x≤ 5 π 时, 1≤1+sin2x≤2, 所以 44
n i=1
n
n2
= (b−a) [na 2 + 2a(b−a) ⋅ n(n+1) + (b−a) 2 ⋅ n(n+1)(2n+1) + n]
n
n
2
n2
6
=(b − a)[a 2 + a(b − a)(n +1) + (b − a) 2 (n +1)(2n +1) +1] .
n
6n 2
第三步:
令λ=max{∆x1,
d
c
2
这与条件 ∫b f (x)dx=0 相矛盾. 因此在[a, b]上 f(x)≡0. a
(2)证法一 因为 f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点 x0, 使 f(x0)>0, 且 f(x0)为 f(x) 在[a, b]上的最大值.
再由连续性, 存在[c, d]⊂[a, b], 且 x0∈[c, d], 使当 x∈[c, d]时,
1
1
又因为当 1<x≤2 时, 0<ln x<1, ln x>(ln x)2, 所以 ∫2ln xdx> ∫2(ln x)2 dx .
1
1
(4)因为当 0≤x≤1 时, x≥ln(1+x), 所以 ∫1xdx≥ ∫1ln(1+ x)dx .
0
0
又因为当 0<x≤1 时, x>ln(1+x), 所以 ∫1xdx> ∫1ln(1+ x)dx .
n→∞ n
1
1−e n
n→∞
1
n(1−e n )
3. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式:
(1) ∫12xdx=1 ; 0
(2) ∫1 1− x 2 dx = π ;
0
4
(3)
∫π
−π
sin
xdx
=
0
;
π
π
(4)
∫−2π
cos
xdx
=
2∫ 2 0
cos
xdx
.
2
解 (1) ∫12xdx 表示由直线 y=2x、x 轴及直线 x=1 所围成的面积, 显然面积为 1. 0
(i=1,
2,
⋅
⋅
⋅,
n).
第二步:
在第
i
个小区间[xi−1,
xi]
(i=1,
2,
⋅
⋅
⋅,
n)上取右端点
ξ
i
=
xi
=
a
+
b
− n
a
i
,
作和
Sn
= ∑n
i =1
f
(ξ i )∆xi
= ∑n
i =1
[(a + b−a i)2 n
+1]⋅ b −a n
= b−a ∑n [a 2 + 2a(b−a) i + (b−a)2 i 2 +1]
≤
2π 3
.
3
(4)先求函数 f (x)=e x2 −x 在区间[0, 2]上的最大值 M 与最小值 m.
f ′(x)=e x2 −x (2x −1) , 驻点为 x = 1 . 2
比较 f(0)=1, f(2)=e 2,
f
(
1
)
=
e
−
1 4
,得
m
=
e
−
1 4
,
M=e
2.
于是
2
e
−
1 4
(2
−
0)
≤
1+ x 2
3
[ 1 , 3] 上单调增加. 于是 3
m= f ( 1 )= 1 arctan 1 = π , M = f ( 3)= 3 arctan 3 = π .
33
3 63
3
因此
π (
63
3−
1 3
)
≤
∫
3 1
x
arctan
xdx
≤
π 3
(
3−
1 ), 3
3
即
π 9
≤
∫
3 1
x
arctan
xdx
习题 5−1 1. 利用定积分定义计算由抛物线 y=x2+1, 两直线 x=a、x=b(b>a)及横轴所围成的图形的面
积.
解
第一步:
在区间[a,
b]内插入
n−1
个分点
xi
=
a
+
b
− n
a
i
(i=1,
2,
⋅ ⋅ ⋅,
n−1),
把区间[a,
b]分
成 n 个长度相等的小区间,
各个小区间的长度为:
∆xi
=
b−a n
3
3
2. 利用定积分定义计算下列积分:
(1) ∫bxdx (a<b); a
(2) ∫1e xdx . 0
解
(1)取分点为
xi
=
a
+
b
− n
a
i
(i=1,
2,
⋅ ⋅ ⋅,
n−1),
则
∆xi
=
b
− n
a
(i=1,
2,
⋅ ⋅ ⋅,
n).
在第 i
个小区
间上取右端点
ξ
i
=
xi
=
a
+
b
− n
a
i
(i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n). 于是
∫
2
e
x
2
−
x
dx
≤
e
2
⋅(2
−
0)
,
0
即
∫ −2e2 ≤
0e
x
2
−
x
dxdx
≤
−2e
−
1 4
.
2
7. 设 f(x)及 g(x)在[a, b]上连续, 证明:
(1)若在[a, b]上, f(x)≥0, 且 ∫b f (x)dx=0 , 则在[a, b]上 f(x)≡0; a
(2)若在[a, b]上, f(x)≥0, 且 f(x)䏦0, 则 ∫b f (x)dx>0 ; a
零, 即
∫π
−π
sin
xdx
=
0
.
(4)
π
∫−2π
cos
xdx
表示由曲线
y=cos
x
与
x
轴上
[−
π 2
,
π 2
]
一段所围成的图形的面积.
因为 cos x
2
π
为偶函数, 所以此图形关于 y 轴对称. 因此图形面积的一半为 ∫ 2 cos xdx , 即 0
π
π
∫−2π
cos
xdx
=
2∫ 2 0
cos
n−1)将区间[0,
H]分为 n 分个小区间,
各
小区间的长为 ∆xi
=
H n
(i=1,
2,
⋅
⋅
⋅,
n).
在第 i 个小区间[xi−1, xi]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为
∆Pi=9.8x il⋅∆x i . 闸门所受的水压力为
∑n
P
=
lim
n→∞
i =1
9.8xi
⋅ L ⋅ ∆xi
=9.8L lim ∑n n→∞ i=1
0
0
(2) ∫2 x 2dx 还是 ∫2 x3dx ？
1
1
(3) ∫2ln xdx 还是 ∫2(ln x)2 dx ？
1
1
(4) ∫1xdx 还是 ∫1ln(1+ x)dx ？
0
0
(5) ∫1e x dx 还是 ∫1(1+ x)dx ？
0
0
解 (1)因为当 0≤x≤1 时, x2≥x3, 所以 ∫1x 2 dx≥ ∫1x3dx .
∫bxdx =
a
lim
n→∞
∑n ξ
i =1
i
∆xi
=
lim
n→∞
∑n
i =1
(a
+
b
− n
a
i)⋅
b
− n
a
=(b−a)2 lim[a(b −a)+ (b−a)2 n(n+1) ]= 1 (b 2 −a 2 ) .
n→∞
2n 2
2
(2)取分点为
xi
=
i n
(i=1,
2,
⋅
⋅
⋅,
n−1),
则
∆xi
∫bF (x)dx = ∫b[g(x)− f (x)]dx = ∫bg(x)dx− ∫b f (x)dx=0 ,
a
a
a
a
由结论(1), 在[a, b]上 F(x)≡0, 即 f(x)≡g(x). 4. 根据定积分的性质及第 7 题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大:
(1) ∫1x 2dx 还是 ∫1x3dx ？
=
1 n
(i=1,
2,
⋅
⋅
⋅,
n).
在第 i
个小区间上取右端点
ξ
i
=
xi
=
i n
(i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n). 于是
∫1e xdx =
lim
∑n
e
i n
1
=
lim
1
1
(e n
2
+e n
n
+ ⋅⋅⋅ +e n
)
0
n→∞ i=1 n n→∞ n
1
1
1
= lim 1 ⋅ e n [1−(e n )n ] = lim e n [1−e] =e−1 .
a
(x)dx
=
lim
λ →0
∑n
i =1
kf
(ξ
i
)∆xi
=k
lim ∑n
λ→0 i=1
f
(ξ
i
)∆xi
=
k
∫b
a
f
(x)dx
.
(2)
∫b1⋅dx
a
=
lim
λ →0
∑n 1⋅
i =1
∆xi
=
lim
λ→0
∑n
i =1
∆xi
=
lim(b
λ→0
−
a)
=
b
−
a
.
6. 估计下列各积分的值:
(1) ∫4(x 2 +1)dx ; 1
H n
i⋅
H n
= 9.8L ⋅ H
2
lim
n→∞
n(n +1) 2n
= 4.8L ⋅ H
2
来自百度文库
.
将 L=2, H=3 代入上式得 P=88.2(千牛).
5. 证明定积分性质:
(1) ∫bkf (x)dx=k ∫b f (x)dx ;
a
a
(2) ∫b1⋅dx= ∫bdx=b−a .
a
a
证明
(1)
∫bkf
0
0
又当 0<x<1 时, x2>x3, 所以 ∫1x 2 dx> ∫1x3dx .
0
0
(2)因为当 1≤x≤2 时, x2≤x3, 所以 ∫ 2 x2dx ≤ ∫ 2 x3dx .
1
1
又因为当 1<x≤2 时, x2<x3, 所以 ∫2 x 2dx< ∫2 x3dx .
1
1
(3)因为当 1≤x≤2 时, 0≤ln x<1, ln x≥(ln x)2, 所以 ∫2ln xdx≥ ∫2(ln x)2 dx .
∆x2,
⋅
⋅
⋅
,
∆xn}
=
b−a n
,
取极限得所求面积
S
=
∫b
a
f
(x)dx = lim ∑n λ →0 i=1
f
(ξ i
)∆xi
= lim (b − a)[a 2 + a(b −a)(n +1) + (b − a) 2 (n +1)(2n +1) +1]
n →∞
n
6n 2
=(b −a)[a 2 + a(b −a)+ 1 (b − a) 2 +1]= 1 (b3 −a 3 )+b −a .
xdx
.
2
4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强 p(单位面积上的压力 大小)是水深 h 的函数, 且有 p=9⋅8h (kN/m2). 若闸门高 H=3m, 宽 L=2m, 求水面与闸门顶相齐 时闸门所受的水压力 P.
解
建立坐标系如图.
用分点
xi
=
H n
i
(i=1,
2,
⋅ ⋅ ⋅,
f (x)> f (x0 ) . 于是 2
∫ ∫ b f (x)dx ≥ d f (x)dx ≥ f (x0) (d −c) >0 .
a
c
2
证法二 因为 f(x)≥0, 所以 ∫b f (x)dx≥0 . 假如 ∫b f (x)dx>0 不成立. 则只有 ∫b f (x)dx=0 ,
a
a
a
根据结论(1), f(x)≡0, 矛盾. 因此 ∫b f (x)dx>0 . a (3)令 F(x)=g(x)−f(x), 则在[a, b]上 F(x)≥0 且
再由连续性, 存在[c, d]⊂[a, b], 且 x0∈[c, d], 使当 x∈[c, d]时,
f (x)> f (x0 ) . 于是 2
∫b f (x)dx=∫c f (x)dx+ ∫d f (x)dx+ ∫b f (x)dx≥∫d f (x)dx≥ f (x0 ) (d −c)>0 .
a
a
c
(3)若在[a, b]上, f(x)≤g(x), 且 ∫b f (x)dx= ∫bg(x)dx , 则在[a, b]上 f(x)≡g(x).
a
a
证明 (1)假如 f(x)䏦0, 则必有 f(x)>0. 根据 f(x)在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点 x0,
使 f(x0)>0, 且 f(x0)为 f(x)在[a, b]上的最大值.
(2) ∫1 1− x2 dx 表示由曲线 y = 1− x 2 、x 轴及 y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆 0
x2+y2=1 的面积的 1 : 4
∫1 1− x 2 dx = 1 ⋅π ⋅12 = π .
0
4
4
(3)由于 y=sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[−π, π]上与 x 轴所夹的面积的代数和为