三角形中的几何计算

三角形中的几何计算-1

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题）

1．锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=4，c=5，面积为5，求该三角形外接圆半径（）

A．B．C．、D．

考点：三角形中的几何计算．

专题：计算题．

分析：根据面积求出sinA 的值，即得A的值，由余弦定理求出a=，再由正弦定理可得=2r，求出r的值．

解答：

解：根据面积为5==10sinA，∴sinA=，∴A=60°．

由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc×cos 60°，∴a=，再由正弦定理可得

==2r，

故r=，

故选B．

2．已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC的面积为（）

A．9B．18 C．9D．9

考点：三角形中的几何计算．

专题：计算题．

分析：利用三角形的内角和公式求得∠C=30°，可得△ABC为等腰三角形，故△ABC的面积为，运算求得结果．

解答：解：∵△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，∴∠C=30°．

故△ABC为等腰三角形，故BC=6，则△ABC的面积为=9，故选D．

3．（2012•荆州模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，，A．B．C．D．

考点：三角形中的几何计算．

专题：计算题．

分析：通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C．由余弦定理求出ab的值，由此

求得△ABC的面积的值．

解答：解：由及正弦定理得：，

∵sinA≠0，∴，

故在锐角△ABC中，．

再由a+b=5及余弦定理可得7=a2+b2﹣2ab•cos=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab，故ab=6，故△ABC的面积为=，

故选A．

4．（2011•江西模拟）下面命题：

①当x＞0时，的最小值为2；

②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；

③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；

④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．

其中正确的命题是（）

A．①②④B．②④C．②③D．③④

考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．

专题：应用题．

分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．

②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得

4k2+14k+9=0，或

4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．

③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图

象，故③不正确．

④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三

角形．

解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的

最小值大于2，

故①不正确．

②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为

（2﹣，0），（0，3﹣2k），

根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得

4k2+14k+9=0，或

4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②

正确．

③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[

﹣（2x﹣）]

=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．

④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三

角形，故④正确．

故选B．

点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．

5．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积，则边BC的长为（）A．B．3C．D．7

考点：三角形中的几何计算．

专题：计算题．

分析：

由△ABC的面积，求出AC=1，由余弦定理可得BC=，计算可得答案．

解答：

解：∵=sin60°=，

∴AC=1，

△ABC中，由余弦定理可得BC==，

故选A．

6．如图所示，AB是塔的中轴线，C、D、A三点在同一水平线上，在C、D两点用测角仪器测得塔顶部B处的仰角分别是α=30°和β=60°，如果C、D间的距离是20m，测角仪器高是1.5m，则塔高为（）（精确到0.1m）

A．18.8m B．10.2m C．11.5m D．21.5m

考点：三角形中的几何计算．

专题：计算题．

分析：求出∠BDC，由三角形的内角和公式求出∠DBC，判断△BCD是等腰三角形，BD=CD=20，由AB

=1.5+BDsin60°，运算求得结果．

解答：解：由题意可得∠BDC=180°﹣60°=120°，∴∠DBC=180°﹣120°﹣30°=30°，∴△BCD是等腰三角形，∴BD=CD=20，故AB=1.5+BDsin60°=1.5+10=18.8（cm），故选A．

7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图．为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为（）

A．x=15，y=12 B．x=12，y=15 C．x=14，y=10 D．x=10，y=14

考点：三角形中的几何计算．

专题：计算题．

分析：

由直角三角形相似得=，得x=•（24﹣y），化简矩形面积S=xy的解析式为=﹣（y﹣12）2+180，再利用二次函数的性质求出S 的最大值，以及取得最大值时x、y的值．

解答：

解：由直角三角形相似得=，得x=•（24﹣y），

∴矩形面积S=xy=﹣（y﹣12）2+180，

∴当y=12时，S有最大值，此时x=15．

故选A．

8．如图，P是△ABC内一点，BP、CP、AP的延长线分别与AC、AB、BC交于点E、F、D．考虑下列三个等式：